第二节统计分析的基础知识

1、机械可靠性设计机械可靠性设计机械可靠性设计第一章 机械可靠性设计概述第二章 机械可靠性设计基础第三章 可靠性设计基本方法第四章 机械系统的可靠性分析第五章 机械系统的故障分析第六章 机械零件的疲劳强度可靠度分析基础5概率论的基本概念、 随机事件与事件间的关系机械可靠性设计基础随机事件“不可预言的事件”、事件或事件发生的事件、事件与事件同时发生的事件、 频率与概率做次实验，随机事件共发生次，则：随机事件出现的频率为：Nn随机事件出现的概率为：NnlimPN基础6、概率运算机械可靠性设计基础CP(AB)=P(B)P(AB) =P(A)P(BA)若P(A B)=P(A)，则A与B相互独立，且P(AB

2、)=P(A)P(B) CP(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)若P(AB)=，则A与B互不相容，且P(AB)=P(A)P(B) 二、概率分布与数字特征 f xx概率密度函数、概率分布0)(xf1)(dxxfxdxxfxF)()(ba)()(dxxfbxaP1)(0 xF基础7机械可靠性设计基础、数字特征 均值(期望)反映随机变量取值集中的位置，常用或E(x)表示。定义：dxxxfxE)()(性质：)()(xcEcxE)()()(yExEyxE)()()(yExExyEx、y为任意随机变量x、y为相互独立的随机变量在可靠性设计中，E(x)可表示平均强度、平均应力、平均寿命在常规设计中引入的物

3、理量，多数就是E(x)。基础8机械可靠性设计基础 方差衡量随机变量取值的分散程度，用D(x)、2表示。定义：dxxfxExxD)()()(2)(xD标准差、均方差性质：0)(cD)()(2xDccxD)()()(yDxDyxDx、y为相互独立的随机变量基础9机械可靠性设计基础 变异系数CC是一个无量纲的量，表示了随机变量的相对分散程度。金属材料的变异系数（参考）拉伸强度极限B0.05拉伸屈服极限S0.07疲劳极限-10.08焊接结构疲劳极限-10.10钢材的弹性模量E0.03铸铁的弹性模量E0.04布氏硬度HBS0.05断裂韧性KIC0.07基础10机械可靠性设计基础 偏度（Skewness

4、Sk)3332/3)()()()(1xkxExEdxxfxExxDS3333)(3)()(xxkxExExESSk = 0 对称分布Sk 0 正偏分布Sk 0 负偏分布基础11机械可靠性设计基础三、可靠性分析中的常用分布、 指数分布基础11机械可靠性设计基础、 指数分布xexf)( x0概率密度函数：xexF1)(累积分布函数：若xt（寿命），则t指数分布，反映了偶然因素导致失效的规律。平均寿命E(t)=/（MTBF)， 为失效率。指数分布常用于描述电子产品的失效规律，由于为常数，指数分布不适于描述按耗损规律失效的问题，机械零件的失效常属于这一类型。基础11-例机械可靠性设计基础关于指数分布的

5、讨论()()P TttTt 相关公式：上述推导表明，若产品的寿命服从指数分布，则表明该产品是“永远年轻” 的。()1tF Tte tttee（）（）()()()P Ttt TtP Tt ()()P TttP Tt () te()P Tt ( )()tR teP TtP(AB)=P(B)P(AB) =P(A)P(BA)指数分布的应用例： 设某一计算机的错误率是恒定的，即每连续 工作500小时发生一次错误。设有一需要5小 时才能正确通过的程序，试问该机解决这个问题的可靠度是多少？该机的瞬时错误率为多少？ 解：其平均寿命为 MTBF500小时故障率 为t（）11tt0.002/500（ ）= =错误

6、数 小时可靠度为t0.002 5RtR5ee0.99-（ ）= （ ）=基础12机械可靠性设计基础、正态分布（高斯分布）222x21)(exfx概率密度函数：累积分布函数：dxexFx222x21)(记为：),(2Nx),(Nx或，是一种二参数分布)(xE为均值)(2xD为方差f(x)x1 31 21= 32 1分布形态为对称分布基础13机械可靠性设计基础当， 时，为标准正态分布。2221)(xexdxxxxe2221)(-2-3=032N(0,)68.26%95.44%99.73%3 准则：超过距均值3距离的可能性太小，认为几乎不可能（或靠得住）。若：L=300.06mmN(,)则： 30m

7、m =0.063=0.02mm自然界和工程中许多物理量服从正态分布，可靠性分析中，强度极限、尺寸公差、硬度等已被证明是服从正态分布。采用正态分布计算过于麻烦，故将它变换为标准正态分布形式。引进一标准正态变量z, 令tz则， ，正态分布函数形式变为：失效概率就表示为： 这样，对应某一z值就有一失效概率值 ，这样就可以通过查标准正态分布表来求解失效概率。dtdz221( )2zzzdze221( )()2zzzzdze( ) z例例有一个钢制结构件，据实验有BN(，)， 均值B =400MPa，变异系数c=0.08。求： max =300MPa时，结构件的失效概率？要求可靠度R=0.9977时，

8、max = ？。解： PF=P(B max )= P(B 300)40008. 0400300()(BBmax100009)125. 3( PF1R=10.99770.00230023. 0)(BBmax83. 2BBmaxMPa30983. 2BBmax基础14机械可靠性设计基础、对数正态分布若：),(lnLLNxy，则称x服从对数正态分布可记为：),(LLLNx222)(lnLL21)(Lxexxf概率密度函数为：f(x)x大量的疲劳失效规律服从对数正态分布，如疲劳寿命的分布。3NNN疲劳极限大致服从正态分布基础15机械可靠性设计基础、威布尔分布（Weibull）010)(xxexxxf0

9、01)()(xxxxedxxfxF形状参数；尺度参数；x0位置参数；=0.5=3.6=5=1 x0=0 x =1 f (x)=2形状参数不同的影响基础16机械可靠性设计基础 f (x) x =2 x0=0=1=2=3尺寸参数不同的影响 f (x) x =2=1x0取不同的值位置参数不同的影响基础17机械可靠性设计基础威布尔分布的数字特征)11 (0 xx)11 ()21 (222x3331)11 ( 2)21 (3)31 (xkxS式中：()为Gamma函数，01)(dyeyxyx威布尔分布是一簇分布，适应性很广。因源于对结构疲劳规律的分析，因而是在机械可靠性设计中生命力最强的分布。在疲劳强度

10、研究中的威布尔分布定义式 在疲劳强度的研究中，在描述疲劳寿命N的随机分布规律时，如果用 00a0 x=N,=N ,(NN )x这时威布尔分布的概率密度函数可以表达为 0a01N NNN0a0a0NNf(N)eNNNNN寿命随机变量形状参数aN尺度参数或特征寿命0N位置参数或称最小保证寿命010)(xxexxxf失效分布函数、可靠度函数及失效率函数分别为 0a0N NNNF(N)=1-e0a0N NNNR(N)=e-10a0a0NN(N)=()NNNN 例: 某零件的寿命经试验证实，服从威布尔分 布。已知形状参数 2，最小寿命 5010N 循环，特征寿命 54 10aN 循环。试求该零件运行51

11、0循环的可靠度和失效率。解：求可靠度 20a0N N100000 1000NN5400000 1000R(10 )=ee0.9494% 求失效率 5-10a0a02-1NN(10 )=()NNNN2100000 1000()400000 1000 400000 10002990001()=0.000001243()399000 399000循环滚动轴承的寿命L服从二参数的威布尔分布，)(1)(LeLF其失效概率为：)()(LeLR可靠度为：其中：=1.5(ISO/R286)基础18机械可靠性设计基础目前国家标准中采用下列方法计算滚动轴承的可靠度101LaLn其中，L10为基本额定寿命（可靠度为

12、90%)Ln为可靠度R=1-n%的轴承寿命a1为轴承的可靠性系数，其值按下表取：1-n%909596979899a110.620.530.440.330.21关于a1的推导：11010)(10)9 . 0ln/(9 . 0ln)(1 . 01)(10LLLFLe1)(%)1ln(%1)(nLnLFnnLne111019 . 0ln%)1ln(9 . 0ln%)1ln(&nLnLan基础19机械可靠性设计基础例：已知某轴承L106000小时，求R=94%、95.5%时的寿命，以及Ln=3000小时的可靠度。解：R=94%时，小时。7 .4207600070128. 070128. 09 . 0ln94. 0ln5 . 111nLa小时。26.3455600057588. 057588. 09 . 0ln955. 0ln5 . 111nLa当R=95.5%时，1011019 . 0lnln9 . 0ln%)1ln(LLRLnLnn%3435.9603725. 09 . 0ln60003000ln5 . 1RRLn=3000小时时，基础20机械可靠性设计基础四、可靠性分析分布的确定实际应用中，多为引用理论分布，在引用分布时应考虑：、物理意义电产品多用指数分布、疲劳寿命用对数正态分布，建议机械产品多用威布尔