人教版高二数学暑期课程(理)第11讲双曲线教案

1、一讲 双曲线适用学科数学适用年级高二（理）适用区域通用课时时长（分钟）120知识点双曲线的定义及应用双曲线的标准方程及求法双曲线的几何性质及应用双曲线的综合问题教学目标1 .理解双曲线的定义，会求双曲线的标准方程；2 .灵活应用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；3 .理解直线与双曲线的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与 双曲线的各种位置关系；掌握双曲线的渐近线方程以及离心率的求解计算；4 .初步掌握与双曲线有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧； 进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点1双曲线几何性质综合应用，2利用“数”与“形”的结合，利

2、用方程解决直线与双曲线的位置关系和有关弦长等综合问题教学难点1双曲线几何性质综合应用，2利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与双曲线的位置关系和有 关弦长等综合问题.教学过程一、知识讲解考点/易错点1双曲线的基本概念学生通过必修2中的学习，已经掌握了用坐标法来研究直线和圆的方程的方法，具备一定的将几何问题代数化的能力，同时通过前一节椭圆的学习，同学们对方程的推导和运用累积了一定的经验，因此本节课通过类比的方法，老师因势利导给予必要的提示、点拨与帮助，学生可以自学掌握本节内容.在学习知识的同时可以培养学生的自我学习能力，所以教学方法采取指导学生自学法.教学情境：我们前面学习了圆锥曲线，圆锥

3、曲线有几种？已经详细学习过了哪一种圆锥曲线？1 .椭圆的定义是什么？平面内与两定点Fi、F2的距离的和等于常数 2a(2a大于F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆.2 .椭圆的标准方程是什么？如何根据椭圆的标准方程确定其焦点在哪个坐标轴上？3 .双曲线的定义是什么？(平面内与两定点Fi、F2的距离的差的绝对值是常数2a(0<2a < F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点Fi、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距 2c.)我还想知道2a为什么不能等于或大于F1F2 ?为什么是距离的差的绝对值？学生活动：如何推导双曲线的标准方程呢？可否类比求椭圆标准方程的方法来求双曲线的

4、标准方22程呢？请同学们自己尝试推导双曲线的标准方程.、-4 =1(a > 0bA 0)a b22类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程.-y?-2 = 1(a>0,b>0)a b阅读课本完善自己的推导过程 .类比椭圆，设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义.双曲线图象性质：双曲线定义IIPFil-|PF2|=2a|PF|PF2|=2a方程22xy/-2 72 =1 ( a > 0, b > 0)ab22yx2T72ab(a>0,b>0)图象z/1*住日 八'、八、Fi(C0), F

5、ie,。)F1(0, -c),F2(0, c)a、b、c的关系c2 = a2 +b2,a>0,b>0 a不一aE大丁 bc2 = a2 +b2,a >0,b a0a不一aE大丁 b对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点对称轴：x轴、y轴对称中心：原点顶点(-a, 0), (a, 0)实轴长为：2a虚轴长为：2b(0, -a), (0, a)实轴长为：2a虚轴长为：2b根据双曲线的标准方程，如何确定焦点究竟在哪个坐标轴上?考点/易错点2等轴双曲线与共轲双曲线等轴双曲线：实轴与虚轴长度相等的双曲线叫等轴双曲线标准方程为:分类方程焦点在X轴上22x y ：= a2(a =0)焦点在

6、y轴上22y x 二2=a (a=0)离心率为：e = 2渐近线方程为：y =x2T=1(a>0,b>0)和 b2共轲双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴， 虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轲双曲线2X它们互为共辗.互为共轲双曲线的方程为：f a221-三-1(aQb 0).b a性质：它们有相同的渐近线它们的四个焦点共圆.离心率满足11一 一 -122T.eie2考点/易错点3 双曲线的渐近线:在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计椭圆的形状，画出椭圆的22简图都有很大作用，试问对双曲线 今-4=1仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形, a2 b2那么双曲

7、线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想.接着再提出问题：当 a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？b请一名同学回答，应为 y=±-x,并回出两条对角线，引导学生从图中观察得出结论；双a22曲线七=1的两支向外延伸时，与这两条渐近线接近；a b现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将 x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对调得到；bx2 y2a定义：直线y=±2x叫做双曲线一2-22

8、 = 1的渐近线；直线y = ±ax叫做双曲线 aa bb22t=1的渐近线；a b这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线;考点/易错点4离心率:为此，介绍一下双由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了, 曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响:b一也越大，即渐近线a1.双曲线的焦距与实轴的比 e=£叫做双曲线的离心率，且 e>1 ； ab钻y = ±一 x 的a从而得出：双曲线的离心率越大,斜率的绝对值越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔, 它的开口就越开阔.这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几

9、何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐 标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变.、例题精析例题1【题干】 已知圆C的方程为(X3)2+y2=4, 一定点A(3,0),求过定点 A且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程.【例题2】【题干】已知双曲线通过点 M (1,1)与N(-2,5)两点，求双曲线的标准方程 .【例题3】2.2【题干】设F1, 52为双曲线x2 4y2 =4的两个焦点，点P在双曲线上且满FiPF2 =-,求AF1PF2的面积.例题42_ 2_【题干】 已知双曲线C:x -3y =3.(1)若li： y=kx+m(km#0)与C交于不同的两点 M,N，且M ,N都在以A(0,1)

10、为圆心的圆上，求m的取值范围.(2)若将(1)中的“双曲线 C”改为“双曲线C的右支”，其他条件不变，求 m的取值范围.例题5【题干】设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1, F2,若曲线上存在点p满足PFj：|F1F2|：|PF2卜4:3:2 ,则曲线r的离心率等于()A.1或3B.2或2C或2D.Z或3223232例题6【题干】设圆C与两圆(x + J5)2+y2=4, (xJ5)2 + y2 =4中的一个内切，另一个外切.(1)求C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M(3L5,竺5), F (君,0),且P为L上动点，求 MP FP的最大值 55及此时点P的坐标.【例题7】【题干】平面内与两定点

11、 Ai(_a,0), A2(a,0) (a >0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上Ai、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线 .(I)求曲线c的方程，并讨论c的形状与m直的关系；(n)当m=1时，对应的曲线为 G；对给定的mW (T,0)U(0,+%),对应的曲线为 G,2设F、F2是C2的两个焦点.试问：在G上是否存在点N，使得AF1NF2的面积Sm|a .若存在,求tan F1NF2的值；若不存在，请说明理由.三、课堂运用例题1 22【题干】设双曲线3L=1(a >0)的渐近线方程为3x±2y =0,则a的值为()a 9A. 4B. 3C. 2D.

12、1【例题2】【题干】双曲线y2=S的实轴长是()A.2B.;二C. 4D. 4 ;【例题3】x2 y2【题干】 双曲线4" + -=1的离心率ec (1,2),则k的取值范围是()A. ( 8, 0)B. ( 12,0)C. ( 3,0)D. (60 , 12)例题4x2y2【题干】如果1kl工 + =1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距 c的取值范围是（）A. (1 , +oo) B. (0,2)C. (2, +8) D. (1,2)例题5x2y2x2y2已知椭圆前+彳=1和双曲线盍彳=1有公共的焦点'那么双曲线的渐近线方程是（） 15- 15A. x=±_

13、-y B. y= +x33C. x= i y D . y = ± x例题6【题干】已知点F、A分别为双曲线 C xy2=1（a>0, b>0）的左焦点、右顶点，点 B（0, a2 b2b）满足FBAB = 0,则双曲线的离心率为 .【例题7】一一 4，, ,一， ，、，_1【题干】若双曲线经过点（6,M3）,且渐近线方程是 y = ±gx,求双曲线的方程.【例题8】22y x一一_【题干】设F1, F2为双曲线C：=彳6=1的两个焦点，点M为双曲线上一点，且/F1MF2 916=60,求ZMF1F2的面积.【例题9】【题干】Fi、F2是双曲线的左、右焦点，P是双

14、曲线上一点，且/ FiPF2=60 ,SPFiF2 =12 a/3,又离心率为2.求双曲线的方程.【例题10【题干】设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）【例题11】x2 y2a2【题干】已知双曲线1(a>0，b>0)的右顶点为 A,右焦点为 F,直线x = (c =a2 + b2)与*轴交于点B,且与一条渐近线交于点 C,点O为坐标原点，又OA = 20B,oAoC =2,过点F的直线与双曲线右支交于点M、N,点P为点M关于x轴的对称点.求双曲线的方程；(2)证明：B、P、N三点共线；(3)求4BMN面

15、积的最小值.【例题12】【题干】双曲线三y2=1 (a>。，b>0)的两个焦点为Fi、F2,若P为其上一点，且|PFi| = a2 b22|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A. (1,3)B. (1,3C. (3 , +°°)D . 3 , +00 )【例题13】x2 y2【题干】已知双曲线I-b= 1(a>0 , b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2,则此双曲线的离心率 e的最大值为()4A5B.5 C. 2D.733【例题14】x2 y2【题干】已知双曲线装-b>1与直线y=2x有交点

16、，则双曲线的离心率的取值范围是()B. (1, V5)uM，+8)D.+8)A. (1, 5)C. M，+8 )【例题15】【题干】已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(47, 0),直线y = x-1与其相交于 M,N两点，MN中点的横坐标为一2,则此双曲线方程是（）3x2y2A. -= 1x2.4y2一=13x2 y2C-= 1x2 y2D-= 1【例题16】【题干】以双曲线2xC ： -2 a22y6=1(a>0b>0）的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C的共轲双曲线.2x（1）写出双曲线 彳2着二1的共轲双曲线的方程;11（2）设双曲线C与其共轲双曲线的离心率分别为e1，e2,求证2+$=1e1e2【例题1