92020年普通高招全国统一考试原创模拟卷

1、2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数9第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1.已知集合A=(x|x2-x-20,B=(x|12x8,则A.AnB=(2,3)B.AnB=(0,3)C.AUB=(-oo,3)d.AUB=(-1,3)已知向量a=(1,0),b=(0,2),则(a+2b)(a-b)=A.-7B.(1,8)C.-5D.(-8,1)3.已知不相等的复数Z1,Z2,设有下面三个命题pi：若Z1+Z2是实数，则Z1=?P2:若|Z1|=|Z2I,则?=?;P3：若Z1=?,则Z1,Z2在复平面内对应的点关于实轴对称.其中真命

2、题的个数为A.0B.1C.2D.380人，既做对第一问又做对第二问的学生有72,已知某个学生已经做对第一问，则该学生做4.某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率对第二问的概率为A.0.9B.0.8C.0.72D.0.5761?零2,5.若实数x,y满足约束条件?V4-?,则z=2x+y的最大值为?+2?4,A.5B.6C.7D.72C=(a+b)(sinBsinA),则当角7 6.已知ABC勺内角AB,C的对边分别为a,b,c,若2csinb.6C取得最大值时，B=a.

3、3.已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),当0Vx2.2时,f(x)=x-x，则当6x0,b0)的右焦点F2为圆心，焦距为半径的圆交y轴于点MN线D.折+1C.A/+1学杼+1Q.2将函数f(x)=sin30),纵坐标不变.It.X图象上所有的点向左平移6个单位长度后，再将横坐标变为原来的，得到函数y=g(x)的图象,g(x)在(-6,4)上是减函数，g(芸)+g(号)=0,-_iB.2C.4D.-21若对任意的Xi：-,1,存在唯一的X2-1,1,使2?2?12.已知函数f(x)=-x+,g(x)=xe-三,Pf(xi)=g(x2),则实

4、数a的取值范围是B.(1+：,eC.(1+】,eD.1,ee4e?2?=3?2?则该双曲线的离心率为第II卷（非选择题）积是.16.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点评卷人得分三、解答题（共7题，每题12分，共84分）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. 一.2一一-若二项式（x-n的展开式中存在常数项，则正整数n的最小值为若sin（a+3）=1,tana=3tan。，则sin（a-。）=.3如图，网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某组合体的三视图，则该组合体的体（3,0）的直线l交抛物线于A,B两点，若|AF|IBF=20,则鲍=|BF

5、|已知S是等差数列an的前n项和，且a2+&=20,7&=8a3.Tn是数列bn的前n项和，且?补?？=bn-1.2求数列an和bn的通项公式；设Cn=an+bn,求数列Cn的前n项和.17. 如图，在五面体ABCDEF,四边形ABCO矩形，AB=2BCEF=ED=FC=BC.E（1）求证：EF/平面ABCD当平面ABCa平面DCFE寸，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.为了解中学生身高和性别之间的关系，现调查了某中学高三年级两个班共120名学生的身高，男生和女生的身高（单位:cm）数据如下表：性1翁1弘】盖160167L?0in172男牛L2241g9713fl-1I2i17317117.

6、17617717K1网1801stW3女生6212741Lr1171311(1) 分别计算这120名学生身高的平均数、中位数和众数.(2) 为了研究身高和性别的关系，需要确定一个身高指标，请在学生身高的平均数、中位数和众数中选择一个你认为合理的，作为身高指标值，记为ho.以频率作为概率，分别估算男生中身高大于怕的概率、女生中身高低于ho的概率；构造一个关于学生的性别与身高是否高于(或低于)ho的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与身高有关.2?(?)斗,K=(e)(e)wJ*中0,050,010(X001Am3.811以635IQ.S28n=a+b+c+d)一，一

7、,一？学?18. 已知椭圆源+有=1(ab0)的上顶点为A,右焦点为F,O是坐标原点，AO院等腰直角三角形，且周长为2+2v2.(1)求椭圆方程；若直线l与AF垂直，且直线l交椭圆于BC两点，求ABCW积的最大值.一，一e?+?19. 已知函数f(x)=-alnx.当a=-e时，讨论函数f(x)的单调性；讨论函数f(x)的零点个数.选修4-4：坐标系与参数方程?s=?cos?在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?=?搭:?为参数，0)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为psin0-2pcos0=1.(1)求曲线C的普通方程和曲线C1的直角坐标方程；设曲线C

8、和G交于AB两点，点P(-1，-1)，若|PA，IAB，IPB成等比数列，求的值.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-2|.解不等式f(2x)-|x+2|1;当f(m1,f(2n)|3a-1|，求实数a的取值范围.参考答案1. D【解析】本题考查集合的表示方法及交、并运算，考查简单的一元二次不等式和指数不等式的求解，考查考生对基础知识的掌握情况，考查的核心素养是数学运算.解一元二次不等式x2-x-20,得到集合A解指数不等式12x8，得到集合B,再分别计算AnB和AUB即可得解.A=(x|x2-x-20=(-1,2),B=(x|12x=0.8,RAB=0.72,某个学生已经做对第一问

9、，则该学生做对第二问的概率0.72二口、山商=0.9,故选A.?(?)P(B|A=-(一)?(?)5. 【备注】无B【解析】本题考查线性规划的知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想.作出可行域，作出直线2x+y=0,根据目标函数的几何意义，数形结合即可求得Z的最大值.画出可行域，如图中阴影部分所示，作出直线2x+y=0,平移该直线，数形结合可知，当平移后的直线经过点C(2,2)时，z取得最大值,且Zma2X2+2=6，故选B.【备注】【素养落地】把z=2x+y的最大值转化为直线y=-2x+z在y轴上的截距的最大值，体现了直观想象核心素养.6. D【解析】本题考查正弦定理、余弦

10、定理，以及基本不等式，考查化归与转化能力、运算求解能力.利用正弦定理，把2csinC=(a+b)(sinB-sinA)转化成只含有边的等式，然后利用余弦定理及基本不等式求得cosC的最小值，即可求解.由正弦定理，得2c2=(a+b)(b-a)，即b2-a2=2c2，则由余弦定理得cosC=-=2?3?MA2；：?=：，当且仅当b=/a时等号成立，则易知角C的最大值为j当b=a时，3a?-=2，则a=c，所以A=C，B=兀-主-=，故选D.66637. 【备注】无C【解析】本题考查函数的周期性和函数图象的对称性，考查运算求解能力，以及分析问题、解决问题的能力.由f(x+1)=f(x-3)知，函数

11、f(x)的周期为4，由f(1+x)=f(3-x)知，函数f(x)的图象关于直线x=2对称，作出函数f(x)在0，8上的图象，数形结合求解；也可先求出函数f(x)在6,8上的解析式，再求出其最小值.解法一由f(x+1)=f(x-3)得,f(x)=f(x-1)+1=f(x-1)-3=f(x-4),故函数f(x)的周期为4,由f(1+x)=f(3-x)可得f(2+x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，作出函数f(x)在0,8上的大致图象如图所示,由图可知，当6x8时，函数f(x)的最小值为72解法二由f(x+1)=f(x-3),得f(x)=f(x-1)+1=f(x-1)-3=

12、f(x-4),由f(1+x)=f(3-x),得f(x-4)=f1+(x-5)=f3-(x-5)=f(8-x),故f(x)=f(8-x),因为0x2时,f(x)=x2-x,所以当6x8时,08-xF2+1=(2v2-QF)2,解得QF,即OQQfM，设球O的半径为R则F2=r2+O?f=2+98=竺，于是该球的表面积816432S=4兀4=11爻兀,故选D.8解法二设该球的球心为O过正方形BCD由勺截面圆的圆心为O,连接OO,则OO垂直于圆Q所在的平面，设过等腰三角形ABC勺截面圆的圆心为Q,连接OQ则OO垂直于圆O所在的平面，设过直线OO和OO的平面交BC于点F,连接OF,QF,则F是线段BC

13、的中点，四边形OOFO为矩形.连接AF在等腰三角形ABg,BC=2,AB=3,所以AF=海1=2恁，设圆。的半径为r,则(2折-r)2+1=r2,所以=里.OO=QF=2X1=1，设该球的半径为R则4=2+0?号=82驱+1=竺=虺，于是该球的表面积S=4兀4=坨兀，故选D.6464328【备注】【素养落地】借助立体几何研究球的半径和球的截面圆的半径，以及球心到球的截面圆的距离之间的关系，增强了考生运用几何直观和空间想象思考问题的意识，培养了考生的数学运算、直观想象等核心素导A【解析】本题考查双曲线的定义以及几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力解法设解法一如图，不妨设点M在x轴上方,

14、设,车甘法二不妨设点M在x轴上方,在直角三角形MO,|OF|=c=1|F2M|,所以|OM=/c,于MC【备注】【方法点拨】若点P在双曲线上，则点P到两焦点的距离差的绝对值等于2a，且点常的坐标满足双曲线方程.F2P,根据直角三角形OFM的边K关系，得到ZOF2P的大小久连接PR,在?3?2?2所加PT2?/?W艮据点罪存双财抻囹22?2?2=1匕得器州?2?=3?律暨侦3畛广K制坟热叩x=t隅摄2OFMn冬求出点算隶幕_根常函数f(X)画象的斐换，得到函数g(x)的南4析工(，亩g(x)公(；)上关娥件2,石2?x)?*i星羌书点C.5涔5帝束由点,0)商腐?Ofc，嗾仙ShfcP履袍a，职

15、苛制fcwla苴尊莆扃=w，故选A.宙题意得,g(x)=sin(3x+分，根据g(x)在(三,三)上是减函数，得?二+?2#根T+6V项+2?兀，12k+2v3v8k+；,ke乙由0?2?=3?点p甫勺坐标i，渤等其侔A双储方程i而进倔母耶(6,4)上面函数，g(48)+g(石)=0,且6石石0,设A(x1,y)，B(x2,y2),则xi+x2=6+弄，xix2=9.由抛物线的定义得,|AF=x1+1,|BF=x2+1，则|AFIBF=(x+1)(x2+1)=xx2+x1+x2+1=6+命+9+1=号+16,又|AF|-|BF|=20,所以?16=20,k2=1,于是5=102=9，则有?=*

16、?=里=1或:?=9口=?孕1?=9,|?|?+151?=1,|?|?+1,=5.?z+1【备注】【解后反思】要利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.直线方程代入抛物线方程的化简和整理要正确，并且要注意比值是两种情况.解:(1)设等差数列an的公差为d,根据a2+S3=20,782=833,得4a1+4d=20,2a1=3d,所以a1=3,d=2,因此数列an的通项公式为an=2n+1.?+?由里一=bn-1,得Tn=2bn-2-几2当n=1时，b1=2b-2-1,b1=3.当n2时，Tn-1=2bn-1-2-(n-1),且T,-T-1=bn,所以bn=2bn-2-n

17、-2bn-1-2-(n-1),.一.一.?+1一bn=2bn-1+1,bn+1=2(窿1+1),=2,?3?1+1所以数列bn+1是以b1+1=3+1=4为首项,2为公比的等比数列，于是bn+1=4X2n1,+1所以数列bn的通项公式为bn=2n-1.由(1)得，Cn=an+bn=2n+1+2n+1-1=2n+2n+1.数列Cn的前n项和为C1+C2+C3+Cn234+1=2+2+4+2+6+2+2n+2n234+1=(2+4+6+2n)+(2+2+2+2n)1-2=?(2+2?)*22(1-2?)=2n2+n2+n-4.【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，等比数列的定义及其通项

18、公式，分组求和法，考查考生的运算求解能力，分类讨论能力以及分析问题、解决问题的能力(1)由等差数列an的通项公式和前n项和公式，把等式a2+S3=20和7&=8a3转化成关于首项和公差的方程，解方程求出首项和公差，即可表示数列an的通项公式；由已知可得数列bn的递推关系式bn=2bn-l+1(n2)，进而得数列bn+1为等比数列，由等比数列的通项公式，求出bn.观察数列Cn的通项公式，利用分组法求和.【备注】【解后反思】(1)已知数列3的前n项和公式为Tn，借助bnTcc?：，。求通?-?1，?A2项公式;(2)数列求和的问题，先判断数列的特征，再选择相应的求和公式.17. 解:(1)因为四边

19、形ABCO矩形，所以AB/CD.因为CD?平面DCFEAB?平面DCFE所以AB/平面DCIE.又AB?平面ABFE平面ABFE平面DCFEEF所以AB/EF又AB?平面ABCDEF?平面ABCD所以EF/平面ABCD.解法一设BC=1,则EF=ED=FC=BC=1，AB=2BG2.因为平面ABCa平面DCFE平面ABCD平面DCFECDAMCD所以AU平面DCE.因为DE?平面DCFE以AKDEAE=r?=折.由(1)知，EF/CD.如图，取CD勺中点M连接EMAMAB则EF=CM四边形EFC恨平行四边形所以EM/FC且EMtFC=1,则ZAE咖是异面直线AE与CF所成的角或其补角.在AM肆

20、，AE=v2,EM=1,AMtV?/+?=v2，.?+?-?2+1-2a万由余弦定理，得cos/AEM=一h=,2?-?2展4因此异面直线AE与CF所成角的余弦值为-.4解法二过点E作E(XCD于点Q因为平面ABCD平面DCFE以Ed平面ABCD.过点O作OWAD交AB于点H因为四边形ABC更矩形，所以O血CD.以O为坐标原点，OHOCOE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设BG=1,则EF=ED=FG=BG=1,AB=2BC=2,由(1)知，EFCD.在梯形CDE河，EF=ED=FC=1,DG2,所以。弓，e,于是E(o,o,顷，w,-2,0),C(o,2，0),F(

21、o,1，-2),则?-1,2,y)，?0，-2,-y).设异面直线AE与CF所成的角为e,13_一约?网?-4+4折刘COS0=1函?祝1=12|=_.,一，、v2因此异面直线AE与CF所成角的余弦值为.4,考查考生【解析】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力(1)利用线面平行的判定定理和性质定理即可证明;(2)根据异面直线所成角的定义，求异面直线AE和CF所成的角，可以把CF平移到和直线AE相交的位置，因此需取CD的中点M连接EMAM通过解三角形求出异面直线所成角的余弦值；也可以建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【备注】【

22、素养落地】借助立体几何中线面的位置关系，研究空间中线面平行、线线平行、面面垂直以及线线角，增强了考生运用几何直观和空间想象思考问题的意识，在明确既可以构造异面直线所成的角或其补角，也可以通过建立空间直角坐标系，借助向量的知识计算线线角时，将直观想象转化为数学运算，进一步培养数学运算核心素养.【解题关键】(1)证线面平行的关键是证线线平行，证线线平行的关键又是证线面平行，两种位置关系需要不断进行转化；(2)利用定义求异面直线所成角的关键是把异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角，利用向量求异面直线所成的角，需要正确建立空间直角坐标系，建系的关键是确定三条互相垂直的直线.【易错警示】异面直线所

23、成的角是直角或锐角，因此异面直线所成的角的余弦值非负.解:(1)由表可知，身高在153,159内的有11人,160,169内的有29人,170,179内的有60人,180,189内的有19人,190,193内的有1人,所以学生身高的平均数为1X150X11+(3+8+10+14+36)+160X29+(20+45+36+21+16)+170X60+(5+12+24+12+55+18+21+64+36)+180X19+(2+12+12+15+16)+193=20|06=171.8(cm).身高在153,172内的共有60人，身高在173,193内的共有60人,.一172+173因此学生身局的中位

24、数为=172.5(cm).其中175出现的次数最多，因此学生身高的众数是175cm.(2)解法一取学生身高的平均数作为身高指标值，即h0=171.8cm,调查的学生中男生有60人，女生有60人.男生中身高大于ho的有48人，女生中身高低于ho的有42人，一一、.484427所以男生中身局大于ho的频率为一=-,女生中身局低于ho的频率为一=.6056010一一、.4,一、.7因此男生中身局大于h。的概率为-,女生中身局低于h。的概率为一. 510学生的性别与身高的列联表如下：低丁h0高丁h0合计为生124860女421860计54661202120X(12X1842X48)21000K=X30

25、.30310.828.60X60X54X6633因此能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与身高有关解法二取学生身高的中位数作为身高指标值，即h0=172.5cm,调查的学生中男生有60人,女生有60人.男生中身高大于h0的有46人，女生中身高低于h0的有46人,故男生中身高大于h0的频率为竺=23,女生中身高低于h0的频率为竺=竺603060302323所以男生中身高大于h0的概率为-,女生中身高低于h0的概率为板.3030学生的性别与身高的列联表如下：低丁h0高丁h0合计为生144660461460，计6060120K2=120X(14X1446X46)2=匹.34.13310.

26、828.60x60x60x6015因此能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与身高有关【解析】本题考查概率与统计的基础知识、基本思想和基本方法，通过频数表考查考生的读表能力、数据处理能力以及信息提取能力，考查利用频率近似估算概率的思想，通过2X2列联表考查独立性检验的知识.【备注】【素养落地】通过研究频率表获取数据，并且运用概率与统计的数学知识与方法对数据进行整理、分析和推断，获得样本中的数字特征，即平均数、中位数和众数，培养数据分析、数学建模等核心素养.【解后反思】当样本数据较大时，若计算平均数，可考虑分组求解.本题属于开放性题目，身高指标值既可以选择平均数，也可以选择中位数，任选

27、其一即可，然后计算K2.解:(1)在AO冲,|AQ=b,|FQ=c,贝U|AF|=a,因为AO哓等腰直角三角形，且周长为2+2捉，所以b=c,a=b,a+b+c=2+2折，解得b=c=技，a=2,4一、，?因此椭圆方程为；+云=1.由知，A(0,v2),F(v2,0),kAF=-1,因为直线l与AF垂直，所以可设直线l的方程为y=x+m代入?4-+-?=1，得3x2+4mj+2n2-4=0,=8(6-m)0,得-v6mv6.4?2?2-4设B(xi,yi),C(X2,y2),贝Uxi+X2=-,xiX2=3,|B牛V1+12Ix2-xi|=v2V(?+?)2-4?=4V?2.3又点A到直线l的

28、距离d=|?涅,所以S5B=i|BCd=m-V(6-?2)(?-v2)2.22令f(m=(6-m)(mv2)，-v6m0,则-v6n-v2或vSvim32,A_icT-T,、3A/2-7-令f(m)0,则-v2mv2或mf()，所以f(m)max=32,即(，abCma)=Xv32=-，33因此ABC积的最大值是8.3【解析】本题考查椭圆的方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、逻辑思维能力、运算求解能力.(i)由AOF等腰直角三角形和周长的值，得到b=c,a+b+c=2+2v2,结合a2=b2+c2,求出a,b,c的值，可得椭圆方程;(2)求出直线AF的斜率，根据直线l与A

29、F垂直，求出直线l的斜率，设出直线l的方程，代入椭圆方程，求出弦长|BC，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，然后表示ABC勺面积，借助导数工具，求出ABC面积的最大值.【备注】【素养落地】在明确等腰直角三角形和三角形周长的基础上，依据运算法则，求出曲线方程；明确两直线垂直，得到两直线的斜率关系，用斜截式表示直线方程，利用代数式的变形运算技巧，表示出三角形的面积，借助导数求面积的最大值，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.2i.解:(i)函数f(x)的定义域为(0,+当a=-e时,f)=粉-以e?e?e?设h(x)=,x0,贝Uh(x)=_?所以令f8),(?i)(e?%?)?i,e?

30、、=n=(-e).?e?i)h(x)在(0,i)上是减函数，在(i,+8)上是增函数，h(x)有最小值h(i)=e,C?h(x)h(i)=e,即?e0.(x)0,则xi,令f(x)0,则0x0,则xi,令h(x)0,则0x0,则xi,令f(x)0,则0x-e时,f(x)min=e+a0,f(x)无零点,当a=-e时，f(x)min=e+a=0,f(x)只有一个零点.c?若a-e，根据知，方程?+a=0有两个不相等的实数根xi,x2,且0xi1x2,_?_?_?eee当0x0,当xixx2时,石+3x2时，花+a0.因此当0xxi时,f(x)0,当xix0,当1xx2时,f(x)x2时,f(x)0,故f(