chapt随机变量的分布函数

1、第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数离散型随机变量若求离散型随机变量若求得分布律，就能全面得分布律，就能全面了解它的变化规律了解它的变化规律.有些随机变量却往往需要考有些随机变量却往往需要考虑其在一个区间内取值的概虑其在一个区间内取值的概率，例如元件的使用寿命率，例如元件的使用寿命X X、农作物的产量农作物的产量Y Y等等. .21xXxP 2P Xx )(2xF)(1xFF( x )P Xx 分布函数分布函数 ).()(12xFxF 12(,Xxx如如求求随随机机变变量量落落在在区区间间内内的的概概率率如果令如果令21xXxP 则则0 xx1x21P Xx ?1212,() x

2、xxxxx 1 12 2有有P P X X显然，对于任意实数显然，对于任意实数21()()F xF x 设设X X 是一个随机变量是一个随机变量, , x 是任意实数，则称函数是任意实数，则称函数() ,FxPx X Xx 0 xXx为随机变量为随机变量X X的的分布函数分布函数. .);,(, 1)(0)1( xxF12xx 由由12,P XxP Xx 从从而而得得12()().F xF x 所所以以12XxXx 可可知知11(),F xP Xx 又又22(),F xP Xx (2) F(x)是不减函数是不减函数, , 即即: :12,xx 若若12()()F xF x 则则(3)()lim

3、( )0 xFF x ()lim( ) 1xFF x (4) F(x)是右连续的是右连续的, ,即对于任意实数即对于任意实数x ，有，有(0)()F xF x ()0F x时，事件时，事件Xx 趋向于不可能事件，概率趋向于不可能事件，概率零，零，所以所以()1F x时，事件时，事件Xx 趋向于必然事件，概率趋向于必然事件，概率 1，所，所以以如果一个函数具有上述性质，如果一个函数具有上述性质，则它可以作为某个随机变量则它可以作为某个随机变量X X 的的分布函数。也就是说，性质分布函数。也就是说，性质(1)-(1)-(4)(4)是鉴别一个函数是否可以是是鉴别一个函数是否可以是某随机变量的分布函数

4、的充分某随机变量的分布函数的充分必要条件。必要条件。133,1,1.222P XPXPX0,x 若若01,x 若若求求X的分布函数的分布函数, ,并求并求X 0 1 2p 0.3 0.6 0.1例例1 1 设随机变量设随机变量X 的分布律为的分布律为: :解解: :( )F xP Xx 0P ( )F xP Xx 0P X0.3 x o 1 2xx12,x 若若( )F xP Xx x01P XP X 0.9 P402,x 若若( )F xP Xx 012P XP XP X 1 x o 1 2x于是于是X 的分布函数为的分布函数为: :000.301( )0.91212xxF xxx )(xX

5、Px120)(xF分布函数图分布函数图分布律图分布律图0.60.30.91OOO0.60.30.1显然，显然，F( x) 是分段阶梯函数是分段阶梯函数, , X 的可的可能取值能取值 0,1,2 是它的第一类跳跃间断是它的第一类跳跃间断点点, ,跳跃度为跳跃度为 pk (k=0,1,2). .12PX 312PX 3112PXPX 12F 0.3 3(1)2FF0.90.9 0 312PX00.60.6 一般一般, ,设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为: :,1,2kkP Xxpk ( )F xP Xx 则对于任意实数则对于任意实数x, ,有有: :kkxxP Xx kkxxP 由上例可知由上例可知F( x) 是分段阶梯函数是分段阶梯函数, , 在在 X 的可能取值的可能取值 xk 处发生间断处发生间断, , 间间断点为第一类跳跃间断点断点为第一类跳跃间断点, ,在间断点在间断点处跳跃度为处跳跃度为 pk . .例例2 2 设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为: :(1)确定常数确定常数A,B.(2)求概率求概率P-1X1( )arctanF xABx ()lim(arctan )xFABx ()lim(arctan )xFABx 11:,2A