张量基础知识

1、第二章 张量的基本知识张量的提出： 晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方法，这种方法就是张量方法。 在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义的张量。2.1标量、矢量、张量一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可

2、描述，我们把这种物理量称为标量。 有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类点操作时发生改变，这称为赝标量。二、矢量 有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 ，在三个坐标轴方向上的投影分别为 ，于是我们将 表为： 。 与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量（磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。f3, 2, 1ffff)(3, 2, 1ffff 三、张量先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其电流密度J和电

3、场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律 其中为电导率，是标量。 但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具有相同的方向，此时J与E的关系变为EJ333232131332322212123132121111EEEJEEEJEEEJ或表示成分量形式 矩阵形式 )3,2, 131iEJjjiji（321333231232221131211321EEEJJJ此处不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定律可表示为张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分量来描述，这种物理量就是二阶张量。EJ3332312322211312

4、112.2 张量的数学定义 描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换，但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换时分量变换的规律。 一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标系OX1X2X3，其三个方向的单位矢为 ,经过旋转变换为新的坐标系OXIX2X3，在新的坐标系里的单位矢为 ,令新坐标系中在旧坐标系中的方向余弦为 （j=1,2,3 )，则321,eee321, , eeeija333232131332322212123132121111eaeaeaeeaeaeaeeaeaea

5、e或简写为 反之，有)3,2,131ieaejjiji（)3,2,1(31ieaejjjii321333231232221131211321eeeaaaaaaaaaeee表示成矩阵形式为)cos(jiijeea将以上关系列成方阵形式则为 X1 X2 X3 (老坐标轴) （ 新坐标系） X1 a11 a12 a13 X2 a21 a22 a23 X3 a31 a32 a33称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵，它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个

6、矢量p,故有 332211332211*epepepepepepp321321321333231232221131211*3*2*1*3*2*1*3*2*1eeePPPeeeaaaaaaaaaPPPeeePPPAPP*1* PAP注：此处P与P*均为行向量即为于是得为了表示方便我们下面引入指标符号的概念指标符号：),(n21ixi下标符号 i 称为指标；n 为维数指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi nxx ,x21记作定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标 xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, w

7、333231232221131211 )3 , 2 , 1,(jiij求和约定 哑指标和自由标 1. 求和约定和哑指标 凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。 nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAjiij求和约定仅对字母指标有效 同一项内二对哑标应使用不同指标，如 31i31ijiijjiijxxaxxa123哑指标可以换用不同的字母指标2.自由标 定义：凡在同一

8、项内不重复出现的指标。如 jijibxaj 为自由标 1313212111bxaxaxa1j同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：3 3克罗内克（克罗内克（Kronecker-Kronecker-）符号）符号 定义定义： jijiij当当01由定义 111213212223313233100010001ijI即相当于单位矩阵。jjjjiijAjjjAAAAAAA321321332211),j ,i ()cosji21 (jie ,e令：2ee21e1e1x1x1x2x2x1x

9、2x2xcossinsincosji)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e则：现在我们以二维直角坐标系为例来看看一个小问题：)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同样：21121 xxxxji）式得由（1 :jiTji比较ji为正交矩阵为正交矩阵引用指标符号：jj iixxjjiixxkkjijjjiixxx由又ikkjijkikixx 讨论上式的几何意义讨论上式的几何意义说明说明 1基矢量具有与坐标分量相同的变换规律jijieeeeijji2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换

10、规律jijijjiivvvv 再看三维情况jiijjijieeee 考虑一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理jijixx同二维问题，可得ikkjij（正交性）于是得到最终的矢量变换法则如下APPAP1*332313322212312111321*3*2*1aaaaaaaaaPPPPPPAPP *321333231232221131211*3*2*1PPPaaaaaaaaaPPP*iijjPa P*3*2*1332313322212312111321PPPaaaaaaaaaPPP*PAP jjiiPaP*二阶张量的变换*QQ

11、PP*QAQTQPAPP*QAATP AATTQTP*若有：令：则：*iikkkkllljljPa PPT QQa Q若有：*jjlklikiQaTaP 令：则：jlklikijjijiaTaTQTP*P、Q均为矢量二阶张量三阶张量四阶张量mnoplpkojnimijkllmnknjmilijkkljlikijTaaaaTTaaaTTaaT*mnopploknjmiijkllmnnkmjliijkklljkiijTaaaaTTaaaTTaaT 张量定义定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量lkjillkkjjiiijklijklkkjji ilkji张量的阶数自由标数目n；对于三维空

12、间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。 以上张量的定义的物理实质在于：一个张量代表着一个物理量，这个物理量遵从一定的物理定律，而不是依赖于坐标系的选法。当坐标系变换时，物理量并不改变，只是描述的方法随之而变。因此，当坐标系变换时，张量的分量应有随之而变的规律，这就是上述的数学定义。小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。 张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张

13、量；还有三阶、四阶等高阶张量。2.3 张量的运算一、张量的加法若 皆为二阶张量，则 也为二阶张量，于是我们定义 为 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成新的同阶张量C，记作C=A+B。同样，作为加法的推广，标量a与张量 的乘积即为a 。 ) 3 , 2 , 1, (,jiBAijij)3, 2,1,(jiBACijijijijCijijBA,)3,2,1,(jiTij)3,2,1,(jiTij二、张量的乘法 若 为二阶张量， 为一阶张量，则可以证明 为三阶张量，于是我们定义 为 与 之积，表示为C=AB。 以此类推，若A,B是

14、阶数各为m,n的张量，则A,B分量的积构成一个m+n阶的张量C，称为A,B的积，表示为C=AB。)3, 2, 1,(jiAij)3, 2, 1( iBi)3,2, 1,(kjiBACkijijkijkCijAiB三、张量的收缩 在三阶张量 中，如果让 并对 求和，即则 为一阶张量，此种运算称为张量的收缩。这种运算所得张量的阶数比原张量的阶数少2。特别是：当C为两个张量A,B的积，例如 若令 ,并对求和，即)3, 2, 1,(kjiAijkkj j31)3,2, 1(jijjiiAC)3 , 2, 1( iCi)3, 2, 1,(mlkjiBAClmijkijklmlk k则称D为A,B收缩所得

15、的张量，阶数3=5-2，表为D=AB. 收缩可以不止一次，例如对两对下标求和，则称为收缩两次。例如所得张量Q的阶数为1=5-22，表为Q=A:B.3131kkkmijkijkkmijmBACDjkjkijkiBAQ2.4 对称张量的性质一、对称张量和反对称张量 张量T的分量如有关系 ,则称为对称张量。此种张量只有6个独立分量： . 有时，我们将这6个独立分量依次表为 于是对称张量 表示为 jiijTT 2112,1331,32232211TTTTTTTT，) 6 , 5 , 4, 3 , 2, 1( iTiT345426561TTTTTTTTTT如果T的分量有 ，则称为反对称张量。此时有 ，故

16、反对称张量只有3个独立分量 .同样，我们将这3个分量以此表为 ,于是反对称张量T表为jiijTT-0iiT2112,1331,3223-TTTTTT654TTT，0-0-0454656TTTTTTT二、张量的分解 作为张量加法的逆运算，张量总可以分解为若干个同阶张量之和，并且这种分解的方法是无穷多种的。例如，矢量的分解即为一例。张量的分解定理：任何张量总可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和，并且分解的方法是唯一的。共轭张量：若 为张量，则也为张量，我们称 和 互为共轭张量。记为对称张量 ,反对称张量 。)3,2,1,(jiTij)3,2,1,(jiTjiijTjiTcTSScAAc分解定

17、理的证明：设 为任意二阶张量， 为其共轭张量；对称张量 反对称张量唯一性)(21jiijijpps)(21)(21ccPPPPP)(21jiijijppaijijjijispps)(21ijijjijiappa)(21ASPASASPcccSPPc2APPc2cPP 一般来说，描述晶体物理性质的张量都是对称张量，例如电导率张量，介电常数张量，热导率张量等都是对称张量。所以，我们以后要讨论的张量也都是对称张量。三、二阶对称张量的示性面二次曲面方程 当 为对称张量，即 时有：当所有元素都为正数时，上式表示一个椭球面。在一般情况下，上式为双曲面。对上式进行坐标变换：12222112133132232

18、33322222111xxSxxSxxSxSxSxS31311ijjiijxxSSjiijSS 坐标变换因为空间一点的坐标 实际上是矢量r的分量，所以在坐标转换时各 的变换符合矢量变换法则，如下所示将*1kkiijiijxaxxxS*1lljjlkklxaxxxS（1）（2）3,2,1xxxix将（2）带入（1）中左式，得：*1lkkllkljkiijxxSxxaaSijljklklSaaS*所以：1、二次曲面方程系数与张量分量具有相同的变换规律；2、我们把上述的二次曲面方程所绘出来的曲面称为张量S的 示性曲面；3、示性二次曲面可描述具有二阶对称张量性质的物理特性。四、张量的主轴和主值 张量示

19、性面具有三个相互垂直的主轴。对于对称张量，经过一定的坐标变换后，总可以化成以下形式： 此时的坐标轴称为主轴，对称张量 S 化成了对角形式，此时的 则称为张量的主值。1233222211xSxSxS321SSS，321000000SSSS )( 0aISaaS成立,则为张量S的特征值(主值),a为张量S对应特征值的特征矢量(主轴方向)。用矩阵形式来表述，则张量的主值和主轴即对应为矩阵的特征值和特征向量。二阶对称张量S,若存在一个数和单位矢量a,使得五、张量的主轴和主值的确定 单位矢量a即 （特征方程）（特征方程组） 0)( jijijijijaSaaS )( 0aISaaS 3333232131

20、23232221211313212111aasasasaasasasaasasas 0)( 0)( 0)( 333222131323222121313212111asasasasasasasasas0)det(333231232221131211SSSSSSSSSIS0)()(33323123222113121122122111331331113323322233221123ssssssssssssssssssssssss由上式求得特征值即张量的主值 ，再带入特征方程组求出对应的特征向量即主轴。) 3,2, 1( ii2.5 张量与对称性的关系一、晶体对称操作的变换矩阵 在直角坐标系中，每一个

21、对称操作对应于将旧坐标系变换为新坐标系，所以它对应于一个坐标变换，可以用9个新旧坐标系之间的方向余弦来表示，这就是对称操作的变换矩阵。 例如，4次旋转轴，若以 轴为4次轴，则一个4次旋转操作的变换矩阵为1x100001010)4(二、对称性对矢量的制约 对于晶体，由于它具有对称性，导致对其物理性质的某些限制。这种限制是这样产生的：沿晶体一定方向测定的某种物理性质，当晶体按其对称操作旋转、反映或反演到新的取向时，其物理性质应有相同的数值和符号，就是说，由晶体对称性联系起来的等价方向上，具有相同的物理性质。例如，具有二次轴的晶体，我们沿任一给定的方向测其电导率，而后将晶体绕其二次轴旋转180，再测

22、其电导率，两次结果相同。 接下来我们来讨论对称性对矢量的制约。1、对称心对称心的变换矩阵为即设有矢量 ，则经过对称心的操作，将有而根据对称性，又应有所以必有100010001)1(ijija)3, 2, 1( ipiijijjijipppapjjiipp 0ip这就是说，具有对称心的晶体不可能有矢量性质的物理量。例如，晶体的热电效应系数就是矢量性质的物理量，当温度改变时引起晶体表面电荷的改变（即电极化矢量的改变），关系式为此处 为热电系数。根据以上讨论，具有对称心的晶体不可能有热电效应。我们知道，在32点群中，有11中是具有对称心的，因此，属于这11种点群的晶体不可能有热电效应。 以上结论可以

23、推广到三阶张量，即具有对称心的晶体不可能有三阶张量，例如，压电效应、电光效应等。TPpiiiP2、对称面设晶体有垂直于 轴的对称面，其变换矩阵为即于是矢量 经过对称面操作后有3x100010001)(m0)(1, 1332211jiaaaaij其余)3, 2, 1( ipi333332222211111ppapppapppap而由对称性，应有所以立即得就是说，矢量性质的物理量必垂直于 轴，即必在对称面内。例如电气石晶体，具有3次轴平行的对称面，而其热电效应方向平行于3次轴，也即在对称面内。iipp 000321ppp，3x3、对称轴设晶体有平行于 轴的3次轴，其变换矩阵为于是矢量p分量的变换为

24、而由对称性，有 ，所以3x10000)3(21-23-2321-3333322112322212122231212121111-ppappppapappppapapiipp 由此立即解得可见，矢量性质的物理量必平行于3次轴。例如电气石晶体，具有唯一的3次轴，其热电效应的方向与此3次轴平行。00321ppp，3322112322231211-pppppppp可见，矢量性质的物理量必平行于3次轴。例如电气石晶体，具有唯一的3次轴，其热电效应的方向与此3次轴平行。考察对称性对矢量的制约，所得结果是：只有以下10中晶类可以具有矢量性质的物理量，即 例如，目前研究的较多的热电性晶体，如硫酸三甘钛的点群为

25、2，铌酸锶钡 ，钛酸钡的点群为4mm，铌酸钾、钽酸锂、电气石的点群为3m等，均在这10中晶类之内。mmmmmmmm6,4,3,2,6,4,3, 2, 1)(TGS)(SBN三、对称性对二阶张量的制约我们仍以电导率张量为例。一般情况下有9个分量。由于晶体的对称性，将使独立的分量数目减小。在对称操作时， 的变换应满足关系由此即可定出哪些 是独立的。333231232221131211ijijklkljlikijij1、单斜晶系单斜晶系有一个2次轴，令此2次轴平行于 轴，则其变换矩阵为即于是由 知：各 中凡下标含有一个“3”的均为零。即3x100010001)2()(01, 1-332211jiaa

26、aaij其余ijklkljlikijij032312313于是独立分量只有4个，即332221121100002、正交晶系正交晶系有3个互相垂直的2次轴。取此三个2次轴为坐标轴 ，仿前述单斜晶体的方法，可定出二阶张量只有3个独立分量，即321,xxx332211000000 晶系晶系 对称特点对称特点 二阶张量形式二阶张量形式 独立分量数目独立分量数目 立方 四个3次轴 1 四方 六方 三方 一个4次轴 一个6次轴 一个3次轴 2 正交 三个2次轴 3 单斜 一个2次轴 4 三斜 只有1次轴 6TTT000000311000000TTT321000000TTT33312213110000TTT

27、TT321000000TTT2.6 诺伊曼原理及其应用 研究晶体对称性对物理性质的影响，必须以诺伊曼原理（Neumanns principle)为基础。 诺伊曼原理指出：晶体的任何物理性质所具有的对称要素，必包含晶体所属点群的全部对称要素，即，晶体物理性质的对称性必高于或至少不低于晶体所属点群的对称性。 这个原理是长期来大量事实总结出来的，并且已经经过大量实验检验证明是正确的。 诺伊曼原理的应用当然不仅限于矢量（一阶张量）和二阶张量，而且适用于高阶张量。诺伊曼原理的应用，需要对张量分量逐个的进行计算，因而阶数越高，计算越繁。现在我们介绍一种简便的方法，即下标变换法。 例如，考虑四方点群 中的某

28、二阶张量 ，假定平行于 轴，则其变换矩阵为即经过变换后 ，若将正负号与下标结合，则可简写为 4CijT4C3x100001010)(ija331221,xxxxxx33, 12, 21于是二阶张量分量的变换为22221111TxxxxT21122112-)- (TxxxxT23323113TxxxxT32231331TxxxxT33333333TxxxxT12211221-)- (TxxxxT11112222)(- (TxxxxT31132332-)(TxxxxT13313223-)- (TxxxxT按晶体的对称性，应有 ，于是可得所以此二阶张量具有以下形式 再考虑到是二阶对称张量，应有 ，于

29、是最后得二阶对称张量形式为jiijTT 0,32312313333312211122TTTTTTTTTT33111212110000TTTTTTij2112TT与前节结果相同。 这种下标变换法应用于高阶张量带来很大方便，这将在以后章节学习中遇到。332211000000TTTTij The end！定义定义 把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 A 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 . A例例,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B1、转置矩阵、转置矩阵附附2、转置矩阵的运算性质、转置矩阵的运算性质;)()1(AATT ;)()2(TTTBABA ;)()3(TTAA .)()4(TTTABAB TABC)(可推广可推广TC TB.TA3、对称阵、对称阵定义定义设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 , 即即那末那末 A 称为称为对称对称(矩矩)阵阵.TAA n,j , iaajiij21