分布函数的估计与检验

1、西南交通大学1西南交通大学西南交通大学 李裕奇李裕奇西南交通大学2一一 经验分布函数经验分布函数二二 分布拟合检验分布拟合检验西南交通大学3一一 经验分布函数经验分布函数 经验分布函数是总体分布函数最为经验分布函数是总体分布函数最为直观、方便实用的估计直观、方便实用的估计定义定义1.1 设设X为一随机变量，其分布函数为一随机变量，其分布函数F(x)未知，现对未知，现对X进行进行n次观测，记次观测，记 #12( ),nnvxXXXx 称为经验分布函数称为经验分布函数( )( )nnvxFxxn 西南交通大学4性质性质1.1 对于每一样本对于每一样本XI,X2, Xn，Fn(x)是一是一分布函数，

2、且为阶梯函数。分布函数，且为阶梯函数。(1)( )(1)( )0( )/1nkknxXFxk n XxXxX 西南交通大学5例例1.1 对某一总体进行了对某一总体进行了17次独立观测，得次独立观测，得到以下数据：到以下数据：2.572.312.121.922.752.712.602.512.502.412.222.312.252.202.192.152.00试写出试写出X的经验分布函数。的经验分布函数。西南交通大学6性质性质1.2 对于固定的对于固定的x，vn(x)=nFn(x) ，Fn(x) 是样本是样本XI,X2, Xn ，为随机变量，且，为随机变量，且vn(x)服服从参数为从参数为n，F

3、(x)的二项分布。的二项分布。( )( )nE vxnF x ( )( )nE FxF x 1( )( )1( )nD FxF xF xn西南交通大学7性质性质1.3 对于固定的对于固定的x，任意的正数，任意的正数，有，有lim|( )( )|1nnPFxF x lim|( )( )|0nnPFxF x 所以所以,当当n足够大时足够大时, 可用经验分布函数可用经验分布函数估计总体的理论分布函数估计总体的理论分布函数:( )( )nF xFx 西南交通大学8例例1.2 对某一总体进行了对某一总体进行了17次独立观测，得次独立观测，得到以下数据：到以下数据：2.572.312.121.922.75

4、2.712.602.512.502.412.222.312.252.202.192.152.00试估计概率试估计概率:22.5PX2.5P X 西南交通大学9解解: 将数据从小到大排列为将数据从小到大排列为:1.921.922 22.122.122.152.152.192.192.22.22.222.222.252.252.312.312.312.312.412.412.52.52.512.512.572.572.62.62.712.712.752.75112922.5(2.5)(2)171717nnPXFF 1162.51(2.5)11717nP XF 西南交通大学10Glivenko 定理

5、定理:对任意的对任意的x , 有下式成立有下式成立: lim01nnPD 其中其中:sup( )( )nnxDFxF x 进一步结果进一步结果:西南交通大学11Kolmogonov 定理定理 设总体分布函数为设总体分布函数为F(x)连续连续,经验分布经验分布函数为函数为Fn(x), 则统计量则统计量 的极限分布函的极限分布函数为数为Kolmogonov 分布函数分布函数:nnD lim( )nnPnDxK x 其中其中sup( )( )nnyDFyF y 2 22( 1)0( )00kk xkexK xx 西南交通大学12二二 分布拟合检验分布拟合检验分布检验假设分布检验假设:0010:( )

6、( );:( )( )HF xFxHF xFx 分布拟合检验方法分布拟合检验方法是检验试验结果与理论是检验试验结果与理论分布是否吻合分布是否吻合,是否一致的方法是否一致的方法,:如如概率纸拟合法概率纸拟合法,卡方拟合检验法卡方拟合检验法, Kolmogonov 分布检验方法等分布检验方法等西南交通大学131 卡方拟合检验法卡方拟合检验法基本思想基本思想:1) 首先把首先把X的一切可能值的集合的一切可能值的集合A进行划进行划分分,使其满足使其满足:11,2,kiijiAAA Aijk 2) 再统计出总体的观测值出现在各个再统计出总体的观测值出现在各个Ai中的实际频数中的实际频数ni, 西南交通大

7、学143) 在在H0真时真时,分别计算观测值落入分别计算观测值落入Ai的理的理论期望频数的估计值论期望频数的估计值: 0|iiiEnpP XAH 真真4) 当当H0真时真时,理论期望频数理论期望频数Ei与实际频数与实际频数ni应相差无多应相差无多,故由故由Pirson与与Fisher定理给定理给出的卡方分布确定出的卡方分布确定H0的拒绝域。的拒绝域。西南交通大学15Pirson-Fisher定理：定理：若若n充分大时，充分大时，H0成立条件下，有成立条件下，有2221()(1)kiiniinnpkrnp 其中其中r是被估计的参数的个数。是被估计的参数的个数。西南交通大学16卡方拟合检验法步骤：

8、卡方拟合检验法步骤：1）提出分布假设）提出分布假设:0010:( )( );:( )( )HF xFxHF xFx 2）显著性水平？样本容量？）显著性水平？样本容量？3）H0的拒绝域：的拒绝域：22(1)kr 4）判断：列出卡方检验计算表，得出卡方）判断：列出卡方检验计算表，得出卡方值，并与临界值比较得结论值，并与临界值比较得结论西南交通大学17nipinpini- npi(ni- npi)2/ npiA1A2Ak合计n1n02 检验计算表检验计算表2 西南交通大学18例例1.3 在使用仪器进行测量时在使用仪器进行测量时,最后一位数字最后一位数字是按仪器的最小刻度用肉眼估计的是按仪器的最小刻度

9、用肉眼估计的,下表记录下表记录了了200个测量数据中个测量数据中0,1,2,9等等10个数字出个数字出现在最后一位的次数现在最后一位的次数,试问在估计最后一位数试问在估计最后一位数字时有无系统误差字时有无系统误差?X0123456789ni35161517171911163024西南交通大学19解：解：1）提出分布假设）提出分布假设:2）显著性水平为）显著性水平为0.01 , 样本容量为样本容量为2003）H0的拒绝域：的拒绝域：220.01(9)21.67 H0: 无系统误差无系统误差; H1:有系统误差有系统误差分类数分类数k=10, r=0, k-r-1=9H0真真, 即总体即总体X均匀

10、取值均匀取值, 其取值的概率应为其取值的概率应为 0.1P Xi 西南交通大学204）判断：列出卡方检验计算表）判断：列出卡方检验计算表:nipinpini- npi(ni- npi)2/ npiA1350.1201511.25A2160.120-40.8A3150.120-51.25A4170.120-30.45A5170.120-30.45A6190.120-10.05A7110.120-94.05A8160.120-40.8A9300.120105.0A10240.12040.8合计2001200024.90西南交通大学21210220.011(20)24.9(9)21.6720inin

11、 所以所以, 应拒绝应拒绝H0, 认为在估计最后一位数字认为在估计最后一位数字时有明显的系统误差。时有明显的系统误差。西南交通大学22例例1.5 在测量了在测量了12000个豆粒的厚度，测量结个豆粒的厚度，测量结果按大小分为果按大小分为16个组分别记数，如果如下表：个组分别记数，如果如下表：区间10.5频数2211105732计算出平均值计算出平均值8.512,标准差标准差0.6163, 试问可否认试问可否认为豆粒厚度的分布为正态的为豆粒厚度的分布为正态的(显著性水平显著性水平0.001)西南交通大学23解：解：1）提出分布假设）提出分布假设:H0:豆粒厚度服从正态分布豆粒厚度服从正态分布;

12、H1:豆粒厚度不服从正态分布豆粒厚度不服从正态分布H0真真, 取值的概率估计值应为取值的概率估计值应为22()21( )2xxsf xes 2）显著性水平为）显著性水平为0.01 , 样本容量为样本容量为12000分类数分类数k=16, r=2, k-r-1=13西南交通大学243）H0的拒绝域：的拒绝域：220.001(13)34.53 4) 列出卡方检验计算表列出卡方检验计算表 ( P123)按概率分布计算相应的概率值按概率分布计算相应的概率值: 11iiiiiaxaxpP aXass 17 8.51272.450.6163pPX 12.4510.99290.0071 西南交通大学252

13、Kolmogonov检验法检验法基本思想基本思想: 利用服从利用服从Kolmogonov分布函数的统计分布函数的统计量进行分布检验量进行分布检验sup( )( ) ( )nnynDnFyF yK x 2 22( 1)0( )00kk xkexK xx 其中其中西南交通大学26Kolmogonov检验法步骤：检验法步骤：1）提出分布假设）提出分布假设:0010:( )( );:( )( )HF xFxHF xFx 3）H0的拒绝域：的拒绝域：,nnDD 4）判断：列出）判断：列出K氏检验计算表，计算氏检验计算表，计算Dn值值,并与临界值比较得结论并与临界值比较得结论2）显著性水平？样本容量？）显

14、著性水平？样本容量？,/nDkn 西南交通大学27计算计算Dn值时值时,可采用下式可采用下式:sup( )( ) ( )nnyDFyF yK x ( )0( )(1)0( )1max()() ,()()nkknkkk nFxFxFxFx 其中其中( )()nkFx为次序统计量的经验分布函为次序统计量的经验分布函数值数值 (1)(2)1max,kkk ndd 西南交通大学28注意注意:d的值由数据的顺序统计值计算的值由数据的顺序统计值计算,即即先由得到数据按从小到大顺序排列为先由得到数据按从小到大顺序排列为(1)(2)( )nxxx 再计算再计算d的值的值(1)( )0( )()()knkkdF

15、xF x(2)(1)0( )()()knkkdF xF x 西南交通大学29例例1.6 从某张随机数表中随机地抽得从某张随机数表中随机地抽得20个数个数据如下：据如下：试在显著性水平试在显著性水平0.05下下,是否可认为该张随机是否可认为该张随机表中的数服从区间表中的数服从区间(0,1)上的均匀分布上的均匀分布?0.540.810.710.210.310.400.460.170.620.630.990.870.140.120.640.510.680.500.600.78见见P124西南交通大学30例例1.7 某工厂生产一种某工厂生产一种220伏伏25瓦的白炽灯瓦的白炽灯泡泡,其光通量用其光通量用X表示表示,X为一随机变量为一随机