第五章无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计

1、1无限冲激响应（IIR）数字滤波器的设计215-1 IIR数字滤波器的设计思想数字滤波器的设计思想25-2 冲激响应不变法冲激响应不变法35-3 双线性变换法双线性变换法45-4 低通型至其它型的频率变换法低通型至其它型的频率变换法55-5 IIR数字滤波器的设计实例数字滤波器的设计实例数字滤波器数字滤波器：3是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。优点：优点：数字滤波器的分类4 经典滤波器：经典滤波器： 现代滤波器：现代滤波器：选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤

2、波器自适应滤波器等按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器5按实现的网络结构或单位抽样响应分：601( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR滤波器（滤波器（N-1阶）阶）IIR滤波器（滤波器（N阶）阶）5-1 IIR数字滤波器的设计思想 特点： h（n）无限长 H（Z）有理分式 H（S）有理分式（带宽无限长）701( )1MkkkNkkkb zH za zIIR滤波器（滤波器（N阶）阶）数字滤波器的设计思想8 用一个因果稳定的离散用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数系统的系统函数H(z)逼近此性逼近此性能指标能指标 按设计任务，确定滤波器性

3、能要求，制定技术指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等长的选择等 实际技术实现：软件法、硬件法或实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法芯片法要求：要求： a.数字滤波器在性能上逼近模拟滤波器性能指标。数字滤波器在性能上逼近模拟滤波器性能指标。 b.系统稳定。系统稳定。9：通带截止频率：通带截止频率c：阻带截止频率：阻带截止频率st：通带容限：通带容限1：阻带容限：阻带容限2st2()jH e 阻带：cst 过渡带：c11()1jH e 通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器

4、逼近 模拟滤波器的指标 数字滤波器 容限图（幅度上）10用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：11 s 平面平面 z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统( )( )aHsH zH(z) 的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，的频率响应，即即 s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆平面的单位圆?因果稳定的因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H(z) ，即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的单位圆内平面的单位圆内 |z| 1右半平面右半平面 0单位圆内部单位圆内部r1左半平面左半平面 0

5、单位圆单位圆r=1虚轴虚轴 =0Z平面平面S平面平面s平面到z平面的映射是多值映射。19T 辐射线辐射线= =0 0T T平行直线平行直线 =0 0正实轴正实轴=0实轴实轴 =0Z平面平面S平面平面: :/TT: :3 /TT /3 /TT: : :2、混迭失真2012()jakkH eHjTT仅当仅当()02sahjT 1()jaH eHjTT数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为的周期延拓，周期为 2

6、 /T21,sfTTT T ccTT 2ssfTT混迭 实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小处衰减越快，失真越小/2s 当滤波器的设计指标以数字域频率当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象不能通过提高抽样频率来改善混迭现象c3、模拟滤波器的数字化方法221( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA

7、eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 23 系数相同：系数相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zez 极点：极点：s 平面平面 z 平面平面kssks Tze 稳定性不变：稳定性不变：s 平面平面 z 平面平面Re0ks1ks Te241()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez当当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正正( )()ah nTh nT令：令：2()jakkH eHjT则：则

8、：aHjT252211( )4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz设T = 1s，则261120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：?数字滤波器的频率响应：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、优缺

9、点27 优点：优点： 缺点：缺点：T 保持线性关系：保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 频率响应混迭频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器 h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好时域逼近良好( )ah t5-3 双线性变换1、变换原理28使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真29 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换zesT的多值

10、对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。5-3 双线性变换30:, 1:,TT12Ttg 1s Tze3111sin2co s2TT12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee12s Tesj 11sj 1111s Ts Tee1111zsz 11szs1111zz1s Tze)2(21TtgTsTs

11、Tz22一一.S平面与平面与Z平面映射关系平面映射关系jws3301z01z01z左半平面左半平面单位圆内单位圆内s 平面平面Z 平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上jerZ221wTtg)(2)(2jwTjwTZ2222)2()2(wTwTZ34 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平 面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个j轴单值的对应于单位圆一周，关系式为： 可见，和为非线性关系，如下页图。 22tgT35 图 双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，接近于线性关系，进一步增加时，增长变得缓慢， 。

12、,时36 2)双线性变换缺点： 与成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。 例如例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器 解决办法：解决办法：“预畸预畸”校正校正 bktgjHeHbkjHtgj2)()()(237 预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤波器的截止频率 ，则，则11122tgT 按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器。11 b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相

13、位。 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。 虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。 38四、低通型至其它型的频率变换法39频率变换法双线性变换双线性变换频率变换法冲激不变法五、IIR数字滤波器设计实例一.?巴特沃思数字滤波器二.?切比雪夫

14、数字滤波器401、Butterworth 低通逼近2()1/2acHj时41幅度平方函数：幅度平方函数：221()1aNcHj当当称称 为为Butterworth低通滤波器的低通滤波器的3分贝带宽分贝带宽c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN为滤波器的阶数为滤波器的阶数c为通带截止频率1）幅度函数特点：221()1aNcHjc 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不变性不变性c 过渡带及阻带内快速单调减小 st 当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减2Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：1211222(

15、1)1,2,.,2kjNNkccsjekN 22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj43 2）幅度平方特性的极点分布： 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为/ N rad 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点3）滤波器的系统函数：1( )()NcaNkkHsss1 21221,2,.,kjNkcsekN1 /ccrrad s 为归一化系统的系统函数( )anHs去归一化，得( )( )crcaanssHsHscrancsH4）滤波器的设计步骤：221()1apNpcHj46120.10.11011

16、01spk根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N：12ps确定技术指标：确定技术指标：120lg()apHj 由由120.1110Npc得：得：220.1110Nsc同理：同理：sspp令令lglgspspkN 则：则：120.10.1101101Nps求出归一化系统函数：11( )()anNkkHsss或者由或者由N，直接查表得，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技术指标其中技术指标 给出或由下式求出：给出或由下式求出：c110.12101Ncp 121221,2,.,kjNkcsekN 其中极点：其中极点：去归一化去归一化阻带指标有富裕阻带指标有富裕210.

17、12101Ncs 或或通带指标有富裕通带指标有富裕 48例：设计例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于数字低通滤波器，要求在频率低于 rad的通带的通带内幅度特性下降小于内幅度特性下降小于1dB。在频率。在频率 到到 之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。0.20.3/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用冲激响应不变法设计、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技

18、术指标：选T = 1 s49/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）确定参数）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）1 21221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.

19、6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssc) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化514）将）将 展成部分分式形式展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.28710.44662.1428 1.145410.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.630410.99720.2570zzz变换成Butterworth数字滤波器：522、用双线性变换法设计5320.65 /2pptgrad

20、 sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：54/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）确定参数）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出

21、极点（左半平面）求出极点（左半平面）551 21221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsssc) 构造系统函数构造系统函数56234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化( )aancsHsH57112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.

22、2155)zz( )aHs4）将）将 变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：2、Chebyshev低通逼近幅度平方函数：2221()1()aNcHjC59N：滤波器的阶数：滤波器的阶数 ：截止频率，不一定为：截止频率，不一定为3dB带宽带宽c ，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大越大，波纹越大01 ：N阶阶Chebyshev多项式多项式( )NCx6011cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx等波纹幅度特性单调增加1）幅度函数特点：221()1aNcHjC 61 2()1/ 1caHj 通带外：迅速单调下降趋向通带外：迅速单调下降趋向

23、0c N为偶数为偶数2( 0)1/ 1aHj N为奇数为奇数( 0)1aHj 通带内：在通带内：在1和和 间等波纹起伏间等波纹起伏c 21/ 10 2）Chebyshev滤波器的三个参量：62 ：通带截止频率，给定：通带截止频率，给定c ：表征通带内波纹大小：表征通带内波纹大小20.1111101scchNch10.121012max1min()20lg20lg 1()aaHjHjN：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高s为阻带截止频率3）幅度平方特性的极点分布：1,2,.,2kkksjkN 2/221()( )(

24、)1aaas jNcHjHs HssCj22221()()kkccab64sin(21)2kcakN 21111112NNa1112NNbcos(21)2kcbkN 1,2,.,2kkksjkN 4）滤波器的系统函数：1( )()aNkkKHsss12NcNK65sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN其中：5）滤波器的设计步骤:6610.12101ssp1111()schkNch1ppp归一化：归一化：12ps确定技术指标：确定技术指标：根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N及及 ：210.1110.1101101k其中：其中：111( )2()anNNkkHsss( )aanpsHsH21111112NNa1112NNb或者由或者由 N 和和 ，直接查表得，直接查表得( )anHs1其中极点由下式求出：其中极点由下式求出：求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：去归一化去归一化sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.