连续时间信号与系统时域分析

1、本章重点和难点本章重点和难点 重点：重点：1）熟练掌握典型信号的定义与性质，微分方程的建立与求解；2）深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的意义及求解；34）零输入响应和零状态响应；5）自由响应和强迫响应，瞬态响应和稳态响应难点：难点：掌握卷积积分的定义、运算规律及主要性质，并会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应。第二章第二章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析本章教学内容本章教学内容 FFFFFFFFFFFFFF常用典型信号常用典型信号连续时间信号的分解连续时间信号的分解连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型连续时间系统的时域模拟连续时间系统的时域模

2、拟连续时间系统的响应连续时间系统的响应 单位冲激响应单位冲激响应卷积卷积一实指数信号一实指数信号函数表示式为：函数表示式为：( )tf tAe 图图2.12.1实指数信号的波形实指数信号的波形2.1 常用典型信号常用典型信号二复指数信号函数表示式为函数表示式为: :0()( )jtf tAe由欧拉公式，可得由欧拉公式，可得00( )cos()sin()tf tAetjt 图图2.2 2.2 复指数信号实部和虚部的波形复指数信号实部和虚部的波形根据根据0、的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：00( )ftA1 1当当时，时，为直流信号；

3、为直流信号；0()( )jtftA e( )tf te0002 2当当而而时，时，为实指数信号；为实指数信号；000( )jtfte3 3当当而而时，时，称为正弦指数信号，称为正弦指数信号， 02T的周期信号。的周期信号。0jte不难证明不难证明是周期为是周期为三抽样信号三抽样信号( )aS t抽样信号抽样信号( )aS t定义为定义为sin( )( )tf tStt图图2.3 2.3 抽样信号抽样信号可以看出，（可以看出，（1 1）( )aSt为偶函数；为偶函数； t( )aS t（2 2）当）当时，时，的振幅衰减趋近于的振幅衰减趋近于0 0； ()0fk，（，（k k为整数）；为整数）；

4、（3 3）( )aSt信号满足：信号满足：20( )St dt ( )St dt四、单位阶跃函数四、单位阶跃函数 )t ()t () t (0100)(t10t2.1常用典型信号奇异函数奇异函数是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续点的函数。点的函数。此函数在此函数在t=0t=0处不连续，函数值未定义。处不连续，函数值未定义。1.定义21)0( tSVUs1PPVt)()(a)(b)(t2. 2. 可代替电路中的开关，故又称为开关函数可代替电路中的开关，故又称为开关函数3. 给函数的表示带来方便)(t01)(0tt 0t右移t01)(0tt 0t左移t

5、 tsin)(sin0ttt0000t0t0tttt起始任一函数)t (）图的不同（）与注意（cb)()(sin00tttt (a)(b) (c)(tP)t()t()t()t(P00100)(tP1面积为10t五、单位脉冲函数五、单位脉冲函数1、定义）来表示（可用t)t (P)(tPt)(1t01)(1t100tt1)t()t()t(P1故2. =+)(tSgn0t11六、符号函数六、符号函数Sgn(t)Sgn(t)1)(2 t11)(tSgn000ttt12)t ()t (Sgn故）来表示（可用t)t (Sgn2.)t()t()t(Sgn01011.定义七、单位斜变函数七、单位斜变函数R(t

6、)R(t) 1.定义)t ()t (t)t (R0000)(tR11t）来表示（可用t)t (R.200dd )()t (Rtd )()t (Rttt00ttdt)t (dR)t (八八. ）（单位冲激函数t处奇异在0t称为冲激强度K100dt)t ()t ()t (000)(t)(0tt)(tK)(Kttt) 1 (0t（1）1、定义unit impulse function或)t (Plimt0）（或10)(tPt1000dt)t ()t (t)t (t）（）（sinlim()( ),kkttSa ktSa tkt或（），其中为整k0t23231k)tt()tt()t()t(00)(t2.

7、 的基本性质 (1)筛选性:设f(t)为一连续函数，则有)t (fdt)t (f )tt ()(fdt)t ()t (f000)(fdt)t()(fdt)t(ft0000）（证明：)(t(2) 是偶函数(证明参看p22)tttd )(td )(0001证明：由dttddtt)()()()(或dt)t (d)t ()t (lim)t (Plimt00）（反之，)t (d )()t (t的定义式比较，得将这对式子与)(t(3)冲激函数 的积分等于阶跃函数)()()(taat14、)()()()()()()()(taatadaatdataadaatdatadtat1011011）（故证明：)2()2

8、(1)2()2(1)( ttdtttdt或( ) t冲激偶函数22dttddttdt)()()( 九九、1、定义0im0im0221)1()1(矩形脉冲的导数t0)( t0从负t0从正t)1(t2、的基本性质)( t奇函数)( )(.00tttt)()( )( )()( )(.tftfttf000dtt)( .)( )( )(.00tfdttttf引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，例如：_V1)0(tK_cUFCic10000101001000_)()()()()()()(库仑dttdiqCCUqVUVUcccc 例1.有始周期锯齿波的分解ATT2T3)(tft00 ttf,)

9、(02.2 连续时间信号分解 分解将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。121)()(.)2()()()()()()()(nnTtAtRTATtATtAtRTAtfTtAtRTAtftf故TT2A)()(21tftf0)(1tf0ATAAT)(TtA)(TtA0ttt)(2tf 例2.任意函数表示为阶跃函数的积分(例2.4).)()()(.)()()()()()()(tktttkftkfttftftftftf00)0(f)(tf0tt2tk ) 1(tkt0( )tf tt考虑时间段的函数将间隔分成宽度为的几等分。)(tfaFFFF动画演示动画演示tttfttttkftkfttkftkfftk

10、tftftftftktknkk)()()()()()()()()()(10dtftftftftkttttftftfttnktkta00100)()()()()()(lim)()()()()( 例3.任意函数表示为冲激函数的积分.(例2.3) 0 ( f)(tf0ttk ) 1(tkt)(tfattkt0)(tfanktttttkttPtkftkttPtkftttPtfttPftftf00)()(.)()(.)()()()()()()()()()()()(limttfdtftftftt00FFFF动画演示动画演示 一、线性时不变系统的分析方法一、线性时不变系统的分析方法 第一步：建立数学模型 第

11、二步：运用数学工具去处理 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。 例一：对图示电路列写电流 的微分方程。)t (U)t (i)t (i021和电压、)( te)(0tUR)(1tiCRLM)(2tiLC2.3 连续时间系统的数学模型)t (e)t (Ridt)t (diMdt)t (diLd )(iCt12111)(te)(0tUR)(1tiCRLM)(2tiLC解：由两类约束关系，分别列两回路方程得： 回路1的KVL方程：电阻R的伏安关系：整理后得：012122)t (Ridt)t (diMdt)t (diLd )(ict)t (RitU20）（)t (iCdt)t (diCRd

12、t)t (id)CLR(dt)t (idRLdt)t (idML1212122313414221222）（2233441dt)t (edCdt)t (edRdt)t (edL回路2的KVL方程：330202022303404223322222223234242212221222dt)t ( edRMUCdtdUCRdtUd)CLR(dtUdRLdtUdMLdt)t ( edM)t (iCdt)t (diCRdt)t (id)CLR(dt)t (idRLdt)t (idML）（）（例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。解：由图列方程 ).().t( iR)t(rdt)t

13、(drC22KCL:).().t ( e) t ( rdt) t (diL1 KVL:)(ti)(te2CLR)(tr)t (e)t ( rdt)t (drRLdt)t ( rdLC222将（2）式两边微分，得 ).(.dt)t (didt)t (drRdt)t ( rdC31222将（3）代入（1）得* *由以上例题可以得出如下结论：由以上例题可以得出如下结论：1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。 例一：含有4个储能元件，故为四阶电路。 例二：含有2个储能元件，故为二阶电路。2.无论是电流i(t)或电压U（t）,他们的齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。 ebdt

14、deb.dtedbdtedbradtdra.dtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：n阶常系数微分方程三、三、n n阶常系数微分方程的求解法阶常系数微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order全响应全响应= =齐次方程通解齐次方程通解 + + 非齐次方程特解非齐次方程特解（自由响应） （受迫响应）全响应全响应= =零输入响

15、应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应（解齐次方程） （叠加积分法） 时域分析法时域分析法（经典法）变换域法变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解微分方程求解2.4 连续时间系统的时域模拟连续时间系统的时域模拟系统模型。框图组合建立之一：即利用基本的方解决上述矛盾的方法得要领。十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方统分析方法方程或差分方程）的系建立数学模型（微分为什么要模拟？。或仿真的方法称为系统模拟图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本一、何谓系统的模拟,)(到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能简化。统

16、时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分、模拟图用基本单元法二、线性系统的模拟方1)()(2)(21)(1sXxsXxtt12( )( )( )sYXsXs加法器加法器: :)()(sYyt1( )2( )( )tty txx标量乘法器标量乘法器: :)()(sXxta)()(sYyt)()()()(saXsYtaxty乘法器：乘法器：)()(2)(21)(1sXxsXxtt)()(sYyt)()()()(21)(2)(1sXsXYxxtystt延时器：延时器：)(tx)(ty)()(txty初始条件为零的积分器初始条件为零的积分器时域形

17、式tdxty0)()(复频域形式)(1)(sXssY )(tx)(tys1)(sX)(sY初始条件不为零的积分器初始条件不为零的积分器)(tx)0(y)(tytdxyty0)()0()(s1sy)0()(sX)(sYssXsysY)()0()(、一阶微分方程的模拟2xyay0yaxy0 x0ay y条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始0a)(sXs1)(sY)(ssY、二阶系统的模拟3xyayay01 yayaxy01 0a1a)(tx y yyn由一、二阶系统的模拟可以推出 阶系统的模拟规则xbxbyayayx01014 导数的二阶系统的模拟、含有qbqbyyxqaqaqqq01012)

18、 1 (1, ）式满足（则）满足方程（使引入一辅助函数方程即可证明代入原、将)2() 1 (称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接X1a 0a1b0byq qq )(.)()()()(.)()()()()()()(tebtebtebtratratratrmmmmnnn11101111)()()()(tebtrajmjjinii001na描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程。上式缩写为：2.5 连续时间系统的响应 值为特征方程的根。系统的特征方程为0)()(210111nnnnpppapapap全响应受迫响应特解自由响应齐次解

19、)()()(trtrtrph)()()(trtrtrph令令值为特征方程的根。系统的特征方程为0)()(210111 nnnnpppapapap)(trn一、齐次解).,(nii21为单实根设齐次方程的特征根均值为特征方程的根。系统的特征方程为0)()(210111 nnnnpppapapaptniihiectr1)( ic特征根)(trh齐次解jm一对共轭复根重实根单实根21)sin()cos(012211tDtCeeCetCetCetCCettttmmtmmt 表表2.1不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解式中常数 由初始条件确定。tniiniectr1)(te)t(rC)(r

20、)(r222200故代入上式得将0t0t。，求系统的响应已知出方程为：描述某系统的输入输例)(2)0(, 0)()()(2)(1trrtetetrtrtCetrpp2)(2020)(2)(000trtrttt求系统的响应时的状态初始条件：系统在时接入）时的状态（设激励在初始状态：系统在te )t()t(rC,C2101222将初始条件代入上式得0t求系统的零输入响应。，已知程为：描述某系统的微分方例,)(r)( r).t (e)t (e)t ( r)t (r)t (r20202442tteCteCtrrrrr202121221)(2, 044,2)0()0(, 2)0()0(零输入响应得特征根

21、为解：由于激励为零，故、)(trp二、特解特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表2.22.2列出了几种激励及其所对应特解的形式。列出了几种激励及其所对应特解的形式。备注B（常数）AA（待定常数） 不等于特征根 等于特征单根 重特征根 所有特征根均不等于零 重等于零的特征根激励( )e t( )prt特解temtcostsint或等于kteA10ttA teA e1110()kmmmmtA tAtAtA1110ktktttkkA t eAteA teA e1110mmmmA tAtA tA12cossinAtAtk有j所有特征根均不等于例描述

22、某系统的微分方程为例描述某系统的微分方程为1. y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e 2e-t-t，t0；y(0)=2，y(0)= 1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e e-2t-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。解: (1) 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 ,其特征根1= 2，2= 3。 齐次解为y h(t) = C1e 2t + C2e 3t由表2.22.2可知，当f(t) = 2e f(t) = 2e t t时，其特解可设为 Y P(t) = Pe t将其代入微分方程得Pe t

23、 + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1P=1于是特解为于是特解为yp(t) = e t全解为：全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1解得C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0（2 2）齐次解同上。当激励齐次解同上。当激励f(t)=ef(t)=e2t2t时，其指数与特征根之一相重。时，其指数与特征根之一相重。由表由表2.22.2知：其特解

24、为知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t ,所以所以P P1 1= 1= 1 但但P P0 0不能求得。不能求得。全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数C1+P0=

25、 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。三零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应)()()()(tebtrajmjjinii001na)()()(trtrtrph).2 , 1(nii为单实根设齐次方程的特征根均tniihiectr1)()()(trectrptniii1)(trececptniftnixiiii11tniftnixtniiiiiiiececec111自由响应强迫响应零输入响应零状态响应)(trzi)(trzs零状态响应的齐次解自由响应式中零输入响应两种分解方式的区别：两种分解方式的区别：1 1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同icixc与不相同i

26、cixc由初始状态和激励共同确定由初始状态确定2 2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解t t 对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指时，响应不为零的那部分响应分量。时，响应不为零的那部分响应分量。t 1.1.定义：定义： 当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应称为单位冲激当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用响应，简称冲激响应，用h(t)h(t)表示。表示。(

27、)( )h tLTIg t冲激响应系统的零状态响应叠加积分阶跃响应dtgetrthtetrt)()( )()()()(0)(t0t)(th) 1 (LTI)(th)(t0t零状态2.6 单位冲激响应一一.冲激响应冲激响应)(t)()()()(tetrtrtr 23)()(thtrZS 000123)()().(.)()()()(hhtththth得21200230021，特征根为上式可化为时，).(.)()()(,)( tthththtt2. h(t)的求解方法的求解方法例1.描述某系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应的定义，当e(t)= 时，0)0()0(,)()(

28、)0()0(,)()(,)()()()() 1.(.)()(2)(3)()0()0(1)3.(.)()()(221即为连续函数即项含项含和平衡，确定初始条件）等号两边奇异函数要由方程（故hhtdtththhhtthdtththtthtthththhhteCeCthtt 000000001200300001dtthhhdtthhhhh)()()()()()()( )( )(，其中逐项积分，得到式两边从对)()()()( )()()()( )( ,)( )( teethCCCChCChhhhhhtt221212111120003001010100故式得代入，将初始条件即故满足方程时，当若初始值确定

29、)()()()()(.)()()()()(thttetetratratrnnn01101)(,.,)()(.)()()()()(11121000011njhtthathathjnnn）（)(.)(.)()()(.)()()()()()(31I2011011tebtebtebtratratrLTmmmmnnn骤系统的冲激响应求解步)()(,.,)()(211022100001njhnjh初始值为各由系数平衡法，可推得.)()()(.)()()(),(.)()(）式相同求解过程与（满足方程选取新变量11110111111thtthathathththannn)( )()()( )(tetetrtr

30、tr2452.为描述某系统的微分方程例)(.)()()()(.)()(thbthbthbthbmmmm10111131系统的冲激响应为微分特性，即可求得式状态响应的线性性质和根据线性时不变系统零试求该系统的冲激响应试求该系统的冲激响应h(t)h(t)。解：1111(1)( )( )5( )4 ( )( )h ththth tt选求满足下式的冲激响应代入上式得将故冲击响应，特征根为10004111221121)( ,)()()()(hhteCeCthtt0010045011111)()( )()( )(hhthththt时化为零输入响应，设31311400021211211CCCChCCh，)(

31、 )()()()( )()()()(teeththththtt411323122再求满足系统方程的411441411( )( )() ( )331411( )() ( )() ( )333314() ( )33tttttttth th teethteeteeteet 故冲激响应为)()(.)()()()(.)(.)(sHLthdttdtdttdgthhth13201的确定难点化为零输入响应的求法二、阶跃响应二、阶跃响应1.1.定义定义)(tg)(t1t0LTI)(t)(tg零状态t02.g(t)2.g(t)的求解方法的求解方法121000012121000011njggnjgttgatgatg

32、jjjnnn,.,)()()(.,)()()(.)()()()()()()(平衡，得由方程两边奇异函数要101( )() ( )intiig tCeta若该方程的特征根均为单根，则齐次解特解另外：ttdtdhtg)()()()(试求该系统的阶跃响应为描述某系统的微分方程例),()()( )(.tetrtrtr863)()()(teCeCtgtt8142422121故，特征根为000086)()( )()()( )()(ggttgtgtgtg满足方程为解：)3(),2(15. 2)()818141()(81,41042)0( 081)0(042212121作业：于是得初始值代入上式得由teetg

33、CCCCgCCgtt).(),()(, 1)0( , 2)0()()( 2)(3)( 4)(42trteterrtetetrtrtrt求全响应已知：系统的微分方程为例)(3)(2)(3)(2)()( 2)()(2)( ),()()(31)()()() 1 ( :22222232121tetteteteteteteteteteecectr，trtrtrttttttttnpn得由特征根解解ttttpppptptptpteecectretrrrrpetrpetrpetrtetrtrtrt2321222223)(3)(1 4)( ,2)( )() 1 ()(3)(3)( 4)(,0）式，可得代入（，将

34、设特解系统方程为：时3)0( ,2)0()0(2)0()0( 4)0( )0( )(3)(2)(3)( 4)(3)(2)(3)( 4)()0( ),0()2(002000000002rrrrrrrdttedttdttrdttrdttrettrtrtrrrtt将方程两边积分的确定0343)(4, 3363233)(3)0( , 2)0(232121212321teeetrcccccceecectrrrtttttt故得代入将2.7 卷积系统零状态响应的求解系统零状态响应的求解卷积积分定义卷积积分定义卷积积分性质卷积积分性质本节通过信号分解的思想，把任意信号为冲激信号的叠加，本节通过信号分解的思想，

35、把任意信号为冲激信号的叠加，得到线性时不变系统的零状态响应为输入信号与系统冲激得到线性时不变系统的零状态响应为输入信号与系统冲激响应的卷积积分。响应的卷积积分。0tt10tPtt0) 1 ()(tt)(lim)(0tPttt定义：定义：( )tPt作用于系统时的零状态响应为作用于系统时的零状态响应为一、零状态响应时域分析法一、零状态响应时域分析法( )tSt0( )lim( )tth tSt )(lim)(0tPttt( )tPt( )tStLTILTI(0)e)(tf0ttk ) 1(tkt( )ae t任意信号e(t)表示为冲激函数叠加.0( )( )(0)( )()().()().()(

36、)tttntke tetePttettPtte k ttPtk te k ttPtk t FF0( )( )(0)( )()().()().()()tttntke tetePttettPtte k ttPtk te k ttPtk t ( )e t( )zsrtLTI定义：激励信号定义：激励信号e(t)作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为( )zsrt当当t0时，有时，有00lim( )( )( ) ()( )( )ttete tetde tt 00lim( )( )( ) ()( )( )tzstr trteh tde th t 0( )( )(0)( )()().()().()()zs

37、tttntkrtr teSttettStte k ttStk te k ttStk t 则有：则有：当当t0时，有时，有0( )( )( )( ) ()( )( )( )te tr tr teh tdr te th t则当输入为时，零状态响应为卷积积分卷积积分常简记为( )6 ( )8 ( )( ),rtr tr te t例 描述某系统的微分方程为试求该系统的阶跃响应)()81()(42422121teCeCtgtt故，特征根为( )( )6 ( )8 ( )( )(0 )0(0 )0g tgtg tg ttgg解法1： 满足方程为)()818141()(81,41042)0( 081)0(0

38、42212121teetgCCCCgCCgtt于是得初始值代入上式得由( )6 ( )8 ( )( )(0 )(0 )0h th th tthh得)(t由冲激响应的定义，当e(t)= 时2412( )() ( )1(0 )(0 )( )6 ( )8 ( )( ).(1)( )( )( )( ),( )( ),(0 )(0 )( )( ),(0 )(0 )0tth tC eC ethhh th th tth tth th t dth tthhh th t dthh故由方程（）等号两边奇异函数要平衡，确定初始条件和含项含项 即为连续函数 即解法解法2:12112224(0 )1(0 )1(0 )0

39、(0 )01/2(0 )2411/211( )() ( )22tthhhhCCChCCCh teet 将初始条件，代入得故24242411( )( )* ( )() ( )* ( )221 11 102 0( 2)2 0( 4)111() ( )848ttzsttttrth tteetteeteet 二、卷积积分图解法1.卷积定义：卷积定义：)()()()()()()()(),()(tftftftftfdtfftftftf21212121简记为两者做卷积运算定义为和对于任意两个信号2.卷积的图解法卷积的图解法111)(1tf)(2tf5 .000tt121222( )( )( ),( )( )

40、().ftftftftff求的步骤：将函数 的自变量用 代换，并反转得第一将步011)(1f015 . 0)(2f015.0)(2f22()()ftft：将函数 沿正 轴平移得第，步时间二)(2tf)(1f0t1t115 . 0)(10右移t)(2tf0t1t)(0 左移t0.512120,( )()0,( )( )()0tff tf tff td：两信号重叠部分相乘，求相乘后图形的积分两图形分离，其乘第三步积等于零重复第二步12001,( )()1 0.5,( )1 0.50.5ttff tf tdt 重复第三步)(2tf0t1t)(1f1122t)(1f)(2tf0t1t115 . 0)(21右移 t2112112,( )()1 0.5,( )1 0.50.5(2)ttff tf tdt 122,( )()( )0tff tf t与完全分离，以上计算结果归纳为05 . 012t)(tf三、卷积积分性质1221( )( )( )( )f tf tf tf t123123( )( )( )( ) ( )( )f tf tf tf tf tf t).()(tftf21例一、计算02t1)(1tf)()()(121tttf)()(tetft201t)(2tf)(tet(1)交换律：(2)分配律：(3)结合律：1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f