稳定性与李雅普诺夫方式

1、稳定性与李雅普诺夫方式n1892Lyapunov在运动稳定性的 一般问题中提出了稳定性理论n主要内容：n李氏第一法（间接法）：求解特征方程特征值n李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造V函数李雅普诺夫李雅普诺夫 1857-1918 俄国数学家稳定性的定义稳定性的定义系统的状态运动及平衡状态系统的状态运动及平衡状态 在研究运动稳定性时，常限于研究没有外输入作用时的系统，称之为自治系统，或齐次状态方程在初始条件作用下，有唯一解上是描述了系统在n维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 若系统存在状态矢量xe，对所有t，都使则称xe为系统的平衡状态。稳定性的定义

2、稳定性的定义n李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定 xe为系统一个孤立平衡状态，若对于任意选定的实数 ，都对应存在一个实数 ，使得当时，从任意初态x0出发的解都满足则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定。如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。稳定性的定义稳定性的定义n渐进稳定渐进稳定 当平衡状态xe为渐进稳定时，必成立n大范围渐进稳定大范围渐进稳定 如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐进稳定性，则称平衡状态xe大范围渐进稳定。稳定性定义的平面几何表示稳定性定义的平面几何表示n设系统初始状态 x0 位于平衡状态 xe 为球心、半径为的闭球域内

3、，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以 xe 为球心，半径为的闭球域内稳定性的定义稳定性的定义n稳定性问题是相对于某个平衡状态而言n线性定常系统，由于只有唯一的一个平衡状态，系统的稳定性问题就是平衡状态的稳定性n其余系统如果存在多个平衡状态，则不同的平衡状态可能表现出不同的稳定性，因此必须逐个分别讨论李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）n线性系统的稳定判据线性系统的稳定判据 线性定常系统=（A，b，c）平衡状态xe=0渐进稳定的充要条件是A的所有特征值均具有负实部。状态稳定 内部稳定输出稳定 外部稳定线性定常系统=（A，b，c）输出稳定的充要条件是传递函数W(s)=

4、c(sI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面。李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性n设线性定常系统是内部稳定的，则其必是外部稳定的；n设线性定常系统是外部稳定的，则不能保证系统必是渐近稳定；n如果线性定常系统为能控和能观测的，则其内部稳定性与外部稳定性是等价的。李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）n非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性 设系统状态方程为xe为平衡状态，将矢量函数 在xe领域内展开成泰勒级数若令，则得系统线性化方程非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性李雅普诺夫给出的结论李雅普诺夫给出的结论n若系数矩阵A

5、的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态xe是渐近稳定的，且与R(x)无关；n若系数矩阵A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态xe是不稳定的；n若系数矩阵A的特征值至少有一个的实部为零，其余都具有负实部，系统处于临界情况，那么，原非线性系统的平衡状态xe的稳定性取决于R(x)，第一方法不能判断，须用第二方法。李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法）n若系统平衡点渐近稳定,则系统储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡点时,其能量达到最小值n反之,若平衡点不稳定,则系统储存的能量将越来越大。n基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某

6、种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。从某种角度说，李雅普诺夫第二法是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。例: 一个弹簧质量阻尼器系统，如图示。系统的运动由如下微分方程描述。设选取位移和速度为状态变量则系统的状态方程为在任意时刻，系统的总能量显然，当x不为零时E(x)0,而当x=0时，E(0) =0 总能量随时间的变化率为:可见，只有在x2=0时，在其他各处均这表明系统总能量的衰减的，因此系统是趋于稳定的。李雅普诺夫第二法是研究系统平衡状态的稳定性。n预备知识预备知识n标量函数的符号性质n二次型标量函数1.希尔维斯特判据V(x)为由n维矢量定

7、义的标量函数x ,且在x=0处，恒有V(X)=0所有在向量空间中的任何非零矢量x,如果： 1） ，则称V(x)为正定的 2） ，则称V(x)为半正定（或非负定）的 3） ，则称V(x)为负定的 4） ，则称V(x)为半负定（或非正定）的 5） 或 ，则称V(x)为不定的0)(xV标量函数的符号性质标量函数的符号性质例：正定的 负定的不定的正半定的二次型标量函数二次型标量函数设x1, x2, , xn为n个变量，定义二次型标量函数为：其中，pij=pji，P为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，通过 。二次型标量函数二次型标量函数设V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函数。 1）若V(x)正定，则

8、称P为正定的，记做P0 2）若V(x)负定，则称P为负定的，记做P=04）若V(x)半负定，则称P为半负定的，记做P=0李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法）n几个稳定性判据几个稳定性判据n定常系统大范围渐近稳定的判别定理设系统的状态方程为平衡状态为xe=0，满足f(xe)=0。如果存在一个标量函数V(x)，它满足：（1） ，是正定的；（2），是负定的，则平衡状态xe=0是渐近稳定的。V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数；（3），则平衡状态xe=0是大范围渐近稳定。几个稳定性判据几个稳定性判据n李雅普诺夫意义下的稳定判别定理（1）为正定的；（2）为半负定。那么，平衡状态xe=0是李

9、雅普诺夫意义下的稳定。n定常系统不稳定的判别定理（1）为正定的；（2）为正定的。那么，平衡状态xe=0是不稳定的。例：设系统状态方程为下式，试确定系统的稳定性。解 显然，原点 (x1=0,x2=0) 是该系统唯一的平衡状态。选取正定标量函数V(x)为 则沿任意轨迹,V(x)对时间的导数是负定的。注意讨论对象为非线性系统，表明：李雅普诺夫稳定性定理可应用于非线性系统这说明 V(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。由于当 时， ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。例 已知定常系统状态方程为下式，试确定系统的稳定性。解 易知原点为系统唯一的平衡状态。现取李雅普诺

10、夫函数 2221xxxV容易看出，除了x1任意 ,x2=0 x1任意,x2=-1时均有 所以， 为负半定进一步考察：若x2=0则由状态方程的分式2，可知x1=0若x2=-1则 由状态方程的分式2，可知x1=0,则此时 这一结果是矛盾的，因而呢是不存在的当 时，显然有x所以平衡点为大范围渐进稳定李雅普诺夫函数的讨论李雅普诺夫函数的讨论nV(x)是一个正定标量函数，且对x具有连续一阶偏导数nV(x)非唯一，但并不影响结论的一致性nV(x)最简单形式是二次型函数V(x)=xTPxn若V(x)=xi2，表示从原点至x点的距离，便表征了系统相对原点运动速度nV(x)只表示系统在平衡状态附近某领域内局部运

11、动稳定情况nV(x)方法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。如高阶的非线性系统或时变系统例：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解1:原点是平衡状态。设则只有全零解，故原点是大范围一致渐进稳定。解2取则故不定。无法判别是否稳定解3取则故稳定讨论： 1、V(x)的取法影响到稳定性的能否判别和判别的难易 2、解3的V(x)是如何得到的？李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用n线性定常连续系统渐近稳定判据线性定常连续系统渐近稳定判据 设线性定常连续系统为则平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵

12、P，满足李雅普诺夫方程并且是系统的李雅普诺夫函数。李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用n应用判据时注意以下几点：应用判据时注意以下几点：n实际应用时，通常是先选取一个正定矩阵Q，带入李雅普诺夫方程式解出矩阵P，在判定P的正定性，进而作出系统渐进稳定的结论；n为了方便计算，常取Q=I，这时P应满足n若 不恒等于零，那么Q可取为半正定的；n上述判据所确定的条件与矩阵A的特征值具有负实部的条件等价，因而判据所给出的条件是充分必要的。例：判断系统稳定性解：选取正定 是大范围一致渐进稳定前例V 的来源李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用n线性时变连

13、续系统渐近稳定判据线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为则系统在平衡点xe=0处大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，必存在一个连续对称正定矩阵P(t)，满足而系统的李雅普诺夫函数为李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用n线性定常离散时间系统渐近稳定判据线性定常离散时间系统渐近稳定判据 设线性定常离散时间系统的状态方程为则平衡状态xe=0处渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定实对称矩阵P，满足而系统的李雅普诺夫函数为结论结论 对于线性定常离散时间系统，只有当系统的极点落在单位圆内时，系统在

14、平衡点处才是大范围渐进稳定的。例： 设离散时间系统的状态方程为试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。解： 由展开后得 如下联立方程组:根据赛尔维斯特准则,要使P为正定,必须满足因此,有即只有当传递函数的极点位于单位圆内时,系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。例： 试确定用如下状态方程描述的离散系统的平衡态稳定性。解由定理得如下李雅普诺夫代数方程:展开后得如下联立方程组:解出p11、p12和p22,得矩阵P为正定，故系统为大范围渐近稳定的。李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用n线性时变离散系统渐近稳定判据线性时变离散系统渐近稳定判据 设线性时变离散系统的状态方程为则平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q(k)，必存在一个正定实对称矩阵P(k+1)，使得系统的李雅普诺夫函数为李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用n线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的；非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质n李雅普诺夫第二法只给出判断非线性系统渐进稳定的充分条件，而不是必要条件李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用李雅普诺夫方法在非线性系统