因式分解知识点归纳

1、1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma mb mc m(a b c)(2)运用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3)十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4)最后考虑用分组分解法5、同底数哥的乘法法则

2、：amgan am n (m, n都是正整数)同底数哥相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：(a b)2g(a b)3 (a b)56、哥的乘方法则：(am)n amn ( m,n都是正整数)哥的乘方，底数不变，指数相乘。如： (35 )2310哥的乘方法则可以逆用：即 amn (am)n (an)m如：46(42)3(43)27、积的乘方法则：(ab)n anbn (n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。3 255352、5c 515105如：(2x y z) =( 2) ?(x ) ?(y ) ?z32x y z8、同底数塞的除法法则： am an am n (a

3、 0,m, n都是正整数，且 m n)同底数哥相除，底数不变，指数相减。如： (ab)4 (ab) (ab)3 a3b39、零指数和负指数；a0 1 ,即任何不等于零的数的零次方等于1。p次方的倒数。c 1 a p - ( a 0, p是正整数)，即一个不等于零的数的p次万等于这个数的如：2 3(1)312810、单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数塞的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积

4、的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2y3z?3xy 11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,即 m(a b c) ma mb mc( m, a,b,c都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x 3y) 3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3a 2b)(a

5、3b)(x 5)(x 6)三、知识点分析:1 .同底数幕、幕的运算：a' an=am+（m, n都是正整数）.(a)n=amn（m, n都是正整数）.例题1.若2a 2；若 27 3n( 3)8,贝U n=例题2 .若 52x 1125,求(xc2009 x/士2) 的值。例题3 .计算x3 n2y 2y练习1.若2n6na 3 ,则 a2 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于2.积的乘方（ab）n=anbn（n为正整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘例题1.计算:mP43.乘法公式平方差公式：ab2完全平方和公式:2abb2完全平方

6、差公式:2abb2例题1.利用平方差公式计算: 22009X 2007 2008例题2.利用平方差公式计算:20072 一 一 -一20072 2008 20063 . (a 2b+3cd) (a+ 2b-3c-d)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是(A. x(a-b)=ax-bxC. x 2-1=(x+1)(x-1)B. x)2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若 4a2 kab2 _29b可以因式分解为(2a 3b),则k的值为

7、3、已知a为正整数，试判断a是奇数还是偶数?4、已知关于x的二次三项式mx n有一个因式(x 5),且m+n=17试求m, n的值考点二提取公因式法提取公因式法：ma mbmcm(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法:1、3、系数为各系数的最大公约数2 、字母是相同字母字母的次数-相同字母的最低次数1、将多项式20a3b2习题2- 一12a bc分解因式，应提取的公因式是(2.A ab B 、 4a b2C、4ab d、4a bc2、已知(19x 31)(13x 17)(13x17)(11x 23)可因式分解为(ax b)(8x c)

8、,其中a, b, c均为整数，则a+b+c等于（A、-123、分解因式:)、-32、38、72(1) 6a(a b)4b(a b)(2) 3a(x y) 6b(y x)2011(4) ( 3)(3)20104、先分解因式,在计算求值2(1) (2x 1) (3x 2) (2x1)(3x2)2x(12x)(3x2)其中x二2(a 2)(aa 1) (a21)(2a)其中a=185、已知多项式2012x2 2011x2012有一个因式为ax 1 ,另一个因式为x2 bx 2012 ,求a+b的值6、若 ab2 10,用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值7、已知 a, b, c 满足 ab

9、 a b bc b c ca c a 3,求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a, b, c都是正整数）考点三、用乘法公式分解因式 平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()-222_ 2.2222A x 4y B、x 2y 1 C、 x 4y D、 x 4y2、分解下列因式2222(1) 3x 12(x 2)(x 4) x 4(3) (x y) (x y)322(4)x xy(5) (a b) 1_2_22_2(6) 9(a b) 30(a b ) 25(a b)

10、2009 201120102 13、若n为正整数，则(2n 1)2 (2n 1)2 一定能被8整除完全平方式a2 2ab b2 (a b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题22_22_22_21、在多项式x 2xy y x 2xy y x xy+y 4x 1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有()A、B 、 C 、 D 、2、下列因式分解中，正确的有() 4a a3b2 a(4 a2b2) x2y 2xy xy xy(x 2) a ab ac a(a b c)22 2222,、3xy(x

11、y)3、A、0 个 B个 C 、2个 D 、5个如果x2 2(m3)x16是个完全平方式，那么m应为（-5 B 、37或-14、分解因式2(1) mx 4mx 2m(2)2a2-4a 232x 2x x，一、22(4) (2x 3) (x 3)2(5) 8x y 8xy 2y(6) (x 2-2xy)2 +2y 2(x2-2xy)+y 4 4x2 12xy+9y 2 4x+6y-35、已知a b2,aba3b2. 21.3a b ab26、证明代数式10x 8 y 45的值总是正数7、已知a, b,c分别是ABC的三边长，试比较（a2 b2 c2）2与4a2b2的大小9abc 6a2b 3ab

12、c(3 2a) _x2y _xy2 33考点四、十字相乘法2(1)二次项系数为1的二次三项式x px q中，如果能把常数项 q分解成两个因式 a、b的积,2并且a b等于一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式x px q分解成22x px q x abxab xaxb例题讲解1、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有2X3的分解适合，即 2+3=51222解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 313= (x 2)( x 3)1 x 2+1 x 3=5

13、用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：x2 7x 6解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1-1=(x 1)(x 6)1-6 (-1 ) + (-6 ) = -7练习分解因式(1) x2 14x 24(2) a2 15a 36(3)x2 4x 5(4) x2x 22_2y 2y 15(6) x 10x 242、二次项系数不为 1的二次三项式 ax2 bx c条件：(1) a a1a2(2) c GC2(3) b ag分解结果：ax2 bxa1，c1a2 C2例题讲解1、 分析:分解因式:1a2 Gc =

14、 (a1xb&C2a2gC1)(a2x C2)3x2 11x 10-23-5(-6 ) + (-5 ) = -11解：3x2 11x 10 = (x 2)(3x 5)22分解因式：(1) 5x 7x 6(2)3x 7x 2(3) 10x2 17x 32(4) 6y2 11y 103、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1-16b8b+(-16b尸-8b解：a28ab 128b2=a28b( 16b)a8b ( 16b) = (a 8b)(a16b)分解因式(1) x23x

15、y 2y2 (2)m26mn 8n2(3) a2 ab 6b24、二次项系数不为1的多项式例题讲解 2x2 7xy 6y21 -2y ,2-3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)22c-x y 3xy 2把xy看作一个整体1 11-1)+(-2)= -3解：原式=(xy1)(xy 2)分解因式：(1) 15x2 7xy 4y22 2 a x6 ax 8考点五、因式分解的应用1、分解下列因式2_3 2(1) 3x 3(2) x y 4x(3) x3 6x2 27x(4) a2 b2 2b 12、计算下列各题(2) (a2 b2 c2 2ab) (a b c)，一

16、2(1) (4a2 4a 1) (2a 1)3、解方程,.、22(1) 16(x 1)25(x 2)一 4 2-(2) (2x 3)(2x 3)4、如果实数a b ,且10a b ，那么a+b的值等于10b a b 11 2232425262200922010220112201225、 1 2345620092010201120126、若多项式x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值(写出3个)7、先变形再求值(1)已知 2x y , xy 4,求 2x4y3 x3y4 的值(2)已知 3x2 8x 2 0,求 12x2 32x的值8、已知a、b、c为三角形三边，且满