一元二次不等式的解法周德胜

1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法（一）（一）oxy问题：问题：（1 1）如何解一元二次方程）如何解一元二次方程（2 2）二次函数）二次函数 的图象是的图象是 什么曲线？什么曲线？（3 3）一元二次方程）一元二次方程 的的 解与二次函数解与二次函数 的图象的图象 有什么联系？有什么联系？)0(02acbxax)0(2acbxaxy)0(02acbxax)0(2acbxaxy一元二次方程一元二次方程 的解实的解实际上就是二次函数际上就是二次函数与与x x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。)0(02acbxax)0(2acbxaxy下面我们来研究如何应用二次函数的图象下面我们来研究如何应用二次

2、函数的图象来解一元二次不等式。来解一元二次不等式。首先，我们可以把任何一个一元二次首先，我们可以把任何一个一元二次不等式转化为下列四种形式中的一种：不等式转化为下列四种形式中的一种：)0(0) 1 (2acbxax)0(0)2(2acbxax)0(0)3(2acbxax)0(0)4(2acbxax以上四个不等式中我们规定了以上四个不等式中我们规定了如果题目中给出的不等式中二次项系如果题目中给出的不等式中二次项系数小于数小于0，哪怎么办呢？，哪怎么办呢？0a对了，我们只要在不等式两边同乘对了，我们只要在不等式两边同乘-1，然后把不等式的方向改变一下，就可然后把不等式的方向改变一下，就可化为以上四

3、种形式中的一种。化为以上四种形式中的一种。下面我们就利用二次函数的图象来解下面我们就利用二次函数的图象来解以上以上4个不等式。个不等式。设设f(x)=f(x)=a ax x2 2+bx+c+bx+c( (a a0),0),且设方程且设方程f(x)=0f(x)=0在在0 0时的两个根分别是时的两个根分别是x x1 1、x x2 2，且且x x1 1x x2 2。下面我们一起来完成下表：下面我们一起来完成下表：b24ac 0 0 0f(x)0的解集f(x)0的解集f(x) 0的解集 f(x) 0的解集y=f(x)的图象Oxyx1x212xxxxx或21xxxx12xxxxx或21xxxxOxyxb

4、2aabxRx2abxx2OxyR R R填写上表的依据是二次函数的图象，这实际填写上表的依据是二次函数的图象，这实际上是一种数形结合的思想。上是一种数形结合的思想。由此我们可以得出解一元二次不等式的一般由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤：步骤：（1）把所给不等式化为四种标准形式之一；）把所给不等式化为四种标准形式之一；（2）判断所对应二次方程的根的情况；若）判断所对应二次方程的根的情况；若 有根，则求出其根。有根，则求出其根。（3）画出所对应的二次函数的图象；）画出所对应的二次函数的图象；（4）根据图象写出不等式的解集。）根据图象写出不等式的解集。例例1、求下列不等式的解集：、求下列

5、不等式的解集：0156) 1 (2xx01544)2(2 xx325)3(2 xx169)4(2xxxx453)5(2解解：（：（1）将原不等式变形为：）将原不等式变形为： 即即 原不等式的解集为原不等式的解集为01562 xx0) 1)(16(xx611xxx或解解：（：（2）将原不等式变形为）将原不等式变形为 原不等式的解集为原不等式的解集为0)32)(52(xx2325xx解解：（：（3）将原不等式变形为）将原不等式变形为 方程方程 所对应的所对应的=-560 原不等式的解集为原不等式的解集为R。03252 xx03252 xx解解：（：（4）将原不等式变形为）将原不等式变形为 所对应的

6、二次方程的所对应的二次方程的=0， 原不等式的解集为原不等式的解集为01692 xx31xRx解解：（：（5）将原不等式变形为）将原不等式变形为 所对应的二次方程的所对应的二次方程的=-440， 原不等式的解集为原不等式的解集为05432 xx例例2、已知关于、已知关于x的不等式的不等式 的解集是的解集是xx-2或或x 求求 的解集。的解集。02cbxax2102cbxax分析：本题主要强化一元二次方程、一元分析：本题主要强化一元二次方程、一元 二次不等式与二次函数图象间的关系。二次不等式与二次函数图象间的关系。解法一：解法一： 由此可得由此可得a b c=(-2) (-5) (-2)且且a0

7、, 所求解的不等式为：所求解的不等式为：0)21)(2(212xxxxxx或0252025222xxxxxx02522xx 即即(x-2)(2x-1)0,解得解得 不等式不等式 的解集为的解集为 221 x02cbxax221xx解法二：由已知得解法二：由已知得 的两个根，且的两个根，且a0， 解得解得021, 22cbxax是方程02141024cbacbaacab,25 不等式不等式 即为即为 即不等式即不等式 的解集为的解集为02cbxax02522 xx221 x02cbxax221xx小结：两种解法都是先试图找出小结：两种解法都是先试图找出a、b、c的的 关系，再解出一元二次不等式的

8、解集。关系，再解出一元二次不等式的解集。例例3、不等式、不等式 对任意对任意xR恒成立，求恒成立，求a与与m之间的关系。之间的关系。) 1() 1(22xxmaaxxa分析：不等式对任意分析：不等式对任意xR恒成立，就是恒成立，就是不等式的解集为不等式的解集为R。对于二次不等式。对于二次不等式 的解集为的解集为R的条件为的条件为 02cbxax0402acba解：将原不等式变形为解：将原不等式变形为 以上不等式对以上不等式对xR恒成立。恒成立。 当当a-m+1=0时，原不等式化为时，原不等式化为 x-10， 与与xR不符，应舍去。不符，应舍去。0)()() 1(2maxmaxma当当a-m+1

9、0时，时， 由由得：得： am，则有，则有a-m0 联立联立得得am。0)(1(4)(012mamamama0 1) 1(3)(mama注意：二次项系数为注意：二次项系数为0的情况一定要考虑，的情况一定要考虑， 而这往往是容易忽略的，一定要引起大而这往往是容易忽略的，一定要引起大 家的高度重视。家的高度重视。例例4、解关于、解关于x不等式不等式0622aaxx解：原不等式可化为解：原不等式可化为 它所对应的二次方程的两它所对应的二次方程的两 根为根为-2a，3a。 当当-2a3a，即，即a0时，时， 原不等式的解集为原不等式的解集为x3ax-2a； 当当-2a=3a，即，即a=0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 ； 当当-2a3a，即，即a0时，时， 原不等式的解集为原不等式的解集为x-2ax3a。0)2)(3(axax小结：解含有参数的不等式时，要利用分类小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨论的思想，确定分类的标准，对参数进行讨论的思想，确定分类