连续系统频域分析

1、连续系统频域分析4-1 周期信号通过线性系统周期信号通过线性系统对于周期信号对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：，当其满足狄氏条件时，可展成：10)cos()(nnntnAAtftjnnneF一、基本信号一、基本信号 ：tjetf)(tjethty)()(tjejH)( H(j )为为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。 可见，可见，ej t通过线性系统后响应随时间变化服从通过线性系统后响应随时间变化服从ej t ， H(j )相当加权函数。相当加权函数。)(tydehtj)()(dehejtj)(连续

2、系统频域分析3正弦量。正弦量。激励与响应为同频率的激励与响应为同频率的二、正二、正弦弦信号信号 ：tAtfcos)()(tytjtjejHe)(2costjtjeeAtA)()(2)(tjtjejHejHAty)(cos)(tjHA)()(2)()(tjjtjjeejHeejHA)()(jHjH)()()(2)()()(tjtjeejHAty正弦量。正弦量。激励与响应为同频率的激励与响应为同频率的三、任意周期信号：三、任意周期信号：二、正弦信号二、正弦信号 ：tAtfcos)()(tytje2costjtjeeAtA)()(2)(tjtjejHejHAty)(cos)(tjHA10)cos()

3、(nnntnAAtf )(cos)(10nnnntnBBty)()()()(jHjHth)0(00HAB ()nnBA H jntjejH)(连续系统频域分析5号。号。激励与响应均为周期信激励与响应均为周期信三、任意周期信号：三、任意周期信号：)(tytjtjejHe)(tAcos)(cos)(tjHA10)cos()(nnntnAAtf )(cos)(10nnnntnBBty)()()()(jHjHth)0(00HAB 其中：其中：)(jnHABnn1)cos(nnntnA )(cos1nnnntnB10)cos()(nnntnAAtf对于周期信号对于周期信号)()(jHth)()(jFtf

4、)(*)()(thtfty)()()(jHjFjYntjnneFnTtftf)()()(2)(nFjFnn)()(2)(nFjnHjYnn周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号; 周期激励信号的频谱为冲激序列周期激励信号的频谱为冲激序列 ，其响应信号的，其响应信号的频谱也为冲激序列。频谱也为冲激序列。连续系统频域分析7(a)(b)【解解】 jjH11)(njntenntu)2sin(1)(n为奇数为奇数)tttttu7cos725cos523cos32cos2)(即即：)69.785cos(08. 0)56.713cos(21. 0)45cos(2

5、)(ttttijjH11)(4521311)3(jjH56.71101511)5(jjH69.78261 )(cos)(10nnnntnBBty10)cos()(nnntnAAtf)0(00HAB 其中：其中：)(jnHABnn连续系统频域分析8jjH11)(njntenntu)2sin(1)(n为奇数为奇数)()()(jUjHjInnnnjU)(2)2sin(1)(nnjnn)(211)2sin(1nnjnnn)(211)2sin(1(n为奇数为奇数)连续系统频域分析9频率特性频率特性(a)(b)【解解】 22)5(4)(nnjF2252)(nntjetftttf10cos45cos42)(

6、即即：tjtjeety552)(1) 0(jH21) 5(jH)()()(jHjFjY2(5)4( )2(5) 0)10(jHtty5cos22)(t 5cos22方法方法1：方法方法2：一、系统函数一、系统函数4-2 非周期信号通过线性系统非周期信号通过线性系统系统函数定义：系统函数定义：)(tf)(tydtethjHtj)()() 1)()()(jFjYjH（1）h(t)的傅立叶变换；的傅立叶变换；（2）描述系统频率特性。）描述系统频率特性。)(*)()(thtfty)()(jFtf)()(jHth)()()(jHjFjY系统函数计算：系统函数计算：)()()()2jFjYjHjppHjH

7、)()() 3激励相量激励相量响应相量响应相量)()4jH连续系统频域分析11)()()(tytytyfx)(*)()(thtftyfdejYtytjf)(21)(练习：求系统函数练习：求系统函数H(j )。)()()(jHjFjY二、系统响应：二、系统响应：yx(t)系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值； yf(t)系统零状态响应，取决于系统函数和激励。系统零状态响应，取决于系统函数和激励。)()(2tUetht21)(jjH)()1 ()(2tUetht211)()(jjjH三、系统频率特性：三、系统频率特性：)()()(jejHjH)()

8、()(jFjYjH:)()()(jFjYjH: )(系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统相频特性：响应与激励信号相位差系统相频特性：响应与激励信号相位差连续系统频域分析12)()()(22tUetUtut解：解：)()()(2jHjUjU例例1：求图示电路的单位阶跃响应。：求图示电路的单位阶跃响应。jjUtU1)()()(a)(b)(a)22)(jjH211)(jj(b)2)(jjjH)()()(2jHjUjU21j21)(jjj)()(22tUetuth(t)=(e-2t-e-3t)U(t), f (t)=e-tU(t), 求系统零状态响应求系统零状态响应

9、 y(t) 。解：解：jjjH3121)(jjF11)()()()(jFjHjYjjj32/12112/1)()2121()(32tUeeetyttt).(),(10)(titUetuts求求jjH22/1)(jjUs110)(解：解：jjjI2515)()()55()(2tUeetitt连续系统频域分析14例例4：图示系统，激励：图示系统，激励f(t)和系统的频率特性如图所示，求零状态响应和系统的频率特性如图所示，求零状态响应 y(t)。)()()(jHjFjY解：解：tjnnneFtf)(22T21oFnjFn2)(2)(nFjFnn)2()(2)2(jj)3(31)2(21)()()(j

10、jjjFtjtjejejty22221)(tt2sin11连续系统频域分析15图示系统，图示系统， 求零状态响应求零状态响应 y(t) 。已知：。已知：解：解：)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)1000()1000(4144GGtttty1000cossin21)()1000()1000()(jS)2()(SatG)(2)2(GtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjFjX21)1000()1000(*)(422G)(21)(44GjF ，则令)1000()1000()(412G1）时域：）时域：4-3 信号通过线性系统

11、不失真条件信号通过线性系统不失真条件)(tf)(ty)(*)()(thtfty)()(0ttAfty不失真)()(0ttAth2）频域：）频域：0)(tjAejH0)(tjAejF0)(t)()()(jHjFjY一、信号失真一、信号失真线性失真：幅度失真、相位失真线性失真：幅度失真、相位失真非线性失真：非线性失真： 产生新的频率成分产生新的频率成分AjH)(全通幅频特性全通幅频特性线性相移特性线性相移特性二、无失真传输条件二、无失真传输条件连续系统频域分析17例例1：图示电路，：图示电路，f(t)=GT(t-T/2)，求响应，求响应y(t) 。RCjjH11)(2)2()(TjeTTSajF解

12、：解：)()()(jHjFjYRCjeTTSaTj11)2)(2)()()(TtUtUtf)()1 ()()1 ()(TtUetUetyRCTtRCt 图示系统，若要求不失真传输，求图图示系统，若要求不失真传输，求图(1)中中R1和和R2；例例2: 解解: )(jFj1j)(jYjRjY1)(jRjY1)(2)(jF)(1)1 ()(21221221RRjRRjRRjH01)(RjH无失真无失真 RRR21RRj)1 ()1 (arctan)(22212arctanR012)(RjH; 0)(j; 0)(j1RcctjekjH00 0t C 为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。为截止频率，称

13、为理想低通滤波器通频带。在在0 C 的低频段内，传输信号无失真。（有时延）的低频段内，传输信号无失真。（有时延） 4-4 理想低通滤波器理想低通滤波器cckjH0dejHthtj)(21)(k连续系统频域分析20dejHthtj)(21)( ccdeetjtj 0121 0021110ttjttjCCeejtt 00sinttttccc 0ttSacc ) t (t 0ttSathcc 或或octjeGjH)(2)()()(2时移性octjocceGttSa)()2()(已知SatG)( )(2)(2) t2(对称性GGSa)2( )(2) t(2C2CCC令GSa1 1、h(t)h(t)与与

14、 (t)(t)比较，严重失真；比较，严重失真；2 2、h(t)h(t)为抽样函数，峰值为为抽样函数，峰值为3 3、滤波器限制输入信号高频成分；、滤波器限制输入信号高频成分；4、 t0时，时，h(t) 0 非因果系统非因果系统理想低通滤波器是物理不可实现理想低通滤波器是物理不可实现k kc c5、物理可实现的滤波器，其幅频特为物理可实现的滤波器，其幅频特为djH21)(lnPaley -Wiener 准则准则 （佩利（佩利-维钠准则）维钠准则）连续系统频域分析22 jj1F0)(1)(2tjeGjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21)()(1dejoccttj)(12121 0121tt

15、SitgC jjjHFYoctjeGjH)(2dttttcoo0)()(sin121dtttxSix0sin)( 02ttSikktgC0)(ttSakthccdtSaktgtcc0)(dxxSakttc)()(0dxxSakkttc)(2)(00)(0txcdxdc1)(0tttc记作记作:Si(t)tdx0ixsinx=(t)S2上升时间：输出由最小值到最上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，记作大值所经历的时间，记作 BtCr12 ccfB23阶跃响应上升时间与系统带宽阶跃响应上升时间与系统带宽成反比。成反比。单位阶跃响应讨论：单位阶跃响应讨论：)()()(tUtUtf)()(1)

16、(00ttSittSityCC Crt21时，才有如图示，时，才有如图示，近似矩形脉冲的响应。近似矩形脉冲的响应。如果如果 过窄过窄或或C 过小，则响应波形上升与下过小，则响应波形上升与下降时间连在一起完全失去了激励降时间连在一起完全失去了激励信号的脉冲形象。信号的脉冲形象。连续系统频域分析264-5 抽样定理抽样定理一、抽样一、抽样(采样、采样、sample)：利用抽样序列利用抽样序列s(t)从连续信号从连续信号f(t)中中“抽取抽取”一系列离散样本值的过程。一系列离散样本值的过程。信号数字处理原理：信号数字处理原理：周期周期序列序列 tftfjFjFtfsss能能否否恢恢复复由由的的关关系

17、系与与)(需解决的问题：需解决的问题：)()()(tstftfs)(*)(21)(jSjFjFs连续系统频域分析27jSjFjFs*21)( )(1nsSnjFT)()(ssnjS)()(jFtf )()()()()(ssTsnTtnTfttftf f(t)：有限带宽信号有限带宽信号)()()(sTnTttts连续系统频域分析28 1) 当当 s 2 m时，时，Fs(j )是是F(j )在在不同不同 s倍数上的重复与再现，幅值为原值倍数上的重复与再现，幅值为原值的的1/Ts 。2) 当当 s m时时,F(j )=0 2) 抽样间隔抽样间隔msfT21 msff2 或或: 抽样频率抽样频率ms2

18、msff2minms2min奈奎斯特抽样间隔奈奎斯特抽样间隔msfT21max 奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样频率五、时域抽样定理五、时域抽样定理mscm1、实现连续信号离散化，、实现连续信号离散化，为信号的数字处理奠定基础；为信号的数字处理奠定基础；2、实现信号的时分复用，、实现信号的时分复用，为多路信号传输提供理论基为多路信号传输提供理论基础。础。 在同一时间里传送不同在同一时间里传送不同信号，信号，PCM 中采用时分复中采用时分复用方式。用方式。六、抽样定理意义六、抽样定理意义连续系统频域分析33例：图例：图(a)示系统，其示系统，其H1 (j )和和f1(t) 如图如图(b) 、(c)

19、所示。所示。解：解：)()() 11tSatfmm)()(21mGjFmsfT21)2mmsT)()() 3ssTntjSjFjFs*21)(jHjFjF11)( )(1nsSnjFT4）欲使）欲使y(t)=f(t)，H2 (j )应有右图频率特性。应有右图频率特性。 1) 求求F1(j )的频谱图；的频谱图； 2）求）求 T (t)中抽样间隔中抽样间隔Ts最大值；最大值； 3） 求求 s=2 m时时Fs(j )的频谱图；的频谱图； 4）欲使）欲使y(t)=f(t)，求，求H2 (j )的频率特性的频率特性。 一个持续时间有限信号一个持续时间有限信号f(t)的频谱的频谱F (j ) ，可用均匀

20、抽样，可用均匀抽样间隔间隔fs 1/2tm的抽样值的抽样值F (jn s)唯一确定。唯一确定。 这样可得到这样可得到f(t)在时域中重复形成周期信号在时域中重复形成周期信号fs(t) ，不会产，不会产生混叠。生混叠。 若从若从fs(t) 恢复恢复f(t), 可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。单个脉冲就可无失真地恢复原信号。 说明：说明： 1) f(t)为持续时间有限信号，即：为持续时间有限信号，即： | t | tm时时,f(t)=0 2) 抽样间隔抽样间隔mstf21七、频域抽样定理七、频域抽样定理mst4-6 调制与解调调制与解调一、调制一、调制: 使一个信号的某些参数按使一个信号的某些参数按另一个信号的变化规律而变化的措施。另一个信号的变化规律而变化的措施。)(tftts0cos)()(ty幅度调制系统幅度调制系统载波信号载波信号载波频率载波频率)()()(2100jF)()(21)(jSjFjYttftStfty0cos)()()(