第三章 材料力学

1、材材 料料 力力 学学第三章第三章 扭扭 转转3-13-1 扭转的概念扭转的概念3-23-2 轴的外力偶矩轴的外力偶矩扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3-33-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3-43-4 等直圆轴扭转时的应力等直圆轴扭转时的应力强度条件强度条件3-53-5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形刚度条件刚度条件3-63-6 非圆截面杆扭转简介非圆截面杆扭转简介3-13-1 扭转的概念扭转的概念实例实例1 1对称扳手拧紧螺帽对称扳手拧紧螺帽实例实例2 2汽车传动轴汽车传动轴传动轴传动轴实例实例3 3MeMe 受力特点受力特点: 受到一对等大、反向、在垂直于轴线平面内受到一对等大、反向

2、、在垂直于轴线平面内的力偶作用。的力偶作用。扭转的概念扭转的概念变形特点变形特点:杆件任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，轴线不变。杆件任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，轴线不变。概念概念:两个横截面的相对转角两个横截面的相对转角称为称为扭转角扭转角 ；纵向线倾斜的角度纵向线倾斜的角度 ，即为切应变，即为切应变(或称角应变或称角应变) ；轴轴承受扭转变形的杆件。承受扭转变形的杆件。MeMe 3-23-2 轴的外力偶矩轴的外力偶矩扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、外一、外力力偶偶矩矩的计算的计算 1. 1.力偶作用力偶作用切线方向的力切线方向的力 F 产生力偶矩产生力偶矩 Me=FR皮带的拉力皮带

3、的拉力 F1和和F2 产生力偶产生力偶矩。矩。若若 F2F1则则 Me=(F2-F1)D/22.2.皮带轮或链条皮带轮或链条作用在齿轮上的切向力产生力偶矩作用在齿轮上的切向力产生力偶矩Me=FtR3.3.齿轮齿轮功率功率 P ( (kW 或或 HP) )标示牌标示牌显示显示旋转速度旋转速度 n ( (r/ /min) )4.4.由转速和功率计算外力偶矩由转速和功率计算外力偶矩PnM/nMPee 260 602 m)(Nmin)(r(HP)7024 /nPMem)(N(r/min)(kw)9549 nPMenn 二、扭转的内二、扭转的内力力 1. 1.扭矩扭矩MeMeMeTx 0 xm0 eMT

4、eMT 扭转的内扭转的内力力： 横截面内的一个力偶矩，称为横截面内的一个力偶矩，称为扭矩扭矩。nn 求求n-n横截面上的内横截面上的内力力？kkMeTkx 0 xm0 ekMTekMT 求求k-k横截面上的内横截面上的内力力？MeMekk 比较比较n-n与与k-k横截面上的内横截面上的内力力？MeMennnnMeTxeMT 扭矩扭矩T 的正负规定的正负规定 : :按右手螺旋法则，扭矩的矢量与截面的外法线重合，按右手螺旋法则，扭矩的矢量与截面的外法线重合，扭矩为正，反之为负。扭矩为正，反之为负。用用“设正法设正法”求扭矩求扭矩: :kkMeTkx 0 xm0 ekMTekMT 求求k-k横截面上

5、的扭矩？横截面上的扭矩？MeMekk2.2.扭矩图扭矩图用坐标用坐标 (x, T) 来表示沿轴线方向的扭矩变化。来表示沿轴线方向的扭矩变化。 x 表示横截面的位置。表示横截面的位置。T表示扭矩的大小。表示扭矩的大小。例例1. 传动轴如图所示，已知：转速传动轴如图所示，已知：转速 n = 300r/min；主动；主动轮功率轮功率 P1= = 500kW， 从动轮功率分别为从动轮功率分别为P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 求各段的扭矩并画出轴的求各段的扭矩并画出轴的扭矩图。扭矩图。 M1 M2 M3 M4 BCAD（1）计算各传动轮所受的外力偶矩）计算各传动轮所受的

6、外力偶矩解解:m4.78kNm)N3001509549(32 MMM1 M2 M3 M4 BCAD注：任意两外力偶矩之间各截面扭矩相同。注：任意两外力偶矩之间各截面扭矩相同。m.9kN51m)N3005009549(1 Mm.37kN6m)N3002009549(4 M.951 784. 784. 376. (kN.m)（2）计算各段上的扭矩）计算各段上的扭矩mkN78421 .MTmkN37643 .MT11M2BxT1x33DT3M4 mkN569322 .MMT112233021 MT0322 MMT034 TMBM2 CM3 22xT2M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784.

7、 784. 376. (kN.m)（3）画扭矩图）画扭矩图Tmax = 9.56 kNm , 位于位于 CA段上。段上。4.789.566.37T (kNm)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m) 由外力偶矩直接求扭矩的法则：由外力偶矩直接求扭矩的法则： 任意横截面上的扭矩等于截面一侧所有外力偶矩任意横截面上的扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。的代数和。（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）M1 M2 M3 M4 BCAD 左边向上，右边向下取左边向上，右边向下取“+”，反之取，反之取“”。 主动轮

8、主动轮M1与从动论与从动论M4互换位置，画扭矩图。互换位置，画扭矩图。Tmax = 15.9 kNm , 位于位于 AD段上。段上。4.789.5615.9T (kNm)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m)4.789.5615.9T (kNm)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m)4.789.566.37T (kNm)比较传动轮的位置的不同安排，哪一种合理？比较传动轮的位置的不同安排，哪一种合理？Tmax = 15.9

9、 kNm Tmax = 9.56 kNm 主动轮与从动论位置的合理安排：主动轮与从动论位置的合理安排： 主动轮放在从动论之间，并尽量使两边从动论所主动轮放在从动论之间，并尽量使两边从动论所传递的外力偶矩相等。传递的外力偶矩相等。例例2 2. 轴受力如图所示，画出轴的扭矩图。轴受力如图所示，画出轴的扭矩图。 CMe=2mamABa2am分布力偶矩分布力偶矩单位：单位：kNkNm/mm/m分布力偶矩作用的段，扭矩图是斜直线。分布力偶矩作用的段，扭矩图是斜直线。1122xmaT21 扭扭矩矩方方程程 2mxT )20(ax ma2T一、一、 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转R0 0tR0 0平均半径平均

10、半径t ( (或或) )筒壁厚度筒壁厚度薄壁：薄壁： R0 0 / t 10101. 1. 薄壁圆筒薄壁圆筒l3-33-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转MeMe11任取的任取的1-11-1横截面上的扭矩可求。横截面上的扭矩可求。R0 0tMeMe11eMT Me11T 求求1-11-1横截面上的扭矩？横截面上的扭矩？(1)(1)圆周线绕轴线相对转动；圆周线绕轴线相对转动；(2)(2)圆周线的大小和间距不变；圆周线的大小和间距不变；(3)(3)各纵向线倾斜同一角度；各纵向线倾斜同一角度；(4)(4)矩形网格变为平行四边形。矩形网格变为平行四边形。变形现象：变形现象：近似认为管内变形与管表面变形相

11、同近似认为管内变形与管表面变形相同2 2. 实验：实验：CDABDC 微正六面体微正六面体微体只产生剪切变形。微体只产生剪切变形。沿圆周方向所有微体的剪切变形相同沿圆周方向所有微体的剪切变形相同 结论：结论： 横截面上只存在切应力，横截面上只存在切应力，没有正应力。没有正应力。纵向线倾斜的角度纵向线倾斜的角度 就是切应变，就是切应变，是由切应力引起的。是由切应力引起的。CDABDC 3 3. 切应力的方向：切应力的方向是与半径垂直，切应力的方向：切应力的方向是与半径垂直， 并与扭矩绕向一致。并与扭矩绕向一致。 TT 4 4. 切应力的计算：切应力的计算： 因为壁很薄，所以认为沿壁厚方向切应力均

12、因为壁很薄，所以认为沿壁厚方向切应力均匀分布。匀分布。T R0切应力的分布规律切应力的分布规律 横截面上各点切应力的合横截面上各点切应力的合力为一力偶矩，此力偶矩就是力为一力偶矩，此力偶矩就是扭矩。扭矩。 20000022tRtRRdARRdATAAT R0 切应力的大小切应力的大小tRT202 二、二、 切应力互等定理切应力互等定理从圆筒上取出一微正六面体从圆筒上取出一微正六面体 dxdydxdytTMedxdytdydxt 切应力互等定理切应力互等定理MeMet切应力互等定理切应力互等定理: 在相互垂直的两个平面在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，上，切应力必然成对出现，且大小相等

13、，并都垂直于两且大小相等，并都垂直于两个平面的交线，方向则共同个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。指向或共同背离这一交线。 dxdyt 纯剪切应力状态纯剪切应力状态 单元体的四个侧面上只有切单元体的四个侧面上只有切 应力而无正应力的应力状态。应力而无正应力的应力状态。 思考思考已知单元体上、下两个面上的切应力，以下各图中已知单元体上、下两个面上的切应力，以下各图中所画的其他面上的切应力，哪个图是正确的？所画的其他面上的切应力，哪个图是正确的？ A B C D三、三、 剪切胡克定理剪切胡克定理 切应变切应变MeMe 用一低碳钢所做的圆轴做扭转实验，在两端截面上用一低碳钢所做的圆轴做扭

14、转实验，在两端截面上加力偶矩直至扭断。加力偶矩直至扭断。 b s p p剪切比例极限剪切比例极限 s剪切屈服极限剪切屈服极限 b剪切强度极限剪切强度极限剪切时的应力剪切时的应力应变关系曲线应变关系曲线在剪切比例极限前，切应力与切应变成正比。在剪切比例极限前，切应力与切应变成正比。 剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律G 剪切弹性模量。剪切弹性模量。 它与它与具有相同的量纲。常用单位：具有相同的量纲。常用单位： GPa 。 G, , E 和和 都是材料的弹性常量，它们中只有两都是材料的弹性常量，它们中只有两个是独立的，关系是个是独立的，关系是 12EG( (在线在线弹性范围内弹性范围

15、内) ) G 3-43-4 等直圆轴扭转时的应力等直圆轴扭转时的应力强度条件强度条件 一、等直圆轴扭转时的应力一、等直圆轴扭转时的应力 rMeMe(1)(1)圆周线绕轴线相对转动；圆周线绕轴线相对转动；(2)(2)圆周线大小和间距不变；圆周线大小和间距不变；(4)(4) 纵向线倾斜同一角度纵向线倾斜同一角度 ；(5)(5)矩形变为菱形。矩形变为菱形。变形现象：变形现象：实验：实验： 切应变切应变(3)(3)径向直线仍然保持为直线；径向直线仍然保持为直线； 圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，大小和形状不变，半径仍保持为直线，任意两横截面大小和

16、形状不变，半径仍保持为直线，任意两横截面间的距离保持不变，但绕轴线发生相对转动。间的距离保持不变，但绕轴线发生相对转动。平面截面假设平面截面假设分析论证平面保持平面分析论证平面保持平面 rMeMe结论：结论：1 1. 横截面上不产生正应力；横截面上不产生正应力； ( (任意两横截面间的距离保持不变任意两横截面间的距离保持不变。) )2 2. 横截面上只产生剪应力；横截面上只产生剪应力； ( (纵向线纵向线倾斜的角度倾斜的角度 就是切应变，由切应力引起。就是切应变，由切应力引起。) )3 3. 剪应力的分布不是均匀分布。剪应力的分布不是均匀分布。理论分析理论分析与拉压杆问题相比，圆轴扭转问题的载

17、荷和变形都与拉压杆问题相比，圆轴扭转问题的载荷和变形都要复杂一些，因此理论分析必须包含三类条件。要复杂一些，因此理论分析必须包含三类条件。三类条件三类条件变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系 静力关系静力关系1. 变形几何关系变形几何关系横截面周界上一点的切应变横截面周界上一点的切应变距圆心为距圆心为 处一点的切应变处一点的切应变dxddxddxcc )(dxrddxCCtgr )(变形几何关系：变形几何关系： 扭转角扭转角 沿轴线的变化率；沿轴线的变化率；当外力当外力 一定时是一常量。一定时是一常量。上式表明上式表明: 横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距横截面上任意一点的切应变与该

18、点到圆心的距离成正比。距圆心相同的点切应变相同，圆心处为离成正比。距圆心相同的点切应变相同，圆心处为零，在外表面达到最大值。零，在外表面达到最大值。dxd )(dxd 2 2. 物理关系物理关系 O说明：横截面上任意一点的切应力与它到圆心的距离说明：横截面上任意一点的切应力与它到圆心的距离 成正比，方向垂直于半径，并与扭矩绕向一致。成正比，方向垂直于半径，并与扭矩绕向一致。剪切胡克定律剪切胡克定律 G dxd dxdGdxdGG CdxdG 切应力的分布规律：切应力的分布规律： dxdG 实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面T max minrmax( ) T切应力互等定理切应力互等定理T

19、rmax( ) nM3. 3. 静力关系静力关系 Ad AT极惯性矩极惯性矩基本变形公式基本变形公式Tr dA dxdG dAIAp 2 TIdxdGdAdxdGdAdxdGpAA 22 切应力的计算式：切应力的计算式：rIWPt 扭转截面模量扭转截面模量( (抗扭矩）抗扭矩）tpppmaxmaxWTrITITrIT dxdG 等直圆等直圆截面、圆环截面杆；截面、圆环截面杆；应力不超过剪切比例极限。应力不超过剪切比例极限。注意：公式的适用范围注意：公式的适用范围rmax( ) TPGITdxd D422322002232DDpADIdAdd 空心圆截面空心圆截面 22224444213232D

20、pAdIdAdDDd dD Od Dd Od1623PtD/DIW 43Pt1162 D/DIW 二、二、Ip和和Wt的计算的计算实心圆截面实心圆截面 44132 DIP324DIP 三、强度条件三、强度条件等直圆截面轴等直圆截面轴强度分析的三类问题：强度分析的三类问题：1. 1. 校核强度校核强度2 2. 设计横截面直径设计横截面直径3 3. 计算许用扭矩计算许用扭矩 maxtmaxWT 316 maxTd tmaxWT tmaxmaxWT阶梯圆截面轴阶梯圆截面轴 max max 四、圆轴扭转破坏现象四、圆轴扭转破坏现象 低碳钢低碳钢: :沿横截面断裂，由切应力引起。沿横截面断裂，由切应力引

21、起。 铸铁铸铁: :沿与轴线成沿与轴线成4545角左右的斜截面断裂，由拉角左右的斜截面断裂，由拉 应力引起，因为此斜截面上有最大的拉应力。应力引起，因为此斜截面上有最大的拉应力。MeMeMeMe3-53-5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形刚度条件刚度条件一、圆轴扭转时的变形一、圆轴扭转时的变形1 1. 相对扭转角相对扭转角 d DTO1O2ababdxDATpGITdxd dxGITdp 相距为相距为dx的两横截面的相对扭转角为的两横截面的相对扭转角为d rMeMe l 相距为相距为l 的两端横截面的相对扭转角的两端横截面的相对扭转角 ：dxGITdlpl 0 对于仅在两端受外力对于

22、仅在两端受外力偶矩作用的圆截面轴偶矩作用的圆截面轴其中其中GIp 抗扭刚度。抗扭刚度。（rad）pGITl o180 pGITl（）或者或者 阶梯轴阶梯轴AMe3Me1BCMe2求求A、C两横截面的相对扭转角？两横截面的相对扭转角？ niPiiiniiGIlT11 注意注意：Ti 要代入符号计算。要代入符号计算。2 2. 单位扭转角单位扭转角 单位长度上的扭转角。单位长度上的扭转角。ppGITlGITll o180 pGIT（rad/m )（/m )或者或者二、刚度条件二、刚度条件1. 1. 对于等直圆轴对于等直圆轴 180pmaxmaxGIT许可单位扭转角，单位许可单位扭转角，单位 : /m

23、2. 2. 对于阶梯轴对于阶梯轴 180maxpmaxGIT max对于精密机械上的轴对于精密机械上的轴对于一般传动轴对于一般传动轴 m/.o300150 m/o2 0.5m2mABC思考思考AC轴是否满足刚度要求？轴是否满足刚度要求？ 。，已知：已知：m51 90 81 ooo/.BCAB 一、非圆截面杆扭转时的变形特征一、非圆截面杆扭转时的变形特征翘曲翘曲杆横截面外周线改变原来的形状，且横杆横截面外周线改变原来的形状，且横 截面将截面将不再保持平面不再保持平面。3-63-6 非圆截面杆扭转简介非圆截面杆扭转简介自由扭转自由扭转两端受外力偶作用时，端面可以自由翘曲。两端受外力偶作用时，端面可

24、以自由翘曲。 也称为纯扭转。也称为纯扭转。非圆截面杆的扭转分类：非圆截面杆的扭转分类： 相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而没有正应力。有切应力而没有正应力。MeMe约束转动约束转动端面有约束不能自由翘曲。相邻两横截端面有约束不能自由翘曲。相邻两横截 面的翘曲程度不同，此时横截面上有切面的翘曲程度不同，此时横截面上有切 应力，还有正应力。应力，还有正应力。MeMeMe非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学的方法求解非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学的方法求解。二、矩形截面杆的自由扭转二、矩形截面杆的自由扭转矩形截面的切应力分布图：矩形截面的

25、切应力分布图：maxm axo横截面上周边各点处的切应力方向必与周边相切，横截面上周边各点处的切应力方向必与周边相切， 且组成切应力流。且组成切应力流。横截面的四个角点和形心处切应力等于零。横截面的四个角点和形心处切应力等于零。最大切应力发生在长边的中点，短边中点处的切应力最大切应力发生在长边的中点，短边中点处的切应力 max 1 例例3.3. 如图所示，一直径为如图所示，一直径为d的实心圆轴和另一外径的实心圆轴和另一外径为内径为内径2 2倍的空心圆轴（外径为倍的空心圆轴（外径为d1）受相同的扭矩）受相同的扭矩T作用，作用，为使两根轴的最大切应力相等，问空心圆轴截面的面积为使两根轴的最大切应力

26、相等，问空心圆轴截面的面积应为实心圆轴截面面积的百分之多少？应为实心圆轴截面面积的百分之多少？Tdd1d1/2T1. 实心圆轴的最大切应力实心圆轴的最大切应力163dWt tmaxWT 2. 空心圆轴的最大切应力空心圆轴的最大切应力 411311t2116dddW 11tmaxWT 316dT 3121516dT 43121116dT 解解:Tdd1d1/2Tmaxmax1 欲使欲使3123151616dTdT 即即解得解得d.dd02111516311 2221221102111631632114d.ddA 78180402111632221.dd.AA 空心圆轴空心圆轴截面面积截面面积两圆

27、轴截面两圆轴截面面积之比面积之比 在同等扭转强度的条件下，空心圆轴截面面积只有在同等扭转强度的条件下，空心圆轴截面面积只有实心圆轴截面面积的实心圆轴截面面积的78.18%78.18%，所以空心圆轴较为合理。，所以空心圆轴较为合理。例例4.4.如图所示，由两种不同材料制成的套管组合圆如图所示，由两种不同材料制成的套管组合圆轴受扭矩轴受扭矩T作用。外套管的外半径为作用。外套管的外半径为r1，切变模量为，切变模量为G1，内圆轴的半径为，内圆轴的半径为r2，切变模量为，切变模量为G2，设两层材，设两层材料的界面紧密结合不会相对错动，求两种材料横截料的界面紧密结合不会相对错动，求两种材料横截面上的最大切

28、应力。面上的最大切应力。lr1r2TT由静力关系由静力关系解解:21TTT 21 pIGlT1111 pIGlT2222 ppIGlTIGlT222111 界面不发生错动界面不发生错动由轴的变形公式由轴的变形公式（a）（b）（c）（d）将将(c)式代入式代入(b)可得可得lr1r2TTT1T2)(242411rrIp 4222rIp pmaxIrT1111 pmaxIrT2222 TIGIGrGpp221111 TIGIGrGpp221122 TIGIGIGTppp2211111 TIGIGIGTppp2211222 联立求解联立求解(a)式和式和(d)式可得式可得由最大切应力公式有由最大切应

29、力公式有其中其中 例例5. 如图所示传动轴，已知其转速如图所示传动轴，已知其转速n=200r/min，主，主动轮动轮2传递的功率为传递的功率为N2=80马力，其余从动轮传递的功马力，其余从动轮传递的功率分别为率分别为N1=25马力、马力、 N3=15马力、马力、 N4=30马力及马力及 N5=10马力。若材料的许用切应力马力。若材料的许用切应力 =20MPa，单位长，单位长度容许扭转角度容许扭转角 =0.5o/m，切变模量，切变模量G=82GPa，试确，试确定此轴的直径。定此轴的直径。12345Me1Me2Me3Me4Me51. 计算外力偶矩计算外力偶矩解解:nN.M11e027 200250

30、27 .mkN880 .nN.M2e2027 20080027 .m81kN2 .nN.M3e3027 20051027 .m53kN0 .nN.M4e4027 20030027 .m05kN1 .nN.M5e5027 20010027 .m35kN0 .n=200r/min， N1=25马力、马力、 N2=80马力、马力、N3=15马力、马力、 N4=30马力、马力、 N5=10马力马力123450.881.931.40.35mkN931 .Tmax2. 画扭矩图，找出最大扭矩。画扭矩图，找出最大扭矩。位于位于II段上段上T (kNm)Me1=0.88Me2=2.81Me3=0.53Me4=

31、1.05Me5=0.35123453. 根据强度条件设计轴的直径根据强度条件设计轴的直径 tmaxmaxWT163dWt 316 maxTd mm97820109311636. 即圆轴的直径不得小于即圆轴的直径不得小于78.9mm。 根据强度条件和刚度条件，圆轴的最小直径为根据强度条件和刚度条件，圆轴的最小直径为78.9mm，取，取79.0mm。 180pmaxmaxGIT 1803298.71082101109314336.m350/. m50/. 4. 校核其刚度：校核其刚度：3. 根据强度条件设计轴的直径根据强度条件设计轴的直径 tmaxmaxWT163dWt 316 maxTd mm97820109311636. 即圆轴的直径不得小于即圆轴的直径不得小于78.9mm。 根据强度条件和刚度条件，圆轴的最小直径为根据强度条件和刚度条件，圆轴的最小直径为78.9mm，取，取79.0mm。 180pmaxmaxGITmm472. 4. 根据刚度条件设计轴的直径根据刚度条件设计轴的直径324dIP 423361805010821011093132 . 4218032 GTdmax 例例6.已知：已知：P7.5kW, n =100r/min, 空心圆轴的内外空心圆轴的内外径之比径