2022年《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -必修二公式大全高中数学必修 2 学问点总结第一章空间几何体公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；三个推论：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面1.1 柱、锥、台、球的结构特点1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图： 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据；公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线） ；正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原就：符号语言：

2、P,且PIl , Pl ；长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（1）. 平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）. 平行于 y 轴的线长度变半，平行于x， z 轴的线长度不变；（3）. 画法要公理 4：（平行线的传递性）平行与同始终线的两条直线相互平行；符号语言： a / l,且b / la / b ；（2）空间中直线与直线之间的位置关系1. 概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；写好；5 用斜二测画法画出长方体的步骤： （1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图已知两条异面直线a, b ，经过空间任意一点O作直线a / a, b

3、/ b ，我们把1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积S2 rl2 r 2a 与 b 所成的角（或直角）叫异面直线范畴 090 ）a ,b 所成的夹角；（易知：夹角3 圆锥的表面积 Srl2r4圆台的表面积 Srlr 2RlR2定理： 空间中假如一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（留意：会画两个角互补的图形）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;5 球的表面积 S4 R 22. 位置关系：共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;（二）空间几何体的体积异面直线：不同在任何一个平面内，没有

4、公共点1 柱体的体积VS底hV12 锥体的体积1SVh底343（ 3） 空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：3 台体的体积（ S上3S上 S下S下 h4球体的体积VR3直线在平面内（l）有很多个公共点其次章空间中点、直线、平面之间的位置关系学问点总结1. 内容归纳总结（1）四个公理直线在平面外直线与平面相交（直线与平面平行（l Il / /A）有且只有一个公共点）没有公共点公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；（ 4） 空间中平面与平面之间的位置关系两个平面平行（/ /）没有公共点符号语言： Al , Bl ,且A, Bl；平面与平面之间的位

5、置关系有两种：两个平面相交（Il）有一条公共直线1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -必修二公式大全直线、平面平行的判定及其性质1. 内容归纳总结（ 1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线、平面平垂直的判定及其性质1. 内容归纳总结（一）基本概念1. 直线与平面垂直： 假如直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面 内的一条直线平行，就该直 线与此平面平行a

6、,ba /,且a / b在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行；即将“空间问题”转化为“平面问题”垂直，记作 l；直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l 的垂面；直线与平面的公共点 P 叫做垂足；2. 直线与平面所成的角：平面与平面一个平面内的两条相交直a, b,判定的关键： 在一个已知平面内 “找出”两条相交直线与另一平面平行；即将角的取值范畴：090 ；平行的判定直线与平面平行的性质线与另一个平面平行，就这 两个平面平行一条直线与一个平面平行， 就过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线a IbP, a /,b /a /, a,Ib a / b“面面平行

7、问题”转化为“线面平行问题”3. 二面角：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；二面角的记法：二面角的取值范畴：0两个平面垂直：直二面角；（二）四个定理平面与平面平行假如两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们/,Ia,定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法平行的性质的交线平行Iba / b直 线 与平面一条直线与一个平面内的两条相交直线垂m、n, mInP,在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定垂 直 的判定直，就该直线与此平面垂直；且am, ana直线与平面垂直；即将“线面垂直” 转化为“线线垂直”平

8、 面 与平 面 垂 直 的判定直 线 与平面一个平面过另一平面 的垂线， 就这两个平面垂直；同垂直与一个平面的a, a（满意条件与垂直的 平面有很多个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行；即将“面面平行问题” 转化为“线面平行问题”垂 直 的性 质 平 面 与a两条直线平行；两个平面垂直， 就一个, ba / b平面 平面内垂直与交线的垂 直 的 直线与另一个平面垂性 质 直 ；,Il ,aala,解决问题时，常添加的帮助线是在一个平面内作两平面交线的垂线2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - -

9、- - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -必修二公式大全第三章直线方程学问点及公式夹角的取值范畴：0° 90° .1. 直线的倾斜角与斜率：运算方法：假如1k1k20,即k1 k21,就.王新敞2在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，假如把x 轴围着交点按逆时针方向旋转12.两点间距离公式：PP xx 2 yy 2到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或1 22121重合时，我们规定直线的倾斜角为0° . 倾斜角的取值范畴是0° 180° . 倾斜角不是

10、90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示 . 倾斜角是90°的直线没13 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 点P x0, y0 到 直 线l : AxByC0 的 距 离 为 ：有斜率 . 即 ktanAx0dBy0C 2. 斜率公式：经过两点P x , y, P x , y ky2y1xx A2B2王新敞111222的直线的斜率公式：12x2x114.两平行直线间距离公式：dC2 - C1 3.直线的点斜式方程： yy1k xx1 第四章 圆与方程A2B2直线的斜率k0 时，直线方程为yy1 ；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的1、圆的标

11、准方程：以点 C a, b为圆心， r 为半径的圆的标准方程是 xa 2 yb 2r 2 .方程，这时的直线方程为xx1 .特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x2y 2r 2 . 4直线的斜截式方程： ykxb . 只有当 k0 时，斜截式方程才是一次函数的表达式. 5. 直线方程的一般式：AxByC0 （ A2B 20 ）2、点与圆的位置关系：6.直线方程的两点式：yy1y2y1xx1x2x1. （ x1x2 ， y1y2 ）1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：7直线方程的截距式：xy1 .a , b 表示截距，它们可以是正，也可以是负.ab8斜率存在时两直线的平行：l 1

12、 / l 2k1 = k 2 且 b1b 2 .9斜率存在时两直线的垂直：l1l 2k1k 21 10特别情形下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，相互平行；(2) 一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°， 两直线相互垂直11. 直线l1 与 l 2 的夹角定义及公式:l1 到 l 2 的角是1 ,l2 到 l 1 的角是 -1 , 两角中的锐角或直角叫两条直线的夹角 . 明显当直线l 1 l 2 时, 直线l1 与 l 2 的夹角是.23精选名师 优秀名

13、师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -必修二公式大全1点在圆上d=r ；2点在圆外d r 2. 给定点M x 0 , y 0 及圆C : xa 2 yb 2r 2 . M 在圆 C 内 x0a y 0br M 在圆 C 上（ x0a) 2 y 0b) 2r 22 M 在圆 C 外 x0a 2 y 0b 2r 23 、圆的一般方程：x2y 2DxEyF0 .22DED 2E 2 4F当 DE4F0 时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径 r.222d r ；

14、3 点在圆内当 D 2E 2 4F0 时，方程表示一个点D ,E.22当 D 2E2 4F0 时，方程无图形（称虚圆）.注：（ 1 ）方程Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表示圆的充要条件是：B0 且 AC0 且.22222DE4AF04 、直线与圆的位置关系：直线 AxByC0 与圆 xa ybr的位置关系有三种（1）如 dAaBbC ， dr相离0 ；（2） drA2B 2相切0 ；（3） dr相交0 ；422精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -必修二公式大全仍可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByx2y 2C0DxEyF求解，通过解的0个数来判定：（ 1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点），直线与圆相交；（ 2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点），直线与圆相切；（ 3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C 到直线 l 的距离为 d, 就直线与圆的位置关系满意以下关系：相切d=r 0（ 2）相交d<r >0