点到直线的距离公式

1、1.点到直线的距离(1)从直线外一点向该直线引垂线,所得垂线段的长度称为点到直线的距离.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为(2)点到几种特殊直线的距离:点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|;点P(x0,y0)到直线y=b的距离d=|y0-b|.交流交流1点到直线的距离公式对直线方程的形式有何要求?答案：该公式要求直线方程必须是一般式.交流交流2当点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上时,点到直线的距离公式还适用吗?2.两平行线间的距离两平行线l1:Ax+By+C

2、1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1C2,A2+B20)间的距离交流交流3(1)直线3x+4y-1=0与3x+4y+5=0的距离为;(2)直线3x+2y-2=0与6x+4y+5=0的距离为;(3)点P(2,3)到直线x-y+1=0的距离为;(4)点(1,0)到直线y-3=0的距离是.典例导学一二三即时检测一、点到直线的距离求点P(1,2)到下列直线的距离:(1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴.思路分析：直线方程及点的坐标均明确给出,求解的关键是把直线方程化成一般式,直接代入公式求解.必要时数形结合更方便.典例导学一二三即时检测1.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y

3、+3=0的距离为1,则a=.2.点P在x轴上,点P到直线l1:x- y+7=0与直线l2:12x-5y+40=0的距离相等,求P点坐标. 典例导学一二三即时检测 对点到直线的距离的几点说明:(1)此公式适用于P0为平面内任意一点,特别地,当P0在直线上时,点P0到直线的距离为零.(2)几种特殊情况下的点到直线的距离.点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;点P(x0,y0)到平行于y轴的直线x=a的距离为d=|x0-a|;点P(x0,y0)到平行于x轴的直线y=b的距离d=|y0-b|.典例导学即时检测一二三二、两平行线间的距离求直线l1:3x-

4、4y=-1与直线l2: x-2y-1=0间的距离. 思路分析：已知两平行直线的方程,求解本题时可考虑利用等价转化法和公式法.需注意应用公式法解答本题时应把直线l1,l2的方程化成一般式,且x,y的系数相同.典例导学即时检测一二三解：(方法一:等价转化法)l1l2,两直线间的距离等于直线l1上任意一点到直线l2的距离.不妨在直线l1上取点P(1,1),则该点到直线l2的距离为(方法二:公式法)把直线l1,l2的方程分别化成一般式得l1:3x-4y+1=0,l2:3x-4y-2=0.典例导学即时检测一二三1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是.解析：设所求直线方程为3x

5、-4y+c=0,由条件得 ,解得c=16或-14.所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.答案：3x-4y+16=0或3x-4y-14=0典例导学即时检测一二三答案：1 典例导学即时检测一二三 两平行线间的距离的计算方法(1)两条平行直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一直线的距离,本质上是点到直线的距离.具体求两平行直线间的距离时,只需在其中一条直线上取一特殊点,再求它到另一条直线的距离.(2)若两平行直线方程中x,y的对应系数分别相等,即l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1C2,A2+B20),可直接使用公式 .典例导学即时检测一二三三、距离公式

6、的综合应用已知直线l经过点P(3,1)且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程. 思路分析：本题求直线l的方程,现知两个条件:过定点(3,1),被平行线l1,l2截得的线段长为5.可画出它们的图形,利用平面几何知识求斜率;也可设出斜率,利用距离公式求出k.典例导学即时检测一二三典例导学即时检测一二三1.已知点A(4,-3)与B(2,-1)关于直线l对称,在l上有一点P,使P点到直线4x+3y-2=0的距离等于2,则P点坐标为.典例导学即时检测一二三2.在函数y=4x2的图象上求一点P,使P到直线y=4x-5的距离最短,并求这个最短的距离. 到目前

7、,已学习的距离包括两点间的距离、点到直线的距离及两平行线间的距离.涉及距离的问题常常结合以上三个公式,利用已知条件有效地组合运用,需特别注意的是点到直线的距离及两平行线间的距离的适用条件,不可错用.典例导学12345即时检测1. 已知点P(x,y)在直线2x+y+5=0上,则x2+y2的最小值为()解析：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值,即为原点到该直线的距离的平方d2,由点到直线的距离公式,故x2+y2的最小值为5.答案：C典例导学即时检测123452.若点(2,2)到直线3x+4y+c=0的距离为5,则c=.|c+14|=25,c=11或-39.答案：11或-39典例导学即时检测123453.直角坐标系中第一象限内的一点P(x,y)到x轴、y轴及直线x+y-2=0的距离都相等,则x等于.典例导学即时检测123454.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上的任一点,则线段PQ的最小值为.解析：PQ的最小值就是两平行线间的距离