常见不等式通用解法

1、WORD格式常见不等式通用解法总结一、根底的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式根底一元二次不等式如 2x2x60 ， x22x 1 0，对于这样能够直接配方或者因式分解的根底一元二次不等式，重点关注解区间的“形状 。当二次项系数大于0，不等号为小于或小于等于号时，解区间为两根的中间。2 x2x 60的解为 (3,2)2当二次项系数大于0，不等号为大于或大于等于号时，解区间为两根的两边。x22x 10的解为 (,12) (12, )当二次项系数小于0 时，化成二次项系数大于0 的情况考虑。可化为类似一元二次不等式的不等式换元x19x，令 tx2如 323 ，原不等式就变为 t3t

2、2 0 ，再算出 t 的X围，进而算出x 的X围又如 x2ax43，令 tx2，再对 a 进展分类讨论来确定不等式的解集2含参数的一元二次不等式解法步骤总结：序号步骤首先判定二次项系数是否为0，为 0那么1化为一元一次不等式，再分类讨论二次项系数非0，将其化为正的，讨论2 判别式的正负性，从而确定不等式的解集假设可以直接看出两根，或二次式可以因3 式分解，那么无需讨论判别式，直接根据不同的参数值比较两根大小4综上，写出解集2ax 10 ，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，如不等式 x所以，讨论a 24 的正负性即可。0, R此不等式的解集为0, xR | xa20,(,

3、aa24 ) ( aa24 , )22又如不等式 x2(a2a)xa 30 ，发现其可以通过因式分解化为(x a )(x a 2 ) 0 ，所以只需要判定a 2和 a 的大小即可。a0 or a1, xR| xa此不等式的解集为 0a 1,(, a2 )( a,)a0 or a1,(, a)(a 2 , )专业资料整理WORD格式又如不等式ax22( a 1)x 4 0，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成( ax2)( x 2)0 ，然后开场判断两根2和 2 的大小关系，这样做是有问题的。a事实上， 这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数 a 是有可能为0 的。讨论

4、完a0 的情况再讨论 a 0 和 a0 的情况。所以此不等式的解集应该是：a0,(,2)a0,(2,2)aa1,(2(2,), )aa1, xR | x20a1,(,2) (2 ,)a注意， a0 和 a0 时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。二、数轴标根法又名穿针引线法解不等式这种问题的一般形式是 ( x a1 )( xa2 )( x a3 ).( xan )0 或, , 步骤：将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积注意！系数为正或二次不可约因式 二次项系数为正 。画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符

5、号写出解集。例如，求不等式 (x 1)(x 2)( x3)(x4)0 的解集，画出图如下，发现解集为(,1) (2,3)(4,)21O1234561234为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(x1)(x2)( x3)( x4)0 来说，要满足四项相乘为正，说明四项均正，解集为(4,) 两正两负，只能是( x1),( x2) 正，( x3),( x4) 负，此时解集为(2,3) 四项均负，解集为(,1) 。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。注意，这种方法要灵活使用，假设不等式为( x

6、1)2 (x 2)( x 3)( x 4) 0 ，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为(x1)2是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿。(x1)2 ( x2)( x3)( x4)0 的示意图见下。专业资料整理WORD格式0.5O0.511.522.533.544.5三、解分式不等式分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另一边为含 x 的多项式。 把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为f ( x)0或g ( x), , 的形式，此时解f ( x) g( x) 0就可以解出原不等式的解集。特别地，假设要

7、解f ( x)0 ，那么解f ( x) g( x)0即可。g (x)g (x)0例如2 x81，移项化简得x23x20 ，使用穿针引线法得到解集为x2x6x2x6 x | x2或1x2或 x3 ，一定要注意 分母不为零，而分子可以为零。例：一道比较复杂的题，求a( x 1)1(a1) 的解集，现写出此题的完整解题过程。x2解：原不等式通过移项通分可化为 (a1)x( a2)0 ，由于a1，所以可以进一步化x2(a1)(xa2)a2a10 ，两根为2 。为和x2a1当 a1时，解集为两根的两边， 显然有 a22 ，所以此时解集为 ( , a2) (2, )a1a1当 a1时，解集为两根中间，此时

8、必须根据a的取值判断两根X围。当0a1时， a22 ，此时解集为 (2, a2)a1a1当 a0时， a22 ，此时解集为a1当 a0时， a22 ，此时解集为 (a2 ,2)a1a1至此， a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就完毕了当然，如果这道题不给a1的限制条件，只需要再讨论一下a1时的解集情况即可。补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题求11的解集x专业资料整理WORD格式求 11 的解集x求 11的解集x求 11的解集x求 312的解集x解答： (0,1) ( ,0)(1,) ( 1,0)(, 1)(0,11)(,)(, )，注32意的区别四、绝对值不等式对于含有绝对值的

9、不等式，解题思想为直接脱去绝对值符号f (x)g ( x)g ( x)f (x)g( x) ， f ( x)g ( x)f ( x)g (x)或 f ( x)g ( x)构造函数，数形结合在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论分类讨论思想随处可见平方法不等式两边都是非负时才能用，慎用例：图形法某经典问题，解不等式1a ，先画出 f ( x) 111的图像如下，然后分xx类讨论 a 的取值，通过观察 y f (x) 和y a的图像，来确定不等式的解集情况。4.543.5专业资料整理WORD格式1f(x) =1xg(x ) = 132.521.510.5专业资料整理WORD格式654

10、3211234560.511.52当 a0时， yf ( x) 的图像在ya 的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解当 a1时， yf ( x) 的图像与y1，此时的解集为1a 的图像交点为( ,1)( , )22当 0a1 时，y f (x)的图像与y a 的图像交点横坐标为11，此时解集为1,a 1 a(11),1a 1a专业资料整理WORD格式当 a1时， yf ( x) 的图像与ya 的图像交点横坐标为1 ,1，此时解集为1a 1a(1),(1,),a11a当然此题使用f (x) g ( x)g (x)f ( x) g ( x) 也可以做， 化成a 11a ，只是在x讨论的时

11、候需要细心，考虑到a 的所有取值。绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧例如 x1x2 5 ，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论当 x1时，原不等式化为 2x15，解得 x2当2x1时，原不等式化为35，显然无解当 x2时，原不等式化为12x5，解得 x 3综上，原不等式的解集为三种情况下的并集注意，为什么是并集而不是交集？，(, 32,)技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将 x 1看成数轴上点 x 到点 1 的距离， 将 x 2看成 x 到-2的距离，假设画出数轴，发现位于区间2,1 的点绿色点到区间端点的距离之和为 3，位于区间 2,1 之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之和为5，所以令 x 继续远离区间 2,1 ，发现距离之和大于5。2-21也就是说 x1x 2 的取值X围是 3,同理，遇到减号的情况，例如x 3x1 ，发现其取值X围是4,4此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的X围。例 1：假设存在实数x 使得不等式 x 1 xa 1 成立，那么 a 的取值X围是？答案 2,0 例 2：不等式 x2 x 1 2 的解集是？答案 (,1 2五、无理不等式无理不等式能出的考题较少，主要是要