直角三角形中的成比例线段射影定理课件

1、使学生了解射影的概念，掌握射影使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。定理及其应用。直角三角形中的比例线段定理在证题直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较多的应用和实际计算中有较多的应用。你知道吗你知道吗？例例2证法有一定的技巧性。证法有一定的技巧性。1.已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。们进一步学习直角三角形的特性。在在Rt 中，中， =90 ,有有_.ABCC222ABBCAC(1)一锐角相等一锐角相等 (2)任意两边对应任意两边对应 成比例成比例. 大家先回忆一下

2、：大家先回忆一下：CADB已知直角三角形已知直角三角形ABC，CD垂直垂直AB问：问：1图中有几个图中有几个Rt? 2有几对相似？有几对相似？ 3CD =？ AC =？ BC =？ 222ADDBADABBDBA求证：求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。角形相似。ADBC已知：在已知：在RtABC中，中，CD是斜是斜AB上的高。上的高。求证：求证：ABCACDCBD 。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。三角形和原三角形相似。ADBC已知：在已知：在RtABC

3、中，中，CD是斜边是斜边AB上的高。上的高。证明证明: A=A，ADC=ACB=900此结论可以称为此结论可以称为“”,今后可以直接使用今后可以直接使用. ACDABC（两角对应相等，两个三角形相似）（两角对应相等，两个三角形相似）同理同理 CBD ABC ABCCBDACD求证：求证：ABCACD CBD 如图，如图， .,90ABCDCABC中，由母子相似定理，得由母子相似定理，得ADCACB推出：推出：CADABCCDABAC所以：所以：DAABAC2CADB同理，得：同理，得：CDBDBABCBABCBCBDBACCDACB2ACDADBDCDCDADBDCDCBACCBD2CADB是

4、高，则有中，在CDABCRt AC是是AD,AB的比例中项。的比例中项。BC是是BD,AB的比例中项。的比例中项。CD是是BD,AD的比例中项。的比例中项。那么那么AD与与AC，BD与与BC是什么关系呢？是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。这节课，我们先来学习射影的概念。1.射影射影： （1）太阳光垂直照在太阳光垂直照在A点，留在直线点，留在直线MN上的影子上的影子应是什么？应是什么？ （2）线段留在线段留在MN上的影子是什么？上的影子是什么？A定义：定义：过线段过线段AB的两个端点分别作直线的两个端点分别作直线l的垂线，的垂线，垂足垂足A，B之间的线段之间的线段AB叫做线段叫做线段

5、AB在在直线直线l上的上的正射影正射影，简称，简称射影射影。ABABlAMN.BB1.射影射影 点在直线上的正射影点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。足，叫做这个点在这条直线上的正射影。 一条线段在直线上的正射影一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。直线上的正射影间的线段。A AANMNMABA B 点和线段的正射影简称点和线段的正射影简称射影射影讨论：讨论：1线段在直线上的射影结果线段在直线上的射影结果点或线段点或线段2直线在直线上的射影结果直线在直线上的射影结果点或直

6、线点或直线各种线段在直线上的射影的情况：各种线段在直线上的射影的情况：ABABlAABBllAABB如图如图,CD是是 的斜边的斜边AB的高线的高线ABCRt 这里这里:AC、BC为直角边，为直角边，AB为斜边，为斜边，CD是斜边上的高是斜边上的高AD是直角边是直角边AC在斜边在斜边AB上的射影上的射影,BD是直角边是直角边BC在斜边在斜边AB上的射影。上的射影。CADBABADAC2ABBDBC2DBADCD2由复习得：由复习得：CADB用文字如何叙述？用文字如何叙述？ 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段直角三角形中直角三角形中,斜边上的高线是两条斜边上的高线是两条直角边在斜边

7、上的射影的比例中项直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项影和斜边的比例中项.这就是射影定理这就是射影定理 ABADAC2DBADCD2ABBDBC2CADB1直角三角形中直角三角形中,斜边斜边 上的高线是两条直角上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的边在斜边上的射影的 比例中项比例中项;2每一条直角边是这每一条直角边是这 条直角边在斜边上的条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中射影和斜边的比例中 项项;CADB具体题目运用：具体题目运用：ACBCCDAB根据应用选取相应的乘积式。根据应用选取相应的乘积式。ABA

8、DAC2ABBDBC2DBADCD2利用射影定理证明勾股定理利用射影定理证明勾股定理:222ABABBDABADBCAC射影定理只能用在射影定理只能用在直角三角形直角三角形中中,且必须且必须有有斜边上的高斜边上的高CADB这里犯迷糊，可，可不行！不行！利用射影定理证明勾股定理利用射影定理证明勾股定理:222ABABBDABADBCAC利用勾股定理证明射影定理利用勾股定理证明射影定理:CADBAB =(ADDB) =AD 2AD DB DBAC BC =AB AC AD =CDBC BD =CD2222222222222探究：探究：ABC是直角三角形，是直角三角形，CD为斜边为斜边AB上的高。你

9、能从射上的高。你能从射影的角度来考察影的角度来考察AC与与AD，BC与与BD等的关系。你能发现这些等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？线段之间的某些关系吗？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD)1 (2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理 ,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有BCABDC射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例的比例中项；两

10、直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。中项。2CDAD BD 2BCBDAB 2ACADAB ABDC用勾股定理能证明吗用勾股定理能证明吗?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD= ADBD而而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可证得同理可证得BC= BDAB总结总结： 已知已知“直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高”这一基本这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的以求出

11、其余四条线段，有时需要用到方程的思想。思想。ABDC1.ABDC直角直角ABC中已知中已知:CD=60 AD=25 求：求：BD,AB,AC,BC的长的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=156如图如图,若若AD=2cm,DB=6cm,求求CD，AC,BC的长。的长。例例1解解:答答:CD,AC,BC的边长分别为的边长分别为cmcmcm34,4,32CADB分析：利用射影定理和勾股定理分析：利用射影定理和勾股定理;3212,12622cmCDDBADCD;416,166222cmACABADAC.3448,486262cmBCABBDBC(1)在在 中中,CD为斜边为斜边AB上的高

12、上的高,图中共有图中共有6条线段条线段ABCRtAC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意两条已知任意两条,便可求出其余四条便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中射影定理中每个乘积式中,含三条线段含三条线段,若已知两条若已知两条 可可 求第三条求第三条.(3)解题过程中解题过程中,注意和勾股定理联系注意和勾股定理联系,选择简便方法选择简便方法.你都弄懂了吗？你都弄懂了吗？ABCDEABABC【选择题选择题】1、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ）A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.

13、3cm2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长. A、1B、2C、3 D、43.如图，已知线段如图，已知线段a,b.求作线段求作线段a和和b的比例中项。的比例中项。ab射影定理的推广及应用射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙

14、地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理一、射影定理射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（）：t中，若为高，则有DAD、或。（证明略）二、变式推广二、变式推广逆用逆用如图（）：若中，为高，且有或或，则有或，均可等到为直角三角形。（证明略）一般化一般化，若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。简称：射影定理变式（2）如图（）：中，D为上一点，若，或，则有，可得AB；反之，若中，为上一点，且有，则

15、有，可得到，或。（证明略）361图图ACBD.:.,36122是直角三角形求证且边上的射影为在顶点中如图ABCBDADCDDABCABC.,090BDCCDAABCDDABCBDCCDA因而所以上的射影为在点因为中和在证明即又因为,DBADCD2.BDCCDA所以.BCDCAD故.:DBCDCDAD所以因为中在.,090ACDCADACD090ACDBCD,090ACBACDBCD则.是直角三角形因此ABCDEAM2224abDEab如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，E是垂足，求证： RtAMBRtADEAMBDAE 90ABMAED RtAMBRtADEABAM

16、DEAD证明：在和中，所以所以，因为AB=a，BC=b，所以 2222244AB ADa babDEAMbaba4 如图，在如图，在ABC中，中，CDAB于于D， DFAC于于F，DGBE于于G。 求证：求证：CF AC = CG BC证明：证明：CDAB，DF AC CDFCAD CFCD=CDAC CD 2 =CFAC 同理可证同理可证 CD2 =CGBC CFAC=CGBC CEFFBCDF:, 求证于例例1. 如图如图,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBA分析分析:欲证欲证 CEF.CBA公共角ECFACB已具备条件已具备条件要么找角要么找角, 要么找边要么找边.CAC

17、FCBCECEADFB CEFBCFEA或证法一证法一：例例2. 如图如图,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBACEFFBCDF:, 求证于ACDEABCDCACECD2BCDFABCDCBCFCD2CBCFCACECACFCBCEBCAECF.CBACEFCEADFB如图中共有如图中共有6 6条线段，已知任意条线段，已知任意2 2条，求其条，求其余线段。余线段。运用射影定理时，注意前提条件运用射影定理时，注意前提条件CADB求边注意联系方程与勾股定理求边注意联系方程与勾股定理直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余勾股定理勾股定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形

18、斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半度角所对的直角边等于斜边的一半及其逆定理。及其逆定理。 射影定理射影定理（由面积得）（由面积得）两直角边积等于斜边上的高与斜边的积两直角边积等于斜边上的高与斜边的积直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形与原三角直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形与原三角形相似（母子相似定理）形相似（母子相似定理）这节课的知识，这节课的知识，你都听懂了吗？你都听懂了吗？总结总结： 1、知识知识：学习了直角：学习了直角 三角形中重要的比例式和比三角形中重要的比例式和比例中项的表达式例中项的表达式射影定理。射影定理。 2、方法方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。线段等积式。 3、能力能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。基本图形的能力。 4、数学思想数学思想：方程思想和转化思想。：方程思想和转化思想。1.从特殊到一般的思考方法从特殊到一般的思考方法.数学方法数学方法: 在研究数学问题时在研究数学问题时,通过通过考察特殊性问题获得考察特殊性问题获得一般规律的猜想一般规律的猜想,并从中并从中得到证明一般规律的思想得到证明一般规律的思想方法