函数模型的应用实例

1、函数模型的应用实例孝南高中孝南高中 罗金霞罗金霞“菊花”烟花是国庆晚会上空最璀璨壮观的烟花之一，其施放后的轨迹呈抛物线抛物线状状。例例1.1.小王开车前往天安门广场参观阅兵仪式，在到达小王开车前往天安门广场参观阅兵仪式，在到达广场前五小时的行驶速度与时间的关系如图广场前五小时的行驶速度与时间的关系如图. .解：阴影部分的面积为解：阴影部分的面积为50 180 190 175 1=360 + + + +vt (h)5080907565(km/h)12345O例题讲解 （1 1）求图中阴影部分的）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积面积，并说明所求面积的实际含义；的实际含义；vt (h)50809

2、07565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345O65 1（2 2）假设这辆车的里程表在小王假设这辆车的里程表在小王行驶这段路程前的读数行驶这段路程前的读数2004km2004km，试建立小王在行驶这段路程时其试建立小王在行驶这段路程时其车里程表读数车里程表读数s kms km与时间与时间t ht h的函的函数解析式，并作出相应的图象

3、数解析式，并作出相应的图象. .S=50t+2004, 0 t1,80(t-1)+2054, 1 t2,90(t-2)+2134, 2 t3,75(t-3)+2224, 3 t4,65(t-4)+2299, 4 t 5.O2000210022002300240012345ts.解：解：vt (h)5080907565(km/h)12345O（3 3）当汽车里程表读数为）当汽车里程表读数为21792179时，求行驶时间时，求行驶时间t t 解： 90(t-2)+2134=217990(t-2)+2134=2179. 得得t=2.5(t=2.5(小时）小时）例例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的

4、问题人口问题是当今世界各国普遍关注的问题. 认识人口数量认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：口增长模型： y=y0ert,其中其中t表示经过的时间，表示经过的时间，y0表示表示t=0时的人口数，时的人口数，r表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率. 下表是下表是19501959年我国的人口数据资料年我国的人口数据资料(单位：万人单位：万人) （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人）如果以各年

5、人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？亿？年份年份1950195119521953195419551956195719581959人数人数55196563005748258796602666145662828645636599467207（1）

6、解：设19511959年的人口增长率分别为r1，r2，r9.于是, 19511959年期间,我国人口的年均增长率为.56300)1 (551961 r可得1951年人口增长率0200.01r同理可得： .0210. 02r0229. 03r0250. 04r0197. 05r0223. 06r0276. 07r0222. 08r0184. 09r.0210. 02r0223. 06r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223.

7、 06r0229. 03r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0250. 04r0229. 03r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0276. 07r0250. 04r0229. 03r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0229. 03r.0210. 02r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0223. 06r0197. 05r02

8、50. 04r0229. 03r.0210. 02r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0184. 09r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0229. 03r.0210. 02r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 0

9、2r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0184. 09r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0221. 09)(921rrrr年份年份195019511952195319541955195619571958195

10、9人数人数55196563005748258796602666145662828645636599467207 19511959年的人口增长模型为年的人口增长模型为.,551960221. 0Nteyt ty1234567895000055000600006500070000O.解：将解：将y=130000代入代入,551960221. 0tey 得得 t 38.76 所以，如果按表的所以，如果按表的增长趋势，大约在增长趋势，大约在1950年后的年后的39年年（即（即1989年）我国年）我国的人口就已达到的人口就已达到13亿。亿。（2）如果按表的增长趋势，大约）如果按表的增长趋势，大约在哪一年

11、我国的人口达到在哪一年我国的人口达到13亿？亿？v点评点评：通过例通过例2的学习学生应学会根据给定的函数的学习学生应学会根据给定的函数模型解决实际问题，并能够验证问题中的数据与所模型解决实际问题，并能够验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，同时能够利用模型进行提供的数学模型是否吻合，同时能够利用模型进行预测。预测。自然状态下的人口增长模型：自然状态下的人口增长模型： y=y0ert1 1、已知、已知16501650年世界人口为年世界人口为5 5亿，当时人口的年增长率亿，当时人口的年增长率为为0.3%0.3%；19701970年世界人口为年世界人口为36 36 亿，当时人口的年增亿，当时人

12、口的年增长率为长率为2.1%2.1%（1 1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是是16501650年的年的2 2倍？什么时候世界人口是倍？什么时候世界人口是19701970年的年的2 2倍？倍？（2 2）实际上，）实际上，18501850年以前世界人口就超过了年以前世界人口就超过了1010亿；而亿；而20032003年世界人口还没有达到年世界人口还没有达到72 72 亿。你对同样的模型得亿。你对同样的模型得出的两个结果有什么看法？出的两个结果有什么看法？令令y=10, e0.003t=2，0.003t=ln2，t 231所以，所以，1881年世

13、界人口约为年世界人口约为1650 年的年的2倍。倍。同理可知，同理可知，2003年世界人口数约为年世界人口数约为1970年的年的2 倍。倍。课堂练习课堂练习解：由题意得，解：由题意得，y=5e0.003t (t N)解：根据实际情况，对解：根据实际情况，对1650年得到的结年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而长速度，而1970年得到的结论，公式中年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度，可的增长速度要大于实际的增长速度，可见，近几十年，各国为控制人口的增长见，近几十年，各国为控制人口的增长而采取了一定的措施，已经有一定成效。而采取了

14、一定的措施，已经有一定成效。v2.2.电信局为了满足客户不同需要，设有电信局为了满足客户不同需要，设有A A、B B两种两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间关系如图所示（其中间（分钟）之间关系如图所示（其中MNCDMNCD）。）。v（1 1）分别求出方案）分别求出方案A A、B B应付话费（元）与通话时应付话费（元）与通话时间间x x（分钟）的函数表达式（分钟）的函数表达式f(xf(x) )和和g(xg(x) )；v（2 2）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择助客户选择A A

15、、B B、两种优惠方案？并说明理由。、两种优惠方案？并说明理由。v解：（解：（1 1）先列出两种优惠方案所对应的函数解析）先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：式：v当客户通话时间为当客户通话时间为200200分钟时，两种方案均可；分钟时，两种方案均可；v当客户通话时间为当客户通话时间为0 x0 x200200分钟，分钟，g(xg(x) ) f(xf(x) )，故选择方案故选择方案A A；v当客户通话时间为当客户通话时间为x x200200分钟时，分钟时，g(xg(x) )f(xf(x) )，故选方案故选方案B B。小结：v用函数知识解应用题的方法步骤：用函数知识解应用题的方法步骤：v(1)(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，用题的关键， 转化来源于对已知条件的综合分析，转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。函数模型的种类。v(2)(2)用