第十一章_例题

1、例例1 ：已知：各长度如图，系统可绕：已知：各长度如图，系统可绕 z 轴旋转，小球轴旋转，小球C、D重量均为重量均为 P ，起初以，起初以细绳相连，使细绳相连，使AC、BD位于铅直位置，系位于铅直位置，系统角速度为统角速度为 。其他构件自重不计。此。其他构件自重不计。此细绳拉断后，杆细绳拉断后，杆AC和和BD各与铅垂线成各与铅垂线成 角，求这时系统的角速度。角，求这时系统的角速度。解解： 0F)()(ezM常数常数zL020122 agPaagPLz 222)sin(lagPLz021zzLL 20222)sin(lagPagP022 )sin(laaP例例22121mRJLOOvRgWmvR

2、LO2vRgWmRLLLOOO22121PeddOOMtLWRvRgWmRt)21(dd2WRRagWmRP221gWmWaP2P例例 ：两个飞轮：两个飞轮 ， ，两齿轮，两齿轮 ，轴，轴由由静止开始以匀加速度转动，静止开始以匀加速度转动，10 秒后其角速度达到秒后其角速度达到 。求需加在。求需加在轴轴上的转动力矩及两轮间的切向压力上的转动力矩及两轮间的切向压力 P 。已知。已知 ，不计各齿，不计各齿轮和轴的转动惯量。轮和轴的转动惯量。解解：轴：轴 ：如图：如图(b)，转动微分方程，转动微分方程 ： 轴轴 ：如图：如图(c)，转动微分方程，转动微分方程 ： 21100mkgJ2280mkgJ2

3、321ZZr/min1500cm101r111rPMJ 222rPJ ,PP 又又121221zzrr 122121 zzJJM122112 zzrJP代代入入数数据据后后，得得：而而211715rad/s.t )(1)(2kN.m,kN.32844PM例例： 钟摆简化如图。已知均质细杆和均质圆盘的质量分钟摆简化如图。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为别为m1和和m2，杆长为，杆长为 l ，圆盘的直径为，圆盘的直径为d。求摆对于通过悬挂。求摆对于通过悬挂点点O的水平轴的转动惯量。的水平轴的转动惯量。解解：2131lmJO杆杆)()()()(ldldmdlmdmdlmJJCO2222222228

4、3 22212盘盘)(ldldmlmJO222218331例例 ：复摆法测转动惯量。设摆的质量为：复摆法测转动惯量。设摆的质量为m ，质心为，质心为C ，s为为质心到悬挂轴质心到悬挂轴O的距离。若已测得复摆绕其平衡位置摆动的的距离。若已测得复摆绕其平衡位置摆动的周期周期T，求刚体对通过质心并平行于悬挂轴，求刚体对通过质心并平行于悬挂轴O的轴的转动惯量。的轴的转动惯量。 解解：受力图如图：受力图如图 ，定轴转动微分方程，定轴转动微分方程 ：平行轴定理平行轴定理 ：若摆角若摆角 很小，很小， ，运动微分方程线性化为，运动微分方程线性化为 ：周期：周期：若已测得周期，可求出刚体的转动惯量：若已测得周

5、期，可求出刚体的转动惯量： sin mgsJO )(22222smmsmmsJJCCCO sin)(mgssmC 22022 sinsgsC sin022 sgsC gssTC222 gsTmgsmJCC2224 (运动规律与单摆类似)O例例OPxPxGIMlGIMx ,ddlGIkPlGIkJPC 0lJGICP PCGIlJT2例例1：均质圆轮：均质圆轮 ，半径为，半径为r 、质量为、质量为m ，作，作纯滚动纯滚动 ，回转半径为，回转半径为 ，作用于圆轮上的力，作用于圆轮上的力矩为矩为M ，静摩擦系数为，静摩擦系数为fs 。求。求:1）轮心的加速）轮心的加速度；度；2）地面对圆轮的约束力；

6、）地面对圆轮的约束力；3）在不滑动）在不滑动的条件下力矩的条件下力矩 M 的最大值。的最大值。解解: 圆轮圆轮:列平面运动微分方程列平面运动微分方程 : 欲使圆轮只滚动而不滑动，必须满足欲使圆轮只滚动而不滑动，必须满足 :对于均质圆盘对于均质圆盘 , C sCsCxFmaFma即：mgmgNmaCyN0即：rFMmsC2raC纯滚：)(22rmMraCCCsmaF mgN NfFssmgfrMrsC22 rrmgfMCs22 rC22 mgrfMs23s纯滚的纯滚的滑动摩擦力滑动摩擦力(滚动摩阻忽略不计滚动摩阻忽略不计)方向方向判断判断：若有人提供质心的线运动力就不用它(取与质心运动方向相反)

7、；若没人提供需要它(取与质心运动方向相同)例例2 ：均质圆盘：均质圆盘 ，已知：如图，已知：如图m ，R ， ，试，试研究圆盘沿倾斜角为研究圆盘沿倾斜角为的斜面的平面运动。不计滚动摩阻。的斜面的平面运动。不计滚动摩阻。解解：（：（1）斜面光滑，如图（）斜面光滑，如图（a），）， 圆盘具有两个自由度，圆盘具有两个自由度， 以坐标以坐标 表示圆盘位置表示圆盘位置 ， 为圆盘相对为圆盘相对质心平动系的转角。由刚体平面运动微分方程质心平动系的转角。由刚体平面运动微分方程 ，得：，得：若若 ： ，则圆盘以加速度，则圆盘以加速度 作平动；作平动；若若 ： ，则圆盘质心作等加速直线运动，同，则圆盘质心作等加

8、速直线运动，同时圆盘相对质心作等角速度转动。时圆盘相对质心作等角速度转动。 C ,Cx sinmgxmC cos0mgN 02 Cm0sin gxC0, 0, 0, 0OCCvxxtsingxC 0, 0, 0, 0CCxxt（2）斜面粗糙）斜面粗糙 ：如图（：如图（b），平面运动微分方程为），平面运动微分方程为 ： 由斜面粗糙，圆盘作纯滚动，则：由斜面粗糙，圆盘作纯滚动，则：由由(1)(4) ，联立解得：，联立解得： 圆盘与斜面间无相对滑动圆盘与斜面间无相对滑动(纯滚纯滚)的条件为的条件为 ：sCFmgxmsin cos0mgN RFmsC 2 RxC RxC RxC)(1)(2)(3)(4

9、sin222gRRxCC sin222mgRFCCscosmgN NfFsstg222RfCCss(3)圆盘与斜面间的摩擦系数圆盘与斜面间的摩擦系数 时，时，圆盘沿斜面既滚又滑，具有两个自由度，圆盘沿斜面既滚又滑，具有两个自由度， 以以 、 表表示圆盘位置，平面运动微分方程为示圆盘位置，平面运动微分方程为 ： 此时：此时： 其中，其中， 为动摩擦系数。为动摩擦系数。由方程由方程(5)、(7)、(8)求得求得 ：tg0222RfCCSCxdCFmgxmsin cos0mgN RFmdC 2cosfmgfNFdfgfxC)cos(sin cos2fgRC ）（5）（6）（7）（8dRC例例3RCs

10、=0s+nCaCa RCs=0s+nCaCarFJmgFrRmmamgFrRmmadCnCdCcos)-(sin-)-(N2 C* rrRrrRvC)( )(dFrRm )(210sin)(23grR 22mrCJ又cos)-(N2nmgFrRmmaC2N)-(cosrRmmgFdFrRm )(210sin)(23grR sin，很小时很小时0)3(2rRg 2g)3(2)3(2rRTrRg周期振动角频率)sin(0tA00000,t000cos0,sinAA2,00AtrRg)-( 32cos0例例4 ：均质杆长：均质杆长 l ，质量为，质量为 m ，用两根细绳悬挂，用两根细绳悬挂如图所示。

11、设绳与杆的夹角为如图所示。设绳与杆的夹角为且且OA=OBl，求当细绳求当细绳 OB 被突然剪断时，绳被突然剪断时，绳OA 的拉力。的拉力。 解解： 1、对象：、对象：AB杆杆 2、分析受力：剪断瞬时，、分析受力：剪断瞬时， 3、分析运动、分析运动 ：点：点A：圆周运动；：圆周运动；AB杆：刚体平面运动；杆：刚体平面运动；剪断瞬时，剪断瞬时， ，AB杆的杆的 ，设其角加速度为，设其角加速度为 ，则：，则：将将(1)式沿式沿 x 方向投影，得：方向投影，得：刚体平面运动微分方程：刚体平面运动微分方程： Tgm, CyCxCaaasinmgTmaCxsin22121lTmlnCACAACaaaa0)2( sin2laCx(1) aaaaCAACyCx)3()4