指数函数及其性质同步练习36必修1

1、研卷知古今；藏书教子孙。2.1.2指数函数及其性质5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1 .下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（）A.y= （-4） >B.y=兀 *C.y=-4xD.y=ax+2 （a>0 且 a*）思路解析：从指数函数的定义出发解决此题.由指数函数的定义知，选 B. 答案：B2 .右图是指数函数 y=ax;丫加'丫=/; y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系 是（）A.avbvlvcv dB.bvavlvdvcC.lvavbv c< dD.avbvlvdvc思路解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1, a）、（ 1,

2、 b）、（1, c）、（ 1,d）,由图象可知纵坐标的大小关系.答案：B3 .函数y=ax-3+3 （a>0且aw 1）恒过定点 .思路解析：a3-3+3=a°+3=4.答案：（3, 4）4 .某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f（t）,（1）写出函数y=f （t）的定义域和值域；（2）在所给坐标系中画出y=f （t） （01<6=的图象；（3）写出研究进行到 n小时（n>0, nCZ）时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）？解：（1）

3、 y=f （t）定义域为 te 0, +8,值域为y|y=2 n, nCN *.（2） 0Wt<6时，为一分段函数2,0 9二 2, y= 4,29二4,8, 4 <t <6.吧1图象如下图.n（3） n为偶数时，y=2222'n为偶数,y=吧书2 2E为奇数.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)0.957 6,设质量为1的镭经过x年后，剩留量xA.y= 0.957而1 .已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的 是y,则y关于x的函数关系是()0.9576、xB.y=()100xC.y=0.957 6100xD.y=1- 0.0424100思路解析：首先应求出经过

4、一年后放射掉其质量的百分比， 然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据 x、y的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量1x的 t%,则有 0.957 6=1 (1-t%) 100.，t%=1- (0.957 6)10°.，y= (1-t%) x= (0.957 6)100 .选A.答案：A2 .当x>0时，函数f (x) = (a2-1) x的值总大于1,则实数a的取值范围是()A.1 v |a|< <2B.|a|v 1C.|a|> 1D.|a|> 22思路解析：由指数函数的性质，可知 f (x)在(0, +8)上是递增函数，所以

5、a2-1>1, a2>2, |a|> V2.答案：D3 .已知函数 f (x) =ax+a-x (a>0且 aw 1), f (1) =3,则 f (0) +f (1) +f (2)的值为. 思路解析：f (0) =a0+a0=2, f (1) =a+a-1=3, f (2) =a2+a-2= (a+a-1) 2-2=9-2=7,.f (0) +f (1) +f (2) =12.答案：124 .函数y= (2m-1) x是指数函数，则 m的取值是.思路解析：考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=ax中的底数a约定a> 0且aw 1.故此2m-1 > 0且

6、2m-1丰1,所以 m >工且m w 1.2答案：m >且m w 12115.已知 a2 + a 2 =3,求 a2+a-2 的值.思路解析：本题考查指数的运算.从已知条件中解出a的值，再代入求值的方法不可取，应11该设法从整体寻求结果与条件 a2 + a 2 =3的联系进而整体代入求值. 11解：将a2+a 2=3两边平方得a+a-1+2=9,即a1+a-1=7.再将其平方，有 a2+a-2+2=49,从而得至U a2+a2=47.一，、1，6.已知f x = +a为奇函数.3x -1(1)求a的值；(2)求函数的单调区间.主要是利用和巩固奇偶函数的定义、思路解析：本题考查函数的

7、奇偶性、单调性及运算能力 单调函数的定义.解：(1) f (-x)3x1+a=-+a=-1+a=-1+2a-f (x), 由 f (-x) =-f (x), 得1 -3x3x -1-1+2a=0. 1. a=.2(2)对于任意x产0, x2W0,且x1<x2.f (x1)-f (x2)13x1 -13x2 -13x2 -3x1(3x1 -1)(3x2 -1).当 x1<x2<0 时，3x2>3x1, 3% <1, 3x2 <1. f (x1) -f (x2)>0;当 0%今2 时,3x2>3x1, 3x1>1, 3x2>1.f (x1

8、) -f (x2) >0.，函数的单调递减区间为(-8, 0), (0, +OO).7.如果函数y=a2x+2ax-1 (a>0, aw 1)在区间-1, 1上的最大值是14,求a的值. 思路解析：利用换元法、配方法及等价转化思想.解：设1=2、，则 y=f (t) =t2+2t-1= (t+1) 2-2.当 a> 1 时，0va-1wtwa,此时 y max =a2+2a-1 ,由题设 a2 +2a-1=14,得 a=3,满足 a>1.当 0vav1, tC a, a-1,此时 y max = (a-1) 2+2a-1-1.由题设a-2+2a-1-1=1,得a=1,满

9、足0vav 1.故所求的a的值为3或1433快乐时光传话A对B说：“听说老王家的鸡刚生出的蛋落地便破壳，马上变出了小鸡.” B告诉C: “新鲜事，老王家的鸡生出的蛋，壳还没破，就变成了小鸡.” C又对D说：“真怪，老王家的鸡直接生出了小鸡！ ” D又对E说，E告诉了 F, F告诉了 G恰好G巧遇A,告诉A:“奇迹，老王家的鸡生出一只小乌龟！”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1 .若函数y=ax+b-1 (a>0且aw 1)的图象经过一、三、四象限，则一定有 ()A.a>1 且 b<1B.0<a<1 且 b<0C.0<a<1 且 b>0

10、D.a>1 且 b<0思路解析：本题考查指数函数的图象.a >1b <1 -aa 1,b : 0.函数y=ax+b-1 (a>0且aw 1)的图象经过一、三、四象限，则必有 a>1;a >1进而可知,二J(0)<0答案：D2 .如果函数y= (a2-4) x在定义域内是减函数，则 a的取值范围是()D.2<|a|< . 5A.|a|>2B.|a|> . 5C.|a|< ,5思路解析：0<a2-4<1,4<a2<5. .2<|a|< , 5 .答案：D3 .春天来了，某池塘中的荷花枝

11、繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A.10 天B.15 天C.19 天D.2 天思路解析：荷叶覆盖水面面积 y与生长时间的函数关系为y=2x,当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.故选C.答案：C4 .函数y=2|x|的值域是()A. (0, 1B. 1, +8)C. (0, 1)D. (0, +8)2x, x >0解法一：y=2|x= / ,0,作出图象观察得函数的值域为1, +8).2：x :二 0,解法二：令 u=|x|>0,贝U y=2u>20=1.

12、答案：B5 .农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元),预计该地区自2004年起的2年内，农民 的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2005 年该地区农民人均收入介于 ()A.3 200 元3 400 元B.3 400 元3 600 元C.3 600 元3 800 元D.3 800 元4 000 元思路解析：本题考查指数函数的应用.设2005年该地区农民人均收入为y元，则y=1 800 X(1+6%) 2+1 350+160 X 2 = 3 686

13、(元).答案：C6 .右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m2)与时间t (月)的关系：y=at,有以下叙述，其中正确的是()这个指数函数的底数为 2第5个月时，浮萍面积就会超过 30 m2浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月 浮萍每月增加的面积都相等若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3,则t1+t2=t3A.B.C.D.思路解析：本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质由图形得函数解析式应为y=2x (x>0).答案：D7 .电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：十进制12345678二进制1101110010

14、11101111 000观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数；当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是 . 思路解析：此题考查学生的观察能力、归纳总结能力.通过观察图表：二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1；二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1；二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1.依次类推，二进制为 6位数时，十进制的最大数为26-1.答案:26-18 .求函数 y=f (x)=(工)x- ( ) x+1 , xC -3, 2的值域.421思路解析：将(1) x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t的二次函数求解.2解：(x) = ( 1)

15、x 2- ( 1) x+1, xC -3, 2,22. ( 1) 2w ( 1) xw ( 1) -3,222一 11V即 _W ()x<8.42设 t= (1) x,则一定时间t后的温度T将满足T-T.二 (To-)( 一)h ,其中是环境温度.使上式成立所 wtw8.24将函数化为 f (t) =t需要的时间h称为半衰期.现有一杯用195°热水冲的速溶咖啡放置在75°的房间中，如果咖啡降温到105°需20 min,-t+1, te 1 , 8.4. f (t) = (t-1) 2+-, 24.f (1) w f (t) w f (8) . 3 wf (t

16、) < 57.24 3，函数的值域为,57.49.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是To,则经过问欲降温到95。需多少时间？思路解析：由所给公式知它是时间t与温度T的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h值.再将T=95代入已求得的T=f (t)中求得t.tt1 1 -h解：由题忌，知T=T “+ (To-T”)(一)h.将有关数据代入，得 T=75+ (195-75) ()h.这里h2 2是以分钟为单位的半衰期，为了确定它的值，将 t=20时，T=105代入，此时，105=75+1 20(195-75) () h ,解得 h=10.2.T=75+ (1

17、95-75)15。*)一.11 而 1欲使 T=95,代入(*)式，得 95=75+ (195-75) ()1。，即(一)10=,22626 min之后降温至95°两边取对数，查表得 =2.6,即t=26 ( min).因此，在咖啡冲好101。.已知 f (x) =x (，+1)2x -1 2(1)判断函数的奇偶性;(2)证明 f (x) >0.思路解析：本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式 (1)解：函数的定义域为x|x w 0.f (-x) =-x -2. 12(2" -1)1 2x=x 2(1 -2 )1 2x2(2x -1)=f

18、(x),函数为偶函数.(2)证明：由函数解析式，当 x>0时，f (x) >0.又f (x)是偶函数，当 x<0时，-x>0. ，当x<0时，f (x) =f (-x) >0,即对于xw 0的任何实数 x,均有f (x) >0.11 .设函数f (x)是定义在R上的增函数，且f (x) W0,对于任意x、x2 R,都有f (x1+x2) =f ( x1). f (x2).(1)求证：f (x1-x2)=13 ； (2)(2)若 f (1) =2,解不等式 f (3x) >4f (x).思路解析：由于函数y=ax具有本题中f (x)的条件与结构，因

19、而在解题时可以用指数函数y=ax (a>0且aw1)为模型类比.本题考查抽象函数的性质.(1)证明：: f (x1)=f (x-x2+x2)=f (x1-x2)- f 02),又 f (x)丰 0,二. f (x-x2)= "x". f (x2)(2)解：f (1) =2,2f (x) =f (1) f (x) =f (1+x) , 4f (x) =2 2f (x) =f (1) f (1+x) =f (2+x).那么 f (3x) >4f (x)可化为 f (3x) >f (2+x).又,函数f (x)是定义在R上的增函数，由 f (3x) >f (2+x)得 3x>2+x ,即 x>1.故不等式f (3x) >4f (x)的解集是x|x>1.12 .定义在R上的函数y=f (x), f (0) w0,当x>0时，f (x) >1,且对任意的 a、bCR, 有 f (a+