第五章 刚体的定轴转动(1)

1、力 学（Mechanics）第第5章章 刚体的定轴刚体的定轴转动转动（6学时学时 ）(Fixed-spindle Rotation of Rigid Body)Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学5.2 5.2 转动定律转动定律Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学本本 章章 内内 容容5.1 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算5.4 5

2、.4 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律5.5 5.5 转动中的功和能转动中的功和能Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学（3 3）掌握角动量定理及其守恒定律，并能用它来解）掌握角动量定理及其守恒定律，并能用它来解决具体问题。决具体问题。（1 1）掌握角速度、角加速度概念及匀变速定轴转动）掌握角速度、角加速度概念及匀变速定轴转动公式，掌握角量与线量的关系。公式，掌握角量与线量的关系。（2 2）理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体定轴转）理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体定轴

3、转动定理，并能运用它解决刚体定轴转动问题；动定理，并能运用它解决刚体定轴转动问题；（4 4）理解功的概念，掌握刚体定轴转动的动能定）理解功的概念，掌握刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律。理和机械能守恒定律。Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学刚体的角动量和角动量守恒定律以及它们刚体的角动量和角动量守恒定律以及它们的应用的应用（1）力矩和转动惯量概念，定轴转动定理及应用；）力矩和转动惯量概念，定轴转动定理及应用；（2 2）角动量定理和角动量守恒定律以及它们的应用。）角动量定理和角动量守

4、恒定律以及它们的应用。（3 3）功的概念，定轴转动动能定理和机械能守恒定律功的概念，定轴转动动能定理和机械能守恒定律以及它们的应用；以及它们的应用；对于机械运动的研究，仅局限于质点和质点系的对于机械运动的研究，仅局限于质点和质点系的情况是很不够的。物体的运动是很复杂的。情况是很不够的。物体的运动是很复杂的。 Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学1、刚体、刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊（任意两

5、质点间距离保持不变的特殊质点组质点组）2、刚体的运动形式：、刚体的运动形式：平动、转动平动、转动. 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动：当刚体运动时，如当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫变，这种运动叫平动平动。一一 刚体的运动刚体的运动Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学5.1 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述特点：特点：刚体内各质点的运动刚体内各质点的运动情况完全相同

6、。情况完全相同。 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分转动又分定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学zx3、刚体绕定轴转动的角速度

7、和角加速度、刚体绕定轴转动的角速度和角加速度参考平面参考平面)()(ttt 角位移角位移)(t 角坐标角坐标 约定约定沿沿逆逆时针方向转动时针方向转动 沿沿顺顺时针方向转动时针方向转动 tttddlim0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴（1） 角速度和角加速度角速度和角加速度)(tSouthwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学 角加速度角加速度t dd定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角转动（一维转动）的转动方向可

8、以用角速度的正负来表示速度的正负来表示 .00OMO；若若M M的方向与的方向与OZOZ轴的正方向相反，轴的正方向相反，M0Mm1)， 定滑轮：定滑轮：m、r，受摩擦阻力，受摩擦阻力矩为矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的加速。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。度和绳的张力。解：解：由于考虑滑轮的质量和所受由于考虑滑轮的质量和所受的摩擦阻力矩，的摩擦阻力矩，21TTFF问题中包括平动和转动：问题中包括平动和转动：轮不打滑：轮不打滑： ra gm2gm12TF2TF1TF1TFaarJMrFrFamFgmamgmFrTTTT12222111Southwest Unive

9、rsity西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学联立方程，可解得联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a， ： 此装置称此装置称阿特伍德机阿特伍德机可用于测量重力加速度可用于测量重力加速度 g gm2gm12TF2TF1TF1TFaarSouthwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学2/)(2112mmmrMgmmarrmmmrMgmmrar/ )2/(/)(21122/)2/2()(212111mmmrMgmmmagmFrT2/)2/

10、2()(211222mmmrMgmmmagmFrT2112)(mmgmmagmmmmFFTT2121212若令若令m=0，Mr=0，例例5.125.12已知均匀细直棒长已知均匀细直棒长l l、质量、质量m m ，在竖直面内转动；，在竖直面内转动；求：棒由水平静止自由摆动到求：棒由水平静止自由摆动到 角时的角速度及角加速度。角时的角速度及角加速度。 解：解：以以O O点为轴，棒受到重力矩作用，点为轴，棒受到重力矩作用，根据刚体定轴转动定律：根据刚体定轴转动定律：O O gml213 cos2dgdtl 3 cos2ddgddtl 3 cos2gddl 003 cos2gddl 23 singl

11、231cos2mllmglg2cos3Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学lgsin3【例题例题】一匀质细杆长为】一匀质细杆长为l，质量为，质量为m，在摩擦因，在摩擦因数为数为的水平桌面上绕其一端点转动，初始角速度为的水平桌面上绕其一端点转动，初始角速度为0 ，转动点的摩擦力矩不计。问：细杆转动多少圈才能停转动点的摩擦力矩不计。问：细杆转动多少圈才能停下来？下来？ mlO0 xSouthwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定

12、轴转动 西南大学 大学基础物理学dmdxOxx0解：解： 质元质量：质元质量：xmddlm质元所受阻力矩为：质元所受阻力矩为： mgxMdd阻细杆所受的阻力矩为细杆所受的阻力矩为:阻阻MMdlxgx0dmgl21由转动定理由转动定理23121mlJmglMSouthwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学得细杆转动的角加速度为得细杆转动的角加速度为lg23细杆转动的圈数为细杆转动的圈数为 glN642-20202002022由由Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理

13、 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学【例题例题】短道速滑是冬季奥运会项目，比赛场地】短道速滑是冬季奥运会项目，比赛场地的大小为的大小为3060m，跑道每圈的长度为，跑道每圈的长度为111.12m。当运。当运动员在过弯道时往往要向弯道内侧倾斜身体以保持平动员在过弯道时往往要向弯道内侧倾斜身体以保持平衡（如图衡（如图417）。假设运动员的质量为）。假设运动员的质量为m，速度，速度为为 ，转弯的半径为，转弯的半径为 R=8.5m。求运动员身体与。求运动员身体与水平地面之间的夹角水平地面之间的夹角。 10m/svSouthwest University西南大学西南大学

14、 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学mg解解：对运动员的受力情：对运动员的受力情况分析如图所示。况分析如图所示。 在竖直方向，重力在竖直方向，重力mg与对运动员竖直向作用力与对运动员竖直向作用力Fy的合力应为零，即的合力应为零，即0mgFy在水平方向冰面对运动员水平向右的作用力在水平方向冰面对运动员水平向右的作用力Fx使使运动员作圆周运动，有运动员作圆周运动，有RmFx2v同时，运动员要保持平衡，他所受的合外力矩应为零。同时，运动员要保持平衡，他所受的合外力矩应为零。转动点为运动员重心所在位置。则有转动点为运动员重心所在位置。则有Southw

15、est University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学0cossinLFLFyx联立以上方程，求解得到联立以上方程，求解得到运动员身体与水平地面之运动员身体与水平地面之间的夹角间的夹角2vgRarctan8 .39105 . 88 . 9arctan2mgSouthwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 1 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动vmrp

16、rL 质点在垂直于质点在垂直于 z 轴平面轴平面上以角速度上以角速度 作半径为作半径为 的圆运动，的圆运动，rsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.Lrzvmo90复习：复习：质点角动量质点角动量A 质点角动量（相对圆心）质点角动量（相对圆心）vmrLz2mrrmLv（圆运动）（圆运动）Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学 5.4 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4

17、 1 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1、刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iiiiirmLL)(22、 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理OirimivJL zSouthwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学dtdLdtJddtdJJM)(tLMdd- 角动量定理角动量定理由转动定律：由转动定律：2iiiiirmmrLiv第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 1 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动Southwest University西南

18、大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学tLMdd作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此轴转动的角作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此轴转动的角动量随时间的变化率。动量随时间的变化率。注意比较：注意比较：dtpdFamF或dtdLMJM或对刚体，对刚体，J不变，两式完全一样不变，两式完全一样;对非刚体对非刚体 不不成立，而成立，而 仍然成立。仍然成立。JM dtdLM - 角动量定的微分形式角动量定的微分形式- 角动量定理角动量定理的积分形式的积分形式00000ddJJLLLtMLLtt或或第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第

19、二版）（第二版）4 4 1 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动00000ddJJLLLtMLLtt对于刚体的定轴转动，角动量定理的数学表达式为：对于刚体的定轴转动，角动量定理的数学表达式为：0000ddJJLLLtMLLtttttM0d：t-t0时间内的时间内的冲量矩冲量矩（moment of impulse） 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量，称为刚体的称为刚体的角动量定理角动量定理。此结论。此结论对于非定轴转动和质对于非定轴转动和质点来说也是成立的点来说也是成立的。 Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）4 4 1 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动（1）守恒条件守恒条件0M 若若 ，则，则 .0M常量JL讨论讨论3、 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律Southwest University西南大学西南大学 大学物理大学物理 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 西南大学 大学基础物理学1）刚体不受力，或受力但力的作用线通过）刚