第三章部分习题解答

1、应用多元统计分析应用多元统计分析第三章习题解答第三章习题解答2第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3-1 3-1 设设XNn( (,2 2In), ), A为对称幂等为对称幂等阵阵, ,且且rk(rk(A)=)=r(rn), ,证明证明 证明证明 因因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非特征值非0 0即即1,1,且只有且只有r个非个非0 0特征值，即存在正特征值，即存在正交阵交阵(其列向量其列向量ri为相应特征向量为相应特征向量) )，使，使3第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验4其中非中心参数为其中非中心参数

2、为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验53-2 3-2 设设XN Nn n( (,2In),), A，B为为n阶对称阵阶对称阵. .若若AB 0 ,0 ,证明证明XAX与与XBX相互独立相互独立. . 证明的思路：证明的思路：记记rk(rk(A)=)=r. . 因因A为为n阶对称阵阶对称阵, ,存在正交阵存在正交阵,使得使得 A=diag(=diag(1,1,r 0,.,0)0,.,0) 令令YX，则，则YNn( (,2In),), 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验且且riiiYAYAYAXX12)(6 又因为又因为 XBX= =YB Y= =

3、YHY其中其中H=B 。如果能够证明。如果能够证明XBX可表示为可表示为Yr+1+1，,Yn的函数，即的函数，即H只是右只是右下子块为非下子块为非0的矩阵。的矩阵。则则XAX 与与XBX相互独立。相互独立。第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验7 证明证明 记记rk(rk(A)=)=r. . 若若r=n, ,由由ABO, ,知知B Onn, ,于是于是XAX与与XBX独立；独立； 若若r=0=0时时, ,则则A0,0,则两个二次型也是独则两个二次型也是独立的立的. . 以下设以下设0 0rn.因因A为为n阶对称阵阶对称阵, ,存在正存在正交阵交阵,使得使得第三章第三章 多元

4、正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验8 其中其中i00为为A的特征值的特征值( (i=1,=1,r).).于是于是令令r第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 由由ABO可得可得DrH1111O ， DrH1212O . .因因Dr为满秩阵为满秩阵, ,故有故有H1111Orr，H1212Or(n-r) . . 由于由于H为对称阵，所以为对称阵，所以H2121O(n-r)r . .于是于是9 由于由于Y1 1，,Yr , ,Yr+1 ,Yn相互独立，故相互独立，故XAX与与XBX相互独立相互独立. .第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令YX，则

5、，则Y N Nn( (,2In),), 且且riiiYAYAYAXX12)(nrnrYYHYYHYYBYBXX1221),(BH10 设设XN Np( (,),0,0,A和和B为为p阶对称阵阶对称阵, ,试证明试证明 ( (X- -)A( (X- -)与与( (X- -)B(X-)相互相互独立独立 AB0 0pp. .第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-3)(记1212111由由“1.1.结论结论6”6”知知与与相互独立相互独立 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验OBAOBAOCD2121212112 性质性质4 4 分块分块Wishart矩阵

6、的分布矩阵的分布:设设X() Np(0,) (1,n)相互独立，其中相互独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则rpr22211211),(W222112111)()(nrprWWWWXXWpn第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验试证明试证明Wishart分布的性质分布的性质(4)和和T2分布的性质分布的性质(5).3-413第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验证明证明: 设设 )()2(| ) 1 (rpnrnijpnXXxX), 0(), 0(则,22)2()(11)1()()2()()1()()(rprNXNXrprXXX记记, 则则,)2(

7、)2() 1 ()2()2() 1 () 1 () 1 (22211211WWWWXXXXXXXXXXW)2()2(),1 () 1 (2211XXWXXW即即14第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验).,()()2()2(122)2()()2()(22nrpnWXXXXW当当12 =O 时时,对对1,2,n, 相互相互 独立独立.故有故有W11与与W22相互独立相互独立.)2()()1()(与XX);,()() 1 () 1 (111)1()()1()(11nrnWXXXXW由定义由定义3.1.4可知可知15 性质性质5 在非退化的线性变换下在非退化的线性变换下,T2统

8、计量保持不统计量保持不变变. 证明证明:设设X() (1,n) 是来自是来自p元总体元总体Np(,)的随机样本的随机样本, X和和Ax分别表示正态总体分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵的样本均值向量和离差阵,则由性质则由性质1有有).1,()()(1(212npTXAXnnTxx第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令( )( )(1,., )iiYCXd in其中其中C是是p p非退化常数矩阵，非退化常数矩阵，d是是p 1常向量。常向量。则则),.,2 , 1(),()(niCCdCNYpi1622xyTT21112)()(1()()(1()()(1(xxxyyy

9、yTXAXnnXCCCACXnnYAYnnT第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验,dXCYCCACXXXXCYYYYAxiniiiniiy)( )()( )()(1)()(1)(所以所以dCy记17第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-5 对单个p维正态总体Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=0已知)的似然比统计量及分布. 解解:总体总体XN Np p(,(,0 0)()(0 00),0),设设X() )(=1,(=1,n) ) ( (np) )为来自为来自p维正态总体维正态总体X的样本的样本. .似然比统计量为似然比

10、统计量为),(max),(max0000LLnnXX10)(100)(2/0)()(21exp|2|1分子nnXX10)(0)(102/0)(tr21exp|2|1P66当当=0已知已知的检验的检验18第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验tr21exp|2|1分子0102/0An),(max),(分母00LXLnnXXXX1)(10)(2/0)()(21exp|2|1nnXXXX1)()(102/0)(tr21exp|2|1tr21exp|2|1102/0An19第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验),(max),(max0000LL21tr21tr

11、exp01010AA)(21tr21trexp001010XXnAA)()(tr2exp0100XXn)()(2exp0100XXn20第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验)()(2ln0100XXndef0100)()(ln2XXn), 0()(),1,(0下000下00pHpHNXnnNX).(ln22p因因所以由所以由3“一一2.的结论的结论1”可知可知21第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-6 ( (均值向量各分量间结构关系的检验均值向量各分量间结构关系的检验) ) 设总体设总体XN Np p(,)(,)(0),0),X() )(1,1

12、,n)()(np) )为为来自来自p维正态总体维正态总体X X的样本，记的样本，记(1 1,p).).C为为kp常数常数( (k p),rank(),rank(C)=)=k, ,r为已知为已知k维向量维向量. .试给出试给出检验检验H H0 0:C:Cr的检验统计量及分布的检验统计量及分布. .解：解：令令), 2 , 1()()(nCXY则则Y() )(1,1,n) 为来自为来自k维正态总体维正态总体Y的样本，且的样本，且.,记);,(y)(CCCCCCNYyk22第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验rHrCHy:00检验检验这是单个这是单个k维正态总体均值向量的检验问

13、维正态总体均值向量的检验问题题.利用利用3.2当当y = CC未知时均值向未知时均值向量的检验给出的结论量的检验给出的结论, ,取检验统计量取检验统计量: :),() 1(02knkFTknknFH下 ).()() 1().()() 1(其中112rXCCCArXCnnrYArYnnTy. )( )()(1)(XXXXAinii23第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-7 设总体设总体XNp(，) (0), X() ) (1,n)(np)为来自为来自p维正态总体维正态总体X的样本，样本均值为的样本，样本均值为X，样本离差阵为，样本离差阵为A.记记(1 1,p p).为

14、检验为检验H0 0:1 1=2 2=p p ,H1 1:1 1,2 2,p p至少有一对不至少有一对不相等相等.令令,100101010011)1(ppC则上面的假设等价于则上面的假设等价于H0 0：C=0p-1,H1 1：C 0p-1试求检验试求检验H0 的似然比统计量和分布的似然比统计量和分布.解：解：ppHH,:,:211210至少有一对不相等至少有一对不相等.24第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验利用利用3-6的结果知，检验的结果知，检验H0的似然比统计量及分的似然比统计量及分布为：布为：, 0:, 0:10CHCH下0) 1)(1() 1(2HTpnpnF),

15、1, 1(pnpF其中其中).(1, 1()() 1(0212下HpnTXCCCAXCnnT(注意注意:3-6中的中的k在这里为在这里为p-1)25第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-8 假定人体尺寸有这样的一般规律假定人体尺寸有这样的一般规律:身高身高(X1),胸围胸围(X2)和上半臂围和上半臂围(X3)的平均尺寸比例是的平均尺寸比例是6 4 1.假设假设X ()(1,n)为来自总体为来自总体X=(X1,X2,X3)的随机样本的随机样本.并并设设XN3(,)，试利用表，试利用表3.5中男婴这一组数据检验三中男婴这一组数据检验三个尺寸个尺寸(变量变量)是否符合这一规

16、律是否符合这一规律(写出假设写出假设H0,并导出检并导出检验统计量验统计量). 解：解：检验三个尺寸检验三个尺寸(变量变量)是否符合这一规律的问题是否符合这一规律的问题可提成假设检验问题可提成假设检验问题.因为因为01:4:6:321C其中其中,41060132C.040614,1632313231且注意注意:26第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验, 0:, 0:10CHCH检验的假设检验的假设H0为为410032或,601032或CC 利用利用3-6的结论，取检验统计量为：的结论，取检验统计量为：)2, 2() 1(2202nFTnnFH 下.)() 1(12XCCX

17、AXCnnT由男婴测量数据由男婴测量数据(p=3,n=6)计算可得计算可得 T2=47.1434, F=18.8574, p值值=0.0091950未知未知.检验检验H0似然比统似然比统计量为计量为21)()()()(1)()()2 , 1()(nnniXXXXAiiiniii记记,1),2 , 1(1211)()(1)()()(ininiiiiiXnXiXnX记其中其中)()(iX31第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验为且最大 值,达最大,分子当nBAnTX222|)2()nnpnpTennTXL，（其中其中 A=A1+A2称为组内离差阵称为组内离差阵.B称为组间离差

18、阵称为组间离差阵. )( )()()(211)()(XXXXTijinjijkBAXXXXnAiiiiii21)()(21)(32第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验222)2()1(|)2(),nnpnpAennAXXL，（为母且最大 值,达最大,当分)2()2()1()1(nAXX2/2/2/2/|nnnnBAATA)()()2()1()2()1(2121)()(XXXXnnnAXXXXnABATiiii因为因为似然比统计量似然比统计量33第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验)()(1 |1)()(|)(|)2()1(1)2()1(21)2()1

19、(21)2()1(21)2()1()2()1(21XXAXXnnnAXXnnnXXnnnAXXXXnnnAT)()(11|)2()1(1)2()1(21XXAXXnnnTA所以所以34第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验), 0()(0)2()1(21pHNXXnnn下)(), 2(2121nnnnWAAAp由定义由定义3.1.5可知可知)2,()()()2(2)2()1(1)2()1(212npTXXAXXnnnnT,2111|2TnTA由由1212Tn或或由于由于35第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验可取检验统计量为可取检验统计量为) 1,(1

20、121)2(02pnpFppnnTppnFH 下检验假设检验假设H0的否定域为的否定域为22FFTT36第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-11 表表3.5给出给出15名名2周岁婴儿的身高周岁婴儿的身高(X1)，胸围，胸围(X2)和和上半臂围上半臂围(X3)的测量数据的测量数据.假设男婴的测量数据假设男婴的测量数据X()(1,6)为来自总体为来自总体N3( (1)，)的随机样本的随机样本.女婴的测女婴的测量数据量数据Y() (1,9)为来自总体为来自总体N3 (2)，)的随机样的随机样本本.试利用表试利用表3.5中的数据检验中的数据检验H0:(1) =(2) (=0.

21、05). 解解:这是两总体均值向量的检验问题这是两总体均值向量的检验问题. 检验统检验统计量取为计量取为(p=3,n=6,m=9):) 1,()2(102pmnpFTpmnpmnFH 下37第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中其中)()()()2(1212YXAAYXmnnmmnT)()()(1121YXAAYXmnnmppmnF故检验统计量为故检验统计量为用观测数据代入计算可得用观测数据代入计算可得:05. 02693. 0,4982. 1,3117. 52pFT故故H0相容相容.显著性概率值显著性概率值38 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检

22、验 3-12 3-12 在地质勘探中，在在地质勘探中，在A A、B B、C C三个地区采集了一些岩石，三个地区采集了一些岩石，测其部分化学成分见表测其部分化学成分见表.假定这三个地区岩石的成分遵从假定这三个地区岩石的成分遵从N N3 3( ( (i i) )，i i)()(i1 1，2 2，3)(=0.05).3)(=0.05). (1) (1) 检验检验H0H0：1 12 23 3；H1H1：1 1,2 2,3 3不全等不全等; ; (2) (2) 检验检验H0H0：(1)(1)(2)(2),H1,H1：(1)(1)(2)(2); ; (3) (3) 检验检验H0:H0:(1)

23、 (1) (2)(2)(3)(3),H1:,H1:存在存在ij,ij,使使(i)(i)(j)(j); ; (4) (4) 检验三种化学成分相互独立检验三种化学成分相互独立. . 解解:(4)设来自三个总体的样本为设来自三个总体的样本为(p=3,k=3), 1;, 1(),()()()(ttptiniktNX.,:H, 0:检验H23131212313120不全相等检验检验H0的似然比统计量为的似然比统计量为),(max),(max)(,)(,)()(iiiiLLiiii39第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分子为似然比统计量的分子为),diag(00000

24、0332211D记)(tr21exp)2();(max),(122)()(ADDDLDXLnnptt40第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验),(diag1000000332211AnnananaD其中ktnittittiktttXXXXAA11)()()()()()(1)(称为合并组内离差阵称为合并组内离差阵.,000000,113312211111aaanDanDpiiip41第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验2122122122)(e22exp1)2()(tr21exp)2(),(npiiinpnpiiinpnpnnptannpanADDDXLnpaanADiipiii111)(tr42第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分母为似然比统计量的分母为)1(tr