2015-2016年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：1（5分）i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC+iD+i2（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A2B3C4D53（5分）设p：x23x+20，q：0，则p是q（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）函数f（x）=log0.5（x24）的单调减区间为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）5（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A2B4C8D166（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sk1=3，Sk=

2、0，Sk+1=4，则k=（）A5B6C7D87（5分）在ABC中，ABC=90°，AB=，BC=2，点P为ABC内一点，若BPC=90°，PB=1，则PA=（）A4BCD18（5分）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=，=，若=1，=，则+=（）ABCD二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9（5分）如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为10（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是11（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行

3、于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为12（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为13（5分）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知PD=2DA=2，则PE=14（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）（）求f（x）的最小正周期和单调

4、递增区间；（）当x，）时，求f（x）的取值范围16（13分）现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX17（13分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH平面ABCD，EFAB，BFC=90°，AB=2，EF=1（）求证：FH平面EDB；（）求二面角BDEC的大小；（）求四面体BDEF的体积18（13分）如图，椭圆C

5、：=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（）求椭圆C的方程；（）求APB面积取最大值时直线l的方程19（14分）设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（）求证：an是首项为1的等比数列；（）若数列bn的前n项和为Tn=n2+2n，求数列anbn的前n项和；（）若a21，求证：Sn（a1+an），并给出等号成立的条件20（14分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f（x）和g（x）是f（x），g（x）的导函数，若f（x）g（x）0在区间I上恒成立，则称f

6、（x）和g（x）在区间I上单调性一致（）讨论f（x）的极值；（）设a0，若函数f（x）和g（x）在区间2，+）上单调性一致，求实数b的取值范围；（）设a0，且ab，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1（5分）（2016春天津校级月考）i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC+iD+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=，故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）（2016天津校级模拟）变量x，y满

7、足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A2B3C4D5【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法3（5分）（2016春天津校级月考）设p：x23x+20，q：0，则p是q（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

8、【分析】分别求出关于p，q的不等式的解，结合集合的包含关系，判断即可【解答】解：关于p：x23x+20，解得：x2或x1，关于q：0，解得：x2或x2或1x1，则p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题4（5分）（2016春天津校级月考）函数f（x）=log0.5（x24）的单调减区间为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）【分析】令t=x240，求得函数的定义域，且y=log0.5t，再利用二次函数的性质求得t在定义域内的单调增区间，即为函数f（x）的减区间【解答】解：令t=x240，求得x2或x2，故函数的定义域为（，2）（2

9、，+），且y=log0.5t，故本题即求函数t在定义域内的单调增区间由于函数t在定义域内的单调增区间为（2，+），故函数f（x）的减区间为（2，+），故选：D【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题5（5分）（2016春天津校级月考）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A2B4C8D16【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件k3，计算输出S的值【解答】解：模拟执行程序，可得k=0，S=1满足条件k3，S=1，k=1满足条件k3，S=2，k=2满足条件k3，S=8，k=3不满足条件k3，退出循环，输

10、出S的值为8故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题6（5分）（2016春天津校级月考）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sk1=3，Sk=0，Sk+1=4，则k=（）A5B6C7D8【分析】Sk1=3，Sk=0，Sk+1=4，可得ak=SkSk1，ak+1=Sk+1Sk，可得公差d=ak+1ak再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：Sk1=3，Sk=0，Sk+1=4，ak=SkSk1=3，ak+1=Sk+1Sk=4，公差d=ak+1ak=43=1ak=a1+（k1）=3，a1=4k，Sk=ka

11、1+=0，化为k（4k）+=0，解得k=7故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）（2016春天津校级月考）在ABC中，ABC=90°，AB=，BC=2，点P为ABC内一点，若BPC=90°，PB=1，则PA=（）A4BCD1【分析】由已知得PBC=60°，可得PBA=30°，在PBA中，由余弦定理即可得出【解答】解：在ABC中，由已知得PBC=60°，PBA=30°，在PBA中，由余弦定理得PA2=12+12×=7，PA=故选：C【点评】本题考查了余弦定理

12、的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=，=，若=1，=，则+=（）ABCD【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由=1，求得4+42=3 ；再由=，求得+= 结合求得+的值【解答】解：由题意可得若=（+）（+）=+=2×2×cos120°+=2+4+4+×2×2×cos120°=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1）=（1）（1）×2&

13、#215;2×cos120°=（1+）（2）=，即+= 由求得+=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9（5分）（2016春天津校级月考）如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=（）=，边长为1的正方形的面积为1，所以所求概率P=故答案为：

14、【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题10（5分）（2015烟台一模）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是10【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，10显然面积的最大值为10故答案为：10【点评】本题考查了由三视图判断几何体，是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型11（5分）（2016春

15、天津校级月考）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=5，可得双曲线的左焦点为（5，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程平行于直线l：y=2x+10，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：因为抛物线y2=20x的准线方程为x=5，所以由题意知，点F（5，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=25，又双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，所以=2，由解得a2=5，b2=20，所以双曲线的方程为故答案为：【

16、点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题12（5分）（2014天津）在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为3【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y2）2=4，可得a的值【解答】解：直线sin=a即y=a，（a0），曲线=4sin，即2=4sin，即x2+（y2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，AOB是等边三角形，B（a，a），代入x2+（y2）2=4，可得（a）2+（a2）2=4，a0，a=3故答案为：3【点评】本题考查把极坐标方程化为

17、直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题13（5分）（2013陕西）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知PD=2DA=2，则PE=【分析】利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解PE的值【解答】解：因为BCPE，BCD=PED，且在圆中BCD=BADPED=BAD，EPDAPE，PD=2DA=2PE2=PAPD=3×2=6，PE=故答案为：【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力14（5分）（2014天津）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|

18、恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）【分析】由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a0，不满足条件，a0，当a2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，当a=1时，当x0时，f（x）=x25x4，由f（x）=x25x4=x得x2+4x+4=0，则判别式=164×4=0，即此时直线y=x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，要使函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则1a2，故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查函数零点

19、个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）（2016春天津校级月考）设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x，）时，求f（x）的取值范围【分析】（1）先利用两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x，）时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）

20、的取值范围【解答】解：f（x）=cos2x+sin2（x+）f（x）=cos2x+f（x）=cos2x+sin2x+f（x）=sin（2x+）+，（1）最小正周期，sinx单调递增区间为2k，2k+，（kZ）2x2k，2k+，（kZ）解得：x，（kZ）f（x）的最小正周期为；单调递增区间为，（kZ）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+x，），2x，由三角函数的图象和性质：可知：当2x=时，f（x）取得最小值，即=0当2x=时，f（x）取得最大值，即x，）时，f（x）的取值范围在【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本

21、题的关键属于中档题16（13分）（2012山东）现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX【分析】（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B+，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的

22、对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可【解答】解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B+根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）=×（1）×（1）+（1）××（1）+（1）×（1）×=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和

23、互斥性得P（X=0）=P（）=（1）×（1）×（1）=P（X=1）=P（B）=×（1）×（1）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1）××（1）+（1）×（1）×=P（X=3）=P（BC）+P（BD）=××（1）+×（1）×=P（X=4）=P（）=（1）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×

24、+5×=【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题17（13分）（2016春天津校级月考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH平面ABCD，EFAB，BFC=90°，AB=2，EF=1（）求证：FH平面EDB；（）求二面角BDEC的大小；（）求四面体BDEF的体积【分析】（）设AC与BD交于G，则G为AC的中点连接EG，GH，通过证明四边形EFHG是平行四边形，证明FH平面EDB；（）在平面CDEF内过点F作FKDE交DE的延长线与k，可知FKB为二面角B

25、DEC的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求解；（）求出四面体BDEF的高与底面面积，即可求解四面体的体积【解答】（）证明：设AC与BD交于G，则G为AC的中点连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GHAB，GH=，又EFAB，EF=，四边形EFGH为平行四边形，FH平面EDB；（）解：FH平面ABCD，平面BFC平面ABCD，又ABBC，AB平面BFC，则ABBF，则EFFB，又BFC=90°，BF平面CDEF，在平面CDEF内过点F作FKDE交DE的延长线与k，则FKB为二面角BDEC的一个平面角，EF=1，AB=2，FC=，DE=，又EFDC，KEF=EDC，sin

26、EDC=sinKEF=，FK=EFsinKEF=，tanFKB=，FKB=60°，二面角BDEC为60°；（）解：EFFB，BFC=90°，BF平面CDEF，BF为四面体BDEF的高，又BC=AB=2，BF=FC=，S=EFFC=×1×，四面体BDEF的体积VBDEF=【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，考查计算能力，是中档题18（13分）（2012浙江）如图，椭圆C：=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（

27、）求椭圆C的方程；（）求APB面积取最大值时直线l的方程【分析】（）由题意，根据离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，建立方程，即可求得椭圆C的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，当ABx轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m0）由，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得APB面积，从而问题得解【解答】解：（）由题意，解得：所求椭圆C的方程为：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M当ABx轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原

28、点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m0）由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，线段AB的中点MM在直线OP上，k=故变为3x23mx+m23=0，又直线与椭圆相交，0，x1+x2=m，|AB|=P到直线AB的距离d=APB面积S=（m（2，0）令u（m）=（12m2）（m4）2，则m=1，u（m）取到最大值m=1时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，属于中档题19（14分）（2016春天津校级月考）设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（

29、）求证：an是首项为1的等比数列；（）若数列bn的前n项和为Tn=n2+2n，求数列anbn的前n项和；（）若a21，求证：Sn（a1+an），并给出等号成立的条件【分析】（I）利用an+1=Sn+1Sn推导出递推公式即可得出结论；（2）对a2是否为1讨论，利用错位相减法求和；（3）对|a2|与1的关系讨论得出（ar+11）（anr+11）0，即a2r+a2nr1+a2n，使用累加求和得出结论【解答】解：（I）当n=1时，a1+a2=a2a1+a1，a1=1an+1=Sn+1Sn=a2Sn+a1（a2Sn1+a1）=a2（SnSn1）=a2an，=a20an是以1为首项，以a2为共比的等比数列

30、（II）当n=1时，b1=3，当n2时，bn=TnTn1=n2+2n（n1）2+2（n1）=2n+1，当n=1时，上式仍成立，bn=2n+1又an=a2n1，anbn=a2n1（2n+1）设数列anbn的前n项和为Rn，若a2=1，则an=a1=1，Rn=Tn=n2+2n若a21，则Rn=3a20+5a2+7a22+（2n+1）a2n1，a2Rn=3a2+5a22+7a23+（2n+1）a2n，（1a2）Rn=3+2a2+2a22+2a23+2a2n1（2n+1）a2n，=1+（2n+1）a2nRn=+（III）当a=1时，an=1，Sn=n，=n，故Sn=当a21时，当n=1或n=2时，显然Sn=成立，当n3时，若1a20或0a21，则an=a2n11，若a21，则an=a2n11（ar+11）（anr+11）0，即ar+1+anr+11+ar+1anr+1，（r=1，2，3n1）a2r+a2nr1+a2n上面不等式对r从1到n1累加求和得：2a2+2a22+2a23+2a2n1（n1）（1+a2n），a2+a3+a+an（1+a2n）1+a2+a3+a+an+an+1（1+a2n），1+a2+a3+a+an（1+a2n1），即Sn（a1+an）综上，Sn（a1+an），当且仅当a2=1或n=1或n=2时取等号【点评】本题考查数列