地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件(1)

1、第二章第二章 地下水流基本微分方程及定解条件地下水流基本微分方程及定解条件基本理论：连续性假设基本理论：连续性假设+ +达西定律达西定律+ +水均衡原理水均衡原理对各种水流问题建立基本微分方程及数学模型对各种水流问题建立基本微分方程及数学模型： 按空间维数：一维、二维（平面二维、剖面二维）、三维按空间维数：一维、二维（平面二维、剖面二维）、三维 按含水层类型：承压水流、潜水流、多层（越流联系）等按含水层类型：承压水流、潜水流、多层（越流联系）等求解数学模型（利用解析法），得到一些典型解析解：求解数学模型（利用解析法），得到一些典型解析解： 裘布依稳定井流模型裘布依稳定井流模型 无越流承压含水层

2、中的完整井流（泰斯模型）无越流承压含水层中的完整井流（泰斯模型） 无越流潜水含水层中的完整井流（博尔顿模型无越流潜水含水层中的完整井流（博尔顿模型-考虑滞后给水、考虑滞后给水、 纽曼模型纽曼模型-考虑流速垂直分量和弹性储量）考虑流速垂直分量和弹性储量） 越流系统中的承压完整井流模型越流系统中的承压完整井流模型应用：应用： 预测抽水条件下的水头变化；预测抽水条件下的水头变化； 利用抽水试验资料求含水层参数。利用抽水试验资料求含水层参数。第二章第二章 地下水流基本微分方程及定解条件地下水流基本微分方程及定解条件教学目标：教学目标：准确理解渗流连续性概念准确理解渗流连续性概念掌握达西定律和质量守恒原

3、理的应用掌握达西定律和质量守恒原理的应用掌握建立地下水基本微分方程的思想方法掌握建立地下水基本微分方程的思想方法几种典型的地下水流方程的推导几种典型的地下水流方程的推导 潜水剖面二维流、平面二维流潜水剖面二维流、平面二维流 承压水二维流承压水二维流 三维流三维流边界条件概化，初始条件确定方法与原则边界条件概化，初始条件确定方法与原则能够用数学模型描述实际问题能够用数学模型描述实际问题第二章第二章 地下水流基本微分方程及定解条地下水流基本微分方程及定解条件件主要内容：主要内容：建立连续性方程建立连续性方程分析含水层与岩石、流体压缩性关系分析含水层与岩石、流体压缩性关系建立不同含水层地下水流微分方

4、程建立不同含水层地下水流微分方程讨论边界条件及初始条件讨论边界条件及初始条件 用数学模型描述实际问题用数学模型描述实际问题 2.1 2.1 水和多孔介质的压缩性水和多孔介质的压缩性水的压缩方程（地下水的状态方程水的压缩方程（地下水的状态方程)0)(00000ln)( 1VVeVVppdVVdpppVVppdpdVVVdVdp11假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有 p 为水压； V 为水的体积；为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数E为体积弹性模量 。V随p增大而减小，即dV/dp0 积分1E压缩系数：压缩系数：单位压力变化时引起的液体单位体积的单位压力变化时引起的液体单位体积的变化量，单位为平

5、方米每牛。其倒数为体积模量，变化量，单位为平方米每牛。其倒数为体积模量，单位为帕斯卡。水体压缩系数与压力和温度有关。单位为帕斯卡。水体压缩系数与压力和温度有关。水的压缩方程水的压缩方程0( )22323()23000(0)(0)(0)( )( )1!2!1.2!3!1()()().2!3!nnxppffff xf xxxxnxxexepppppp )()(1 )(1)(100000000)(0ppVVppVVppVVppepp0)(0VVepp按Taylor级数展开由于很小，且p变化不大，故)()()(00000000ppVVppVVVppVVV水的压缩方程水的压缩方程pVV0pVVVdVdp

6、11 (1 5)dddpdp 由于VV0变化不大，故由于ddmmdVdVmV)1()(水的压缩方程水的压缩方程多孔介质的压缩方程多孔介质的压缩方程vbvsbbbdVdVVVVVdVdpdpd1 bbVdVd1假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有 为岩土的体积弹性压缩系数。如果上部荷载不变，则由于骨架部分体积不变VvnVb；Vs(1-n)Vb111svsvbbsvdVdVdVdVnnV dV dVdV d VvnVb；Vs(1-n)Vb式中 多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，sp； 多孔介质中孔隙压缩系数（Compressibility of the

7、pores of a porous medium），表示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。n多孔介质的孔隙度。 1-8因 ，故 。ddVVddVVvbsb11ddVVnddVVnvvss1psnn)1 (ddVVsss1ddVVvvp1(1)spnpn1-9说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。水的压缩方程水的压缩方程pVVVdVdp1dpd多孔介质的压缩方程多孔介质的压缩方程)1 (epedHdpbbVdVd1psnn)1 (pn测压水头图2-2-1 饱和含水介质中受力情况2.2 2.2 水和多孔介质的压缩性水和多孔介质的压缩性

8、spphp地下水弹性储存概念地下水弹性储存概念取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密，忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力总压应力 由粒间应力的垂向分量垂向分量 s s和孔隙水应力孔隙水应力p p两者来平衡. ps)1 (为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影.由于 0， 入渗vW0， 蒸发W定义为潜水面处单位水平面积、单位时间的入渗量定义为潜水面处单位水平面积、单位时间的入渗量布西涅斯克方程推导),(txxh),(txxq),(txq),(txhtthth图2-4-2 潜水剖面二维流均衡要素图 x

9、研究剖面二维流（x-z)均衡单元体：长度为x，宽度为1个单位的含水层柱体均衡 V=流入流出均衡时段 ttqtqtQV1txWtqtqVtxxtx,x方向流入流出差tqtqtxxtx,z方向流入 上边界潜水面边界txWtxWtWV1下边界隔水边界 V=0dtxttxxhhV1,x,z方向流入流出差单元体内水体积的增量表现为水位在该时段内的上升或下降dtxttxtxxtxxhhVtxWtqtqV1,),(txxh),(txxq),(txq),(txhtthth图2-4-2 潜水剖面二维流均衡要素图 xxhKhqthWxqtxxd0, 0水均衡方程:dtxttxtxxtxdtxttxtxxtxthh

10、WxqqxhhtxWqq,thWxhKhxd布西涅斯克方程推导thWxhKhxd注意:1. d为重力给水度，是在重力作用下单位水平面积的潜水含水层柱体在其潜水面下降或上升单位水头时释放或储存的水量。2. 上述推导运用了裘布依假定，忽略垂向分流速，因此可近似用x代替s.3. 布西涅斯克方程将刻画潜水面边界问题简单化为用W直接表示。布西涅斯克微分方程线性化布西涅斯克方程线性化布西涅斯克方程tWhxKxhhtWhxKxhhhthWxhKxhhhdmmddmm即端的再以平均值代替方程左，有并令方程两端均乘方法代替并视为常量用平均值中的将方程左端第一项括号方法,21,: )2(,: ) 1 (2tWyK

11、yhxKxhthWyhKyhxhKxhtHWyhKhyxhKhxdmmdmmd:,性化后的方程分别为相应第一种和第二种线所得布西涅斯克方程为推广到三维流问题线性化布西涅斯克方程线性化布西涅斯克方程22222222222222,(/)(/),11mdmdmdKhxytTTKhaTLTLTaxytKhrrrtrrrt对于均质含水层，且无垂向补排时，可得引入和 分别为潜水含水层的导水系数和水力传播系数对于轴对称潜水流问题 采用极坐标系和线性化布西涅斯克方程线性化布西涅斯克方程2.5 2.5 地下水流动定解条件及数学模型地下水流动定解条件及数学模型地下水流动控制微分方程n潜水二维不稳定流动控制方程n承

12、压水二维不稳定流动控制方程定解条件n边界条件n初始条件tHyHZHKyxHZHKxdyyxx)()(tHyHMKyxHMKxeyyxx)()(2.5 2.5 地下水流动定解条件及数学模型地下水流动定解条件及数学模型1 数学模型的有关概念数学模型的有关概念 同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分布是不同的。而且对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域特征的信息。这些信息包括： （1）微分方程中的有关参

13、数， 当这些参数确定后，微分方程才能被确定下来。WT,（2）渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确定之后才能对方程求解。（3）边界条件边界条件(boundary conditions)：表示渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。（4）初始条件初始条件(initial conditions)：表示渗流区的初始状态，某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。将边界条件边界条件和初始条件初始条件并称为定解条件定解条件, 指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已知变化规律，这种变化规律是由流场外

14、部条件引起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在整个期间一直起作用。微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模型。数学模型。 数学模型数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数学物理问

15、题。建立模型是指建立数学模型的过程。二、定解条件二、定解条件(1) 第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet条件)：如果在某一部分边界(设为S1或1)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为:或 给定水头边界不一定就是定水头边界。可以作为第一类边界条件来处理的情况： 河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边界就可以作为第一类边界处理。此时，水头是一个由河湖水位的统计资料得到的关于t的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。11( ,

16、, , )|( , , , ),( , , )sH x y z tx y z tx y zs11( , , , )|( , , ),( , )H x y z tx y tx y 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一定是定水头边界。 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近似看作给定水头边界。(2)第二类边界条件(Neumam条件)：当知道某一部分边界(设为S2或2)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时用负值)的流量q时，称为第二类边界

17、或给定流量的边界。相应的边界条件表示为:式中，n为边界S2或2的外法线方向。q1和q2则为已知函数，分别表示S2上单位面积和2上单位宽度的侧向补给量。常见的这类边界条件： 隔水边界（流线、分水岭）：0nH2221),(),(),(),(yxtyxqnHTStzyxtzyxqnHK或 抽水井或注水井： 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。（3）第三类边界条件：某边界上H和 的线性组合是已知的，即有： 又称混合边界条件，为已知函数。边界为弱透水层（渗透系数为K1，厚度或宽度为m1），wwrQnHT2（1-108）nH（1-109）nHHnH11Km),()(11tzyxqHHmKnHKn在

18、s3上,在 3上,浸润曲线的边界条件：当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积流量q为：式中，为给水度，为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。（1-110）（1-111）qnHKc2（1-112）（1-113）03HHnHKnS03HHMnHTnqnHKc2cos*tHq 一、定解条件潜水面边界 tHWzHKxHKztzyxHpdzzxx2)(),(0tHWzHKyHKxHKdzzyyxx22)()(三维条件下 3) 初始条件初始条件:某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。或 其中，H0为D上的已知函数。DzyxzyxHtzyxHt),(),(| ),(00（1-114

19、）DzyxyxHtyxHt),(),(| ),(00（1-115） (1)线性、非线性模型模型由线性方程所组成，称为线性模型，如均质各向同性承压二维流方程。模型由非线性方程所组成，称为非线性模型，如潜水模型方程。 (2)静态、动态模型 根据模型中未知变量与时间的关系进行划分，若未知变量与时间无关，如稳定流模型，称为静态模型，反之，则为动态模型。 (3)集中、分布参数模型模型中不含有空间坐标变量的模型，称为集中参数模型，如抽水井流量与降深之间的经验公式。模型中含有空间坐标变量的模型，称为分布参数模型。 (4)确定性与随机性模型确定性模型确定性模型：数学模型中各变量之间有严格的数学关系的模型。 随

20、机性模型随机性模型：数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型。三、三、 渗流数学模型的分类渗流数学模型的分类 用确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须具备下列条件： 有一个(或一组)能描述这类地下水运动规律的偏微分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和方程中出现的各种参数值。 给出相应的定解条件。对所建立的模型进行检验，即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修正条件(1)和(2)直至满意拟合为止。这一步骤称为识别模型或校正模型。 经过校正后的模型，能

21、代表所研究的地质体，或者说是实际水流系统的复制品了，因而可以根据需要，用这个模型进行计算或预测，例如预测矿床疏干时的涌水量及地下水污染情况预测等。 解(即满足条件和的解)是存在的(存在性)； 解是唯一的(唯一性)；要求所提问题的解存在和唯一是不言而喻的。 解对原始数据是连续依赖的(稳定性)。即稳定性的要求，意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解；否则，解是不可信的，并应该认为此时的数学模型是有毛病的。在实际工作中，原始数据有某种误差，在所难免，所以这个条件很重要。 适定问题（Well

22、 posed problem ）是指数学模型满足（1）解是存在的（存在性），（2）解是唯一的（唯一性），（3）解对原始数据是连续依赖的（稳定性）这三个条件的问题。只要有一条不满足就是不适定问题。正问题是根据数学模型、给定的含水层水文地质参数和定解条件求解水头的问题，又称水头预报问题。逆问题（inverse problem）是根据数学模型、动态观测资料或抽水试验资料反过来确定含水层水文地质参数的问题。4. 建立数学模型的基本要点建立数学模型的基本要点(1)确定研究区的范围及渗流区的边界；(2)确定渗流区的水力特征（包括埋藏条件、渗流状态、介质特征）；(3)确定渗流区的边界条件；(4)确定渗流区的源汇项；(5)选择微分方程；(6)确定渗流区的初始条件。EDBAABqC线河流#1流#2#3均质、各向同性的潜水含水层，地下水流为平面非稳定流，且与河水有直接的水力联系。