静定结构的位移计算

1、第二部分第二部分 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 第七章第七章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 虚功原理是结构力学的一个重要原理，应用广泛。1、计算结构处于平衡状态时的内力和反力；2、计算结构在变形状态下的位移。什么叫位什么叫位移移? ?第一节概述第一节概述 结构在外因作用下变形或位移后，结构在外因作用下变形或位移后，某一横截面产生的相对其初始状态某一横截面产生的相对其初始状态的位置改变的位置改变 。位移是矢量，可分解为三个位位移是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移

2、）。一个转角位移（简称角位移）。 位移按位置变化的参考状态位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：（参照物）可分为： （1 1）绝对位移）绝对位移（2 2）相对位移）相对位移 指结构上的一个指定截面，位指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。位置的改变。 绝对绝对位移位移ucCCBvccC指结构上的两个指定截面，位移后指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。关系的改变。 相对相对位移位移(a) (b) 研究结构位移计算的目的研究结构位移计算的目的 (1)(1)验算结构的刚度，使结构

3、的变验算结构的刚度，使结构的变形（一般由结构上的最大位移控制）形（一般由结构上的最大位移控制）限制在允许的范围内。限制在允许的范围内。 (2)(2)为超静定结构的内力分析打基为超静定结构的内力分析打基础。即位移条件的建立和使用。础。即位移条件的建立和使用。 结构位移计算的假定结构位移计算的假定(1)(1)应力应变符合线性关系应力应变符合线性关系(2)(2)结构的变形很小，不影响荷载结构的变形很小，不影响荷载的作用位置和方向的作用位置和方向(3)(3)忽略杆端轴力由于杆弯曲引起忽略杆端轴力由于杆弯曲引起的弯矩的弯矩(4)(4)理想铰接理想铰接满足以上条件的称为线性变形体系满足以上条件的称为线性变

4、形体系第二节第二节 刚体的虚功原理及应用刚体的虚功原理及应用 1.1.虚功的概念虚功的概念 功功力与其在力方向上的位移的力与其在力方向上的位移的乘积。乘积。 实功实功力与位移之间存在直接因力与位移之间存在直接因果关系。果关系。12PWF虚功虚功力和位移之间没有因果关力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。力系，即虚功的力和位移不相关。力与位移分别属于同一体系的两种彼与位移分别属于同一体系的两种彼此无关的状态：力状态和位移状态此无关的状态：力状态和位移状态（见下页图）。（见下页图）。这是虚功区别于实功的这是虚功区别于实功的重要特点重要特点。 PWF力状态力状态 位移状态位移状态 Lba

5、BCBCC2.2.刚体的虚功原理及应用刚体的虚功原理及应用 体系的力状态和位移状态应满体系的力状态和位移状态应满足的条件足的条件力状态力状态静力平衡条件静力平衡条件位移状态位移状态变形协调条件变形协调条件两种表现形式：两种表现形式：虚位移方程虚位移方程求内力、反力；求内力、反力；虚力方程虚力方程求位移。求位移。 W虚外=0=0刚体的虚功原理刚体的虚功原理 W虚外功= = V虚变形功虚功原理虚功原理 虚位移方程及应用虚位移方程及应用 实际的力状态和虚位移状态之间实际的力状态和虚位移状态之间的虚功原理称为虚位移原理（虚的虚功原理称为虚位移原理（虚位移方程）位移方程）虚位移方程用于求真实的未知力虚位

6、移方程用于求真实的未知力（内力、约束力、支座反力）。（内力、约束力、支座反力）。 (a) (b) 0AAPBWFF 实际力状态实际力状态虚位移状态虚位移状态应用虚功原理，可得：应用虚功原理，可得：由于，由于，/ABa c可得：可得：APcFFa一般令一般令1AA可得：可得：/BBc a单位位移法单位位移法例例7-2-1：求支座B的反力 LbaBC(a) 静定结构可利用刚体的虚功原理（虚位移方程）求力 分析：分析：(1)去掉B支座链杆 (2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移见图(b) (3)写出虚位移方程01PPByFF(4)求解虚位移方程 解解BCBPCBB(=1)(b) 虚力方程及应用虚力

7、方程及应用 在体系上虚设的平衡力系，此在体系上虚设的平衡力系，此力系在体系真实的刚体位移上力系在体系真实的刚体位移上所作的总虚功等于零所作的总虚功等于零 虚力虚力方程方程虚力方程用以求真实的位移虚力方程用以求真实的位移 LcdBkkBk(a) (b) 虚力状态虚力状态真实位移状态真实位移状态0ByBPkyWFF 应用虚功原理，可得：应用虚功原理，可得：一般令一般令1PPFF单位荷载法单位荷载法kyBcL由静力平衡条件，可得：由静力平衡条件，可得：ByPcFFL/ByByFFc L在支座移动时的位移计算公式在支座移动时的位移计算公式 EGCDEGCD3RF1RF2RF(a) (b) 虚力方程虚力

8、方程 01332211cFcFcFRRR则所求位移为： 31iRicF例例7-2-2: 求铰C的竖向位移和相对转角 。6m6m4m10cm20cmCCF=3/4BxF=1/2By(1) 解解：（2 2）按位移计算公式计算位移 21)(5 .17)1043()2021(cmcFiRiCV（3 3）计算顶铰两侧截面的相对 转角位移 F=0ByCF=1/4Bx() 215 . 2)1041(radcFiRi相对转相对转角位移角位移 结构（变形体）的位移计算一般公结构（变形体）的位移计算一般公式推导如下式推导如下 BAB(a) 第三节第三节 结构位移计算公式结构位移计算公式 BAB(b) 微段变形对结

9、构位移的影响微段变形对结构位移的影响 BBFQMBFN(c) (d) dMdFdFdQN微段微段ACAC变形引起的变形引起的B B点的位移：点的位移：结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 LLLQNdMdFdF)(1LLLQNndMdFdFiRiLLLQNcFdMdFdF)(单根构件：单根构件：整个体系：整个体系：考虑荷载引起的变形和刚体位移：考虑荷载引起的变形和刚体位移：线弹性变形体位移计算公式线弹性变形体位移计算公式 BABNFddsEA0QFdkdsGAMddsEI对于线弹性体：对于线弹性体：其中，其中，EAEA、GAGA和和EIEI分别为杆件的拉伸刚度、剪切刚度和弯分别为杆件的

10、拉伸刚度、剪切刚度和弯曲刚度，曲刚度，K K0 0为剪应力的分布不均匀系数，对于矩形截面为剪应力的分布不均匀系数，对于矩形截面K K0 01.21.2iRiQQNNcFdsEIMMdsGAFkFdsEAFF0dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPN0在荷载单独作用下，结构的位移在荷载单独作用下，结构的位移计算公式计算公式 (1)(1)梁和刚架，主要考虑弯梁和刚架，主要考虑弯曲变形的影响，位移公式：曲变形的影响，位移公式： dsEIMMP(2)桁架，只考虑轴向变形的桁架，只考虑轴向变形的影响，位移公式：影响，位移公式：dsEAFFNPN(3)组合结构一般将梁式杆和桁组合结构一般将梁式

11、杆和桁架杆分别按各自的主要变形考虑，架杆分别按各自的主要变形考虑，位移计算公式可写成：位移计算公式可写成： dsEAFFdsEIMMNPNP 第四节第四节 在荷载作用下静定结构在荷载作用下静定结构 的位移计算的位移计算 例例7-4-1 4mC3m4mDBA(a) (1)D结点的竖向位移结点的竖向位移 (2)CD杆的转角位移杆的转角位移 已知各杆已知各杆EA相等，并为常数相等，并为常数 。求：求：解解（1 1）求求D结点的竖向位移结点的竖向位移 DV 1 1）计算）计算 NPFCDBA(b) 图图（kN） NPF2 2）计算）计算 NFCDBA(c) 图图（kN） NF3 3）计算）计算 DV

12、)(6 .53)55 .1283. 055 .1283. 030141067. 02(1mEAEADV51LEAFFNPNDV（2 2）求）求CDCD杆的转角位移杆的转角位移 1/3mCDBA1/3mradEAEA25.26)55 .1221. 0241017. 041017. 0(1() NF(d) 图图（1/m） 例例7-4-2 求求B结点的水平位移结点的水平位移 (a) 解解qLqL/2qL/2xx1xx11(b) (c) （1 1）（2 2）两种状态下任意两种状态下任意截面的弯矩函数截面的弯矩函数 AB杆：杆： 2)(2qxqLxxMxxM)(BC杆：杆： xqLxM2)(xxM)(（

13、3 3）)(832)2(4210022EIqLdxxqLxdxqxqLxdxEIMMLLPBH总结：广义位移对应的广义力总结：广义位移对应的广义力 1 1）求结构上的某点在指定方向上的线位移，可在该点上）求结构上的某点在指定方向上的线位移，可在该点上施加指定方向的单位力；施加指定方向的单位力；2 2）求结构某截面的转角，可在该截面上施加单位力偶，由）求结构某截面的转角，可在该截面上施加单位力偶，由于桁架杆只能有结点力，因此可在桁架杆的两端施加一对于桁架杆只能有结点力，因此可在桁架杆的两端施加一对大小相等，方向相反且垂直杆轴的集中力，大小为大小相等，方向相反且垂直杆轴的集中力，大小为1/d1/d

14、，其，其中中d d为杆的长度；为杆的长度；3 3）求结构）求结构ABAB两点的相对线位移，可在两点的相对线位移，可在ABAB的连线上施加方向的连线上施加方向相反的单位力；相反的单位力；4 4）求结构在切口处的相对线位移，可在切口处施加两个）求结构在切口处的相对线位移，可在切口处施加两个方向相反的单位力；方向相反的单位力；5 5）求结构两个截面的相对角位移，可在结构的截面）求结构两个截面的相对角位移，可在结构的截面处施加一对方向相反的单位力偶，如果待求的是两根处施加一对方向相反的单位力偶，如果待求的是两根桁架杆的相对角位移，则可在桁架杆施加一对方向相桁架杆的相对角位移，则可在桁架杆施加一对方向相

15、反的单位力偶，即在每根杆的两端施加一对大小相等，反的单位力偶，即在每根杆的两端施加一对大小相等，方向相反且垂直杆轴的集中力，大小为方向相反且垂直杆轴的集中力，大小为1/d1/d，其中，其中d d为为该杆的长度。该杆的长度。第五节第五节 图乘法图乘法 图乘公式代替积分公式图乘公式代替积分公式 MPyyxxyooAEIEIAyC(a) 图乘公式的应用条件图乘公式的应用条件 (1)结构上各杆均为等截面直杆，结构上各杆均为等截面直杆，即，各杆即，各杆EI分别或分段为常数；分别或分段为常数； (2)(2)竖标必须取自直线弯矩图形竖标必须取自直线弯矩图形; ;(3)(3)另一弯矩图的面积另一弯矩图的面积A

16、和面积形和面积形心易求得。心易求得。 标准二次抛物线(b) 例例7-5-1 L/2L/2qABC(a) 返 回求：简支梁求：简支梁B端截面的角位移和端截面的角位移和梁中点梁中点C处的竖向位移处的竖向位移 。已知梁的已知梁的EI值为常数。值为常数。 解解1)求梁求梁B端的角位移端的角位移 (1)作荷载作用下作荷载作用下梁的弯矩图梁的弯矩图(3)由图乘公式由图乘公式计算位移计算位移 (2)作虚单位力偶作虚单位力偶作用下的弯矩图作用下的弯矩图BCA5(L/2)/882qLL/2L/212CAy1M=1B23121()38224BqLqLLEIEI （）2)2)求梁中点求梁中点C的竖向位移的竖向位移C

17、V F =1Py2BCA(1)作荷载作用下作荷载作用下梁的弯矩图梁的弯矩图BCA5(L/2)/882qLL/2L/212(2)作虚单位力作虚单位力作用下的弯矩图作用下的弯矩图(3)由图乘公式由图乘公式计算位移计算位移CV 2412552()( )32884384CVLqLLqLEIEI例例7-5-2：求：求B点的竖向位移点的竖向位移 L/2L/2FPBCA(a) 解解图见图图见图(a)、(b)。 作作PMM(a) (b) 311()22233911512()( )2252621023240PBVPPPF LLLEIF LF LF LLLLLEIEIF =1PL/2B2ALC31(c) (d)

18、或者：或者：3112()2223229111()( )2223022215240PBVPPPF LLLEIF LF LF LLLLLEIEI例例7-5-3 求所示刚架求所示刚架B点的水平位移点的水平位移BH q=5kN/mCBDA(a) 10kNmCBDAq=5kN/m8kNm8kNmPM图图(c) 10kNmCcDA21.5kNm8kNm8kNm2Bb14322.5kNmPM图图(b) CBDA(d) 图图M11418(10 68 6232321874022.5 6 28 4)()3233BHEIEI 例例7-5-42m2mq=5kN/mDBCA,B两端点的相对竖向位移两端点的相对竖向位移A

19、B (a) 求求: :12kNmDBC2kNm10kNmPM图图(b) DBCM图图(c) 211421(125(5 2 )5 12338134 5321052 4 4)()329ABVEIEIEI 2211421(125(5 2 )5 123381421105(5 2 )5 123384 5322 4 4)()9ABVEIEIEI 或或温度改变时静定结构的位移计算温度改变时静定结构的位移计算 第六节第六节BAB静定结构受到温度改变的影响时，静定结构受到温度改变的影响时，发生满足约束允许的变形和位移，发生满足约束允许的变形和位移，但为零内力状态。但为零内力状态。 设温度沿截面高度设温度沿截面高

20、度h h以直线传递，以直线传递，见图（见图（a），则截面上材料的应变），则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。定仍然适用。h2h1ht ds0dt ds2t ds1ds0dt ds12()tttddsdshh由于两个截面之间没有相对竖向由于两个截面之间没有相对竖向位移，因此剪切应变为零，位移，因此剪切应变为零，轴向应变：轴向应变：转角应变：转角应变：0d代入虚功原理：代入虚功原理：iRiLLLQNcFdMdFdF)(0( )( )NLLtFt dsMdsh 可得：可得：假设，温度沿杆件全长不

21、变，且截假设，温度沿杆件全长不变，且截面高度相同，则有：面高度相同，则有：0( )( )NLLttF dsMdsh 0( )( )NFMtt SSh 注意正负号的选取：注意正负号的选取：当虚力的变形和温度引起的变形当虚力的变形和温度引起的变形同向时，取正号；反之，取负号。同向时，取正号；反之，取负号。与荷载引起梁的变形不同，温度与荷载引起梁的变形不同，温度引起的变形不能忽略轴向变形的引起的变形不能忽略轴向变形的影响。影响。例例7-6-1 图示静定刚架，各杆截面图示静定刚架，各杆截面相同，截面为矩形，截面相同，截面为矩形，截面高度高度h=60cm。设材料在温设材料在温度作用下的线膨胀系数为度作用

22、下的线膨胀系数为a=0.00001。白天施工时，白天施工时，室内外温度均在室内外温度均在10C，夜夜间室外温度降至间室外温度降至-10C，室室内温度不变。求晚间悬臂内温度不变。求晚间悬臂端端G点相对于初时状态点相对于初时状态（内外均为（内外均为0 0C）的水平位）的水平位移移 GH。各杆杆长均为：各杆杆长均为：L=6m 。 CGDt2BAt2t1t2t2CGDBA解解： (b) 2010.00001 10 1 62 0.000016 60.620.0114 ()m 第七节第七节 线性变形体的互等定理线性变形体的互等定理 1.1.功的互等定理（基本定理）功的互等定理（基本定理） 状态状态1 11

23、21212pLLFM dQd2212121pLLFM dQ dFp1的虚功 Fp2的虚功 由于， 2222,MkQddx ddxEIGA1111,MkQddx ddxEIGA可得， 12121212LLLLM MkQQM dQddxdxEIGA21212121LLLLM MkQ QM dQ ddxdxEIGA最终有， 112221ppFF功的功的互等定理互等定理功的互等功的互等定定 理理线弹性体上一组外力在由另一组线弹性体上一组外力在由另一组外力引起的相应位移上所作的总外力引起的相应位移上所作的总虚外力功，等于另一组外力在由虚外力功，等于另一组外力在由此外力引起的相应位移上所作的此外力引起的相

24、应位移上所作的总虚外力功。总虚外力功。2 2、位移互等定理、位移互等定理 21212pF12121pF称为位移影响系数称为位移影响系数每单位力引起的位移值每单位力引起的位移值 。12211221表示由于表示由于 单位力时单位力时， 2PF1PF（ ） （ ） 状态状态1 (a) 引起的相应于引起的相应于 2PF1PF（ ） 的位移值的位移值 。为为2112位移互等定理叙述为：位移互等定理叙述为： ，等于由，等于由1PF212PF12在任一线弹性变形体上，由力在任一线弹性变形体上，由力引起的沿另一力引起的沿另一力方向上的位移方向上的位移影响系数影响系数方向上的位移影响系数方向上的位移影响系数引起的沿引起的沿2PF1PF。位移互等位移互等定理定理在任一线弹性变形体上，由单位力在任一线弹性变形体上，由单位力 11PF引起的沿单位力引起的沿单位力 12PF方向上的位移方向上的位移 21等于由等于由 12PF引起的沿引起的沿 11PF方向上的位移方向上的位移 12或者：状态状态2 (b) 3 3、反力互等定理、反力互等