连续系统的时域分析

1、第二章第二章 LTILTI连续系统的时域分析连续系统的时域分析 21 系统的微分算子方程与传输算系统的微分算子方程与传输算子子一、微分算子、积分算子与微分算子方程一、微分算子、积分算子与微分算子方程:引入如下算子：引入如下算子： 微分算子微分算子: tp dd 积分算子积分算子: tpp 1 d) (1 )()(dd)( tfptfttf 则：则：)()(dd)( )(tfptfttfnnnn )()(1d )(1 tfptfpft 对于微分方程对于微分方程 )(4d)(d)(6d)(d5d)(d 22tfttftyttytty 算子形式算子形式)(4)()(6)(5)( 2tftfptyty

2、ptyp 微分算子方程：微分算子方程： )() 4()() 65(2tfptypp 它是微分方程的一种表示，含义是在等式两边它是微分方程的一种表示，含义是在等式两边分别分别对变量对变量y(t)和和f(t)进行相应的微分运算进行相应的微分运算。形式上。形式上是代数方程的表示方法。可用来在时域中建立与是代数方程的表示方法。可用来在时域中建立与变换域变换域相一致的分析方法。相一致的分析方法。微分算子的运算性质：微分算子的运算性质：性质性质1 1 以以p的正幂多项式出现的运算式，在形式的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。)

3、()4()()3)(2(tfptypp 性质性质2 2 设设A(p)和和B(p)是是p的正幂多项式，则的正幂多项式，则 )()()()()()(tfpApBtfpBpA 如：如：)()4()()2)(3(tfptypp 性质性质3 3 微分算子方程等号两边微分算子方程等号两边p的公因式不能的公因式不能 随便消去随便消去。 例如：例如：p y(t)= p f(t) y(t)= f(t)+c( (c为常数为常数) ) y(t)= f(t) 性质性质4 4 设设A(p)、B(p) 和和D(p)都是都是p的正幂多项式的正幂多项式)()()()()()()()(tfpBpAtfpBpDpApD )()(

4、)()()()()()(tfpBpAtfpDpBpDpA 但是但是 ：)(d)(dd)(1 tffttfppt )()()(d)(dd)(1 tfftfftfppt 例如：例如： 函数乘、除算子函数乘、除算子p的顺序不能随意颠倒，的顺序不能随意颠倒，对函对函数进行数进行“先除后乘先除后乘”算子算子p的运算的运算时，分式的分时，分式的分子与分母中子与分母中公共公共p算子算子( (或或p算式算式) )才允许消去才允许消去。二、二、LTILTI连续系统的算子方程与系统的传输算子连续系统的算子方程与系统的传输算子 电路元件伏安关系电路元件伏安关系( (VAR) )的微分算子形式称为的微分算子形式称为

5、算子模型算子模型，电压、电流比为，电压、电流比为算子感抗算子感抗和和算子容抗算子容抗 元件名称 电路符号 ui关系(VAR) VAR的算子形式 算子模型 电阻 电感 电容 电路元件的算子模型电路元件的算子模型 i(t) R)(tui(t) R)(tui(t)L)(tu)(tui(t)1/pC)(tui(t)Ci(t)pL)(tuttiLtu d)(d)( tdiCtu )(1)( )(1)(tipCtu )( )(tiRtu )( )(tiRtu )( )(tipLtu 电路系统微分算子方程的建立方法电路系统微分算子方程的建立方法: : LpL;C 1/pC画出算子模型，按照电路理论画出算子模

6、型，按照电路理论中的列写方程方法列写。中的列写方程方法列写。例例1 1：电路如图电路如图( (a) )所示，激励为所示，激励为f(t)，响应为，响应为i2(t)。试列写其微分算子方程。试列写其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+ +f(t)- -i15 1 3pi22p4p(b)i1i2解：解：画出其画出其算子模型电路算子模型电路如如图图( (b) )所示。由所示。由回路回路法法可列出方程为可列出方程为 ： 0)()5431()(31)()(31)()3121(2121tipptiptftiptipp 化简微分方程组化简微分方程组时要时要考察电路的阶数考察电路的阶数以便

7、确定以便确定公共因子是否可消去。公共因子是否可消去。化简后化简后所求微分算子方程为：所求微分算子方程为： )()() 27148( 3223tftippp 对于激励为对于激励为f(t)，响应为，响应为y(t)的的n阶阶LTI连续系统，连续系统，其微分算子方程为：其微分算子方程为：)()()()(01110111tfbpbpbpbtyapapapmmmmnnn 将其在形式改写为将其在形式改写为)()()()(01110111tfpHtfapapapbpbpbpbtynnnmmmm )()()()()( 01110111pDpNapapapbpbpbpbtftypHnnnmmmm 式中：式中： 它

8、代表了系统将激励转变为响应的作用，或它代表了系统将激励转变为响应的作用，或系统对输入的传输作用，故将系统对输入的传输作用，故将H(p)称为称为响应响应y y( (t t) )对激励对激励f f( (t t) )的传输算子的传输算子或或系统的传输算子系统的传输算子 系统传输算子与系统微分算子方程是对系统系统传输算子与系统微分算子方程是对系统的等价表示。它们之间可以可以转化。的等价表示。它们之间可以可以转化。22 LTI22 LTI连续系统的零输入响连续系统的零输入响应应 LTILTI的全响应可作如下分解：的全响应可作如下分解： y(t) = 零输入响应零输入响应yx(t) + 零状态响应零状态响

9、应yf (t) 一、系统初始条件一、系统初始条件 (2)(2) 求系统的求系统的0 0-状态值状态值uC(0-)、iL(0-)；(3) (3) 由换路定律得到由换路定律得到uC(0+)、iL(0+)，结合系统，结合系统0+瞬时的等效电路求得电路的各个电气量的瞬时的等效电路求得电路的各个电气量的初初始值。始值。(1) (1) 若所给电路结构和参数在换路前后不发若所给电路结构和参数在换路前后不发生变化生变化( (即没有开关时即没有开关时) )，则，则由系统的由系统的0-状态状态值与值与0-瞬时的零输入系统求得瞬时的零输入系统求得初始条件初始条件yx(j )(0-), , j=0, 1, 2, ,

10、n-1，否则由，否则由(2)(3)两步进行求解。两步进行求解。二、通过系统微分算子方程求零输入响应二、通过系统微分算子方程求零输入响应零输入下零输入下LTI连续系统的微分算子方程为连续系统的微分算子方程为:1110 x()( )0,0nnnpapa p a y tt要使上式成立，需满足要使上式成立，需满足D(p)=0（特征方程）（特征方程） 针对针对特征根特征根两种情况来求两种情况来求yx(t) 1特征根为特征根为n个单根个单根p1 , p2 , , pn ( (可为实根、虚可为实根、虚根或复根根或复根) ) 0 , eee)( 2121x tAAAtytptptpnn 将将yx(0-)、yx

11、 (0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，确定代入上式，确定积分常数积分常数A1、A2、An 。 共轭复根时欧拉公式共轭复根时欧拉公式cos t = 0.5(ej t + e j t )及及sin t = j0.5(e j t ej t )化简为三角化简为三角实函数实函数 2 2特征根含有重根特征根含有重根 设特征根设特征根p1为为r重根，其余特征根为单根，重根，其余特征根为单根，, , , , 2 1nrrppp 则则yx(t)的通解表达式为：的通解表达式为：0 ,ee )()( 1111 2321x tAAetAtAtAAtytptptpnrnrrr确定积分常数的方法同前。确定积分常数的

12、方法同前。 3求解零输入响应求解零输入响应yx(t)的基本步骤：的基本步骤： ( (1) )通过微分算子方程得通过微分算子方程得D(p)求系统的特征根求系统的特征根; ; ( (2) )写出写出yx(t)的通解表达式的通解表达式; ; ( (3) )由系统的由系统的0-状态值与状态值与0-瞬时的零输入系统求得瞬时的零输入系统求得初始条件初始条件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。( (4) ) 将将0-初始条件代入初始条件代入yx(t)的通解表达式的通解表达式, ,求得积分求得积分常数常数A1, A2, , An 。( (5) ) 写出所得的解写出所得的解yx(t)，画出

13、，画出yx(t)的波形。的波形。 例例2 电路如图电路如图( (a) )所示，已知所示，已知uC (0-) = 1V，iL(0-) = -1A，求，求t0时的零输入响应时的零输入响应uCx(t)。1H12F CuCi 21R 42RLi CuCi 2 4LiP2P1解解 (1)画出算子模型电路画出算子模型电路, ,由节点法列出方程为由节点法列出方程为 0)()41212( tuPPcxuC x (t), V0t, s4130.5 1化简可得化简可得 :0)()65(x2 tuppC解得特征根解得特征根: : p1=-2，p2=-3 0 ,ee)( 32 21x tAAtuttCV1A124(2

14、)0-瞬时的等效电路瞬时的等效电路 sV1)0(1)0(21)1(21)0(x x x CCCiCui 343211212121AAAAAA代入初始条件代入初始条件. 0 ,V34)( 3 2x teetuttC23 LTI23 LTI连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 一、一、零状态响应零状态响应 零状态LTI连续系统H(p)(tf)(tyf)()()()()()(tfpDpNtfpHtyf )( )()()()(非非齐齐次次微微分分方方程程tfpNtypDf 非齐次微分方程的解由通解和特解组成，非齐次微分方程的解由通解和特解组成，f(t)的的形式简单（直流、交流）特解还易确定，如形式

15、形式简单（直流、交流）特解还易确定，如形式复杂，则特解很难确定。一般情况下复杂，则特解很难确定。一般情况下零状态响应零状态响应可通过将可通过将f(t)分解为更为简单的单元信号分解为更为简单的单元信号，将各，将各单元激励下的响应进行叠加单元激励下的响应进行叠加来求解。来求解。信号的时域分解：信号的时域分解：230t)(tf将将f(t)分解为无穷多个宽度为分解为无穷多个宽度为 的矩形脉冲信的矩形脉冲信号之和号之和fa(t) )1()()()3()2()2()2()()()()()0()( ntntnfttfttfttftfa) 1()( )()(0 ntntnftfnna ) 1()()()(0n

16、tntnftfnna dtftdftftfa)()( )()()()(000lim 任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的冲激强度为该时刻函数值的冲激信号之和冲激强度为该时刻函数值的冲激信号之和 dtftf)()()(0 零状态响应的求解过程零状态响应的求解过程零状态零状态LTI)(t )(th零状态零状态LTI)( t)( th零状态零状态LTI)()( tf)()( thf零状态零状态LTI dtftf)()()( dthftyf)()()( 冲激响应冲激响应时不变性时不变性齐次性齐次性叠加性叠加性 由上述过程可看出由上述过程可看出求解零状态响应求解零

17、状态响应可通过下列可通过下列两步完成：两步完成：（1）求单位冲激响应）求单位冲激响应h(t)（2）求）求 dthf)()( 卷积积分卷积积分二、冲激响应h(t)h(t)定义定义： 零状态LTI H(p)(t )(th)()()()()()()(01110111tapapapbpbpbpbtpDpNtpHthnnnmmmm 通过多项式的长除法，通过多项式的长除法，H H( (p p) )可以化为某个可以化为某个多项多项式与一个有理真分式之和。式与一个有理真分式之和。 233)22(2379972)(222234 ppppppppppppH 据据D D( (p p) )的根的不同有理真分式的根的不

18、同有理真分式H(p)可展开为不可展开为不同的部分分式同的部分分式 1当当D D( (p p) ) 有有n个单特征根个单特征根p1 , p2 , , pn ( (可为实可为实根、虚根或复根根、虚根或复根) ) )()()()()()(21npppppppNpDpNpH nnjjppKppKppKppK 2211njpHppKjppjj , , 2 , 1 , )()( )()()()()(2211tppKtppKtppKtppKthnnjj ),()(tppKthjjj 令第令第j项为项为 )()()(tKthppjjj )()()(tKthpdttdhjjjj （一阶微分方程）（一阶微分方程）

19、)()()(tKeethpedttdhjtptpjjtpjjjj )()(tKethdtdjtpjj tjttpjtKethdtdj 0 0 )()( )()(0tKethjttpjj )()0()(tKhethjjtpjj )()( , 0)0()0(teKthehtpjjpjjj 冲激响应h(t)为为)(e)(e)(e)( 2 121tKtKtKthtpntptpn 2当当D D( (p p) )特征根有重根时：特征根有重根时：设设p1为为r重根，其余重根，其余(n-r)个为单根个为单根pj( (j=r+1, r+2, , n) )，则有理真分式，则有理真分式H(p)可展开为：可展开为：)

20、()()()()()()(11nrrpppppppNpDpNpH nnrrrrrppKppKppKppKppK 11111112111)()(1)()(111pppHppKr 1)()(dd112 pppHpppKr 1)()(dd)!1(11) 1() 1(1 pppHpppmKrmmm 重根相关的部分分式项的冲激响应重根相关的部分分式项的冲激响应 rjttjKthtpjjrrj , , 2 , 1 , )(e)!1()( 11)1(11 3 3、H H( (p p) )为某个关于为某个关于p pj j多项式时：多项式时：rjtpkthjrjj , , 2 , 1 , )()(1 rjtkt

21、hjrjj , , 2 , 1 , )()()(1 求解单位冲激的步骤：求解单位冲激的步骤：（1）据算子微分方程求出转移算子）据算子微分方程求出转移算子H(p)（2）长除法化为长除法化为多项式与有理真分式之和。多项式与有理真分式之和。（3 3）有理真分式）有理真分式部分分式展开；部分分式展开；（4）据）据D(p)根的不同根的不同确定确定分式中的分式中的系数；系数；（5）对照不同情况写出单位冲激响应。表）对照不同情况写出单位冲激响应。表2-2233)22(2379972)() 1 (222234 ppppppppppppH例：求系统的单位冲激响应：例：求系统的单位冲激响应：211222)()2(

22、2 pppppH)()ee2()(2)()(2)()3(2ttttthtt 注：当注：当D(p)有有共轭复共轭复数数根根时：时：j|j|)(11 pKpKpH)()cos(e|2)( 1ttKtht 三三 卷积积分卷积积分 (*) )()()( dthfty (1)将将f(t),h(t)的自变量的自变量t换为换为 ， f( ),h( )波形不变；波形不变；(2)将将h( )折叠，得到折叠，得到h(- )；(3)将将h(- )沿沿 轴平移轴平移t， t为为参变量，参变量，h(t- ), t 0右右移，移， t 0左移；左移；(4)将将f( ) 与与h(t- ) 相乘得到相乘得到f( ) h(t-

23、 ) ；(5)将将f( ) h(t- ) 在区间（在区间（- ，+ ）上积分得到）上积分得到(*)。(*) )()()()()(2121 dtfftftfty 定义定义:t-2tf2(t- )0212f1(t)f2(t)f1( )卷积积分上下限的确定是关键，讨论如下：卷积积分上下限的确定是关键，讨论如下：(1)若若f(t),h(t) 都为因果信号都为因果信号积分上下限积分上下限为为(0 , t) 0( )( )( )( ) () (*)ty tf th tfh td (2)若若f(t) 为因果信号为因果信号,h(t) 为无时限信号为无时限信号,积分上下积分上下限限为为(0 , )(*) )()

24、()()()( 0 dthfthtfty (3)若若f(t) 为无时限信号为无时限信号,h(t) 为因果信号为因果信号,积分上下积分上下限限为为(- , t)(*) )()()()()( dthfthtftyt (4)若若f(t), h(t)都为时限信号则都为时限信号则卷积后仍为时限信卷积后仍为时限信号，其号，其左边界为原两左边界之和，右边界为原两左边界为原两左边界之和，右边界为原两右边界之和右边界之和 例例3 3：求图示求图示f1(t)， f2(t)的的卷积卷积 f2( ) 02-2f2(t )02t-2tf1( ) f2(t- )02t-2t1(t0)021)(1tft022)(2tft)

25、(1 f )(2 f (1) t0时时, f1( ) f2(t- )=00)()(21 dtff)1()( 2)(1 f)()2()(2 f)()2()()(2ttttf (2) 0t1时时f1() f2(t-)02t-2t1(1t2)t1f1() f2(t-)02t-2t(2t3)t-1f1() f2(t-)02t-2t1(0t1)t20200212)(2)()(ttdtdtffttt (3) 1t2时时122)(2)()(102101021 ttdtdtff (4) 2t3时时1f1( ) f2(t- )02t-2t(t3)0)()(21 dtff . 3 , 0; 32 ),3)(1(;

26、 21 , 12; 10 ,; 0 , 0)()()(221ttttttttttftfty（1 1）卷积的运算规律）卷积的运算规律 据卷积的定义和积分的性质，可推知卷积有如据卷积的定义和积分的性质，可推知卷积有如下的运算规律下的运算规律 :1 1交换律交换律: : )()()()(1221tftftftf* 2 2分配律分配律: : )()()()()()()(3121321tftftftftftftf* 012313y(t)t3 3结合律结合律 )()()()()()()()()(231321321tftftftftftftftftf* （2）卷积的主要性质）卷积的主要性质1 1f( (t

27、t) )与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积(1)(1) f(t)* *(t)=f(t),即即f(t)与与(t)卷积等于卷积等于f(t)本本身身 (2)(2) f(t)* *(t)=f(t) ,即即f(t)与与(t)卷积等于卷积等于f(t)导数。导数。 (3)(3)()()()(1 fdfttft2 2卷积的微分和积分：卷积的微分和积分：(1)(1) 积分积分 f1(t)* *f2(t) -1 = f1-1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2-1(t) (3)(3) 微分微分- -积分积分: :f1(t)* *f2(t)=f1(t)* *f2-1(t)=f1-1(t)* *f2(t)则则

28、(2)(2) 微分微分 f1(t)* *f2(t) = f1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2(t) 0)( ; 0)(21ff若若f1(t)，f2(t)左收敛左收敛，3 3卷积时移：卷积时移：设设f1(t)* *f2(t)=y(t)，则：，则： f1(t)* *f2(t-t0)=f1(t-t0)* *f2(t)=y(t-t0) f1(t-t1)* *f2(t-t2)=y(t-t1-t2); 推论：推论：f(t-t1)* *(t-t2)=f(t-t1-t2) (t-t1)* *(t-t2)=(t-t1-t2); 利用卷积性质求解较复杂的卷积利用卷积性质求解较复杂的卷积 （表表2-3

29、）)()()()(212121tttrtttttttt 例例7:例例3已知已知:)1()( 2)(1 tttf )2()()(2 ttttf )2()1(2)()1(2- )2()(2)()(2)()(21 tttttttttttttftf 解：解：)3(2)1(2- )2(2)(2)()(1 21 0 2 021 tdtdtdtdtftftttt 卷积时的卷积时的 (t)的存在只是确定被积信号的起始位的存在只是确定被积信号的起始位置，卷积结果要考虑起始位置置，卷积结果要考虑起始位置,即加即加 (上限上限-下限下限)3()32()1()12(- )2()4()(2222 tttttttttt

30、012313y(t)t)3()2()32( )2()1()12()1()(22 tttttttttt )3(212)1(212- )2(212)(212121022202 tttttttt 若若f1(t)，f2(t)左收敛，左收敛，将被卷积的一个信号尽将被卷积的一个信号尽量化为量化为冲激信号以及其延时冲激信号以及其延时，可使计算简化。，可使计算简化。)2()()1(2)(2)()( )()(12121 ddtttftftftftt )2()221()(21)1(2)(2 22 tttttt 2222 ( ) (4) (2)(1)(1) (1)4 (3)tttttttt 例例8 8 试计算常数试

31、计算常数K K与信号与信号f( (t t) )的卷积积分的卷积积分 解解 直接按卷积定义，可得直接按卷积定义，可得 ：)( )()()( 下下的的净净面面积积tfKKdfKtftfK 用微分用微分- -积分性质来求解将积分性质来求解将导致错误结果导致错误结果 0)(dd)( tdfKttfK 常数常数K 不收敛不收敛且任意信号且任意信号f(t)也并非一定也并非一定收敛。收敛。 例例9 9 已知某系统的冲激响应已知某系统的冲激响应h(t)=sint (t)，激，激励励f(t)的波形如图所示，试求系统的零状态响的波形如图所示，试求系统的零状态响应应yf(t)。可用微分可用微分- -积分性来求积分性

32、来求)()cos1 (sin)( 01ttdtht 解：解： 系统的零状态响应求解系统的零状态响应求解f(t)0t242)()sin()cos1()( 02tttdtht )4()2(2)()( ttttf)4()2(2)()( ttttf)4()4sin()4( )2()2sin()2(2)()sin( )4()2(2)()()sin( )()( )()( )()()(21 ttttttttttttttttfthtfthtfthty*f”(t)0t24（1）（2）（1）+-f(t)i(t)uc(t)+-p1/p例例10:图示电路图示电路,激励激励求求:零状态响应零状态响应uc(t)6()()

33、( tttf)(11)(11)(2tfptfppptuc 解：解：列方程列方程+-f(t)i(t)uc(t)+-1H1F11)()()(2 ptftupHc)()sin()(ttth )()sin(*)6()( )(*)()(ttttthtftuc ttdttdtt0sin*)6()()(sin*)6()( )6()6cos(1 )()cos1( tttt图示电路，其输入电压图示电路，其输入电压us(t)波形如图波形如图示，试用卷积积分法求零状态响应示，试用卷积积分法求零状态响应uc(t)0.1M 10F+u uc c( (t t) )-+ +u us s( (t t) )-11)()()(

34、ptutupHsc)()(tetht 解：解：u us( (t t)(V)(V) )t t( (s s) )32101)(*)()(thtutusc tscdthutu )()()(u us( (t t)(V)(V) )t t( (s s) )32101 h( )h( )h( t)1h3210t t10 ttttcetdetu 1)(0)( 32101t t)( Su)( th 32101t t)( Su)( th31 t)1(1)(10)(1 1)( tttttceededetu 32101t t)( Su)( th3 t)1()3(31)(10)( 1)( tttttceeededetu

35、331100110)() 1()3() 1( tttteeeeeettuttttttc)3(1 )1(2)()1( )3()()3()1()1( )1()()1()()3()1()1()3()1( tetettetteeetteettettutttttttttc )(*)3()1()1()()(tettttttutc detttttdtdt)(* )3()1()1()( )()1 (* )3() 1() 1()() 1()(tettttttttt )()1(*)3()1()(tetttt )3(1 )()1(*)1()()3( tetetttt 解法解法2、利用卷积的性质、利用卷积的性质)3(

36、1 )()1(*)1()()3( tedettdtdtt )3(1 )1(*)1()()3( teettttt )3(1 )1(11)()1()3()1( tetettetttt )3(1 )1(2)()1()3()1( tetettetttt 四、系统全响应的求解方法：四、系统全响应的求解方法：（1）求单位冲激响应）求单位冲激响应h(t)（2）求卷积积分）求卷积积分 dthf)()( （3 3）求零输入响应）求零输入响应yX (t) 零状态响应零状态响应yf (t)（4）全响应：）全响应：)()()(xtytytyf 例例11 图示电路已知图示电路已知i1(0-) = i2(0-) =1A， f1(t) = t (t)，f2(t) = (t) - (t-1)，求全响应，求全响应y(t) 。1 i1(t)+ +f1(t)- -+ +f2(t)- -1 1 + +y(t)- -i2(t)1H1H解：解：1)先求系统的传输算子及冲激响应