专题椭圆中的定点定值问题

1、实用文档椭圆中的定点定值问题2 x1.已知椭圆C： -y - a I(1)求椭圆的标准方程;2y1 (a b 0)的右焦点为F(1,0),且(1,42)在椭圆2C上。解：(I)(2)已知动直线QA QB1过点F,且与椭圆C交于 A B两点，试问 x轴上是否存在定点Q,使得()2x工恒成立？若存在，求出点16Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)由题意知c=1.由椭圆定义得2a(1 1)2(1)29，即 aV2 -3 分P:(2x2b 2 11, 椭圆C方程为2(2)假设在x轴上存在点Q ( m,0),使得1 .QA QB恒成立。16当直线i的斜率不存在时,A (1,叵),B (1,Y2),

2、由于(1 -, ) (1224 2716，5所以m 下面证明45 r,m 一时,4qA qB恒成立。16当直线i的斜率为0时,a(72,0)b(72,0)则(725,0)?(40)符合题意。当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1, Ax1, V1 , B x2,y22. 一 x由 x=ty+1 及一, x1(t22 ty1 1, 4,y1) 昌x2一 2_21 得(t 2)y 2ty 1 0有 0 . . y y?2tFTy1y212，t2 2ty2 14,y2)(ty11 2t-t -24 t2 21161)(ty242t22(t242 t2,2y1y2=(t1) yy21t(

3、y1 y2)116综上所述：在x轴上存在点5r(5,0)使得42)16QA QB7一,16恒成立。162.如图，中心在坐标原点, T2的离心率均为叵.2焦点分别在x轴和y轴上的椭圆 工，T2都过点M (0, 松,且椭圆不与(I)求椭圆T；与椭圆T2的标准方程；(n)过点M引两条斜率分别为 k,k的直线分别交T1，T2于点p, Q4k时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 标准直线2y2222x工汉422MP勺方程为ykx1 一 2,消去y得(2k2kx J 24.2k 2.2k2 , 22k2 1, 2k2 1又k 4k ,则点Q为:则直线PQ的方程为:2

4、2k2. 2y 2k2 1即当x 0时，3.已知，椭圆12kJ2 ,联立椭圆方程得.：1)x2 4j2kx 0,),同理可得点 Q的坐标为:4.2k 8,2k22一 2, 一 28k2 18k2_ 22k2 1,4.2k(x 22k2 1)，),化简得y则xP -442k,则点p的坐标为P 2k2 1Q：(212k . 2k 2 22k2 2,kPQ8k2 12k2 14.2 k4、5k一 2一 28k 12k1性竺)，即2k2 1-x 五, 2kJ2 ,故直线pq过定点(0,J2) .C过点Aa谒)，两个焦点为(-1, 0), (1, 0).,12k(1)求椭圆C的方程；(2) E, F是椭

5、圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.解：(1)由题意，c=1,可设椭圆方程为1N9户,解得b2=3, b 1+b2 4b?湾彗(舍去)所以椭圆方程为2-1(2)设直线AE方程为：y=k (1-1) +亍代入；得(3+43+北(3 2k)工+4 (-| - k ) 2 - 12=0 ,设 E (xe, yE) , F (xf,yF),因为点A(l, 在椭圆上,所以由韦达定理得：3+4 k 2所以4- k) -12u,Fe二女氏十,一上 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,实用文档标准在上式中以-K代K,可得4 (赳)-124

6、 F-2所以直线EF的斜率£=1,即直线EF的斜率为定值，其值为 2户3ky=-7 (x+2)k5.椭圆C:,即有k取何值，N的横坐标均为-3,则点N在一条定直线x=-3上.4.已知椭圆E:22+=-1 (a>b>。)经过点(o, 炎)，离心率为 近3，点O为坐标原点.(1)若椭圆C过点(-(I)求椭圆E的标准方程；(n)过左焦点F任作一直线l ,交椭圆E于P、Q两点.(i )求而苗勺取值范围；(ii )若直线l不垂直于坐标轴，记弦 PQ的中点为 M过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N,证明:求椭圆C的方程；若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C相交于点

7、P, M求证：直线PM经过7E点;(2)若椭圆C过点(1,2),求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值.点N在一条定直线上.解：(I)由题意可得 b=7s,e=又a2-b2=c；解得a= JE, c=2,即有椭圆方程为二1；(n) (i) F(-2, 0),当直线的斜率不存在时,y2),直线方程为x二-2,可得 P ( - 2,退3设 P(X1, y。, Q(X2,Q( 2,I? .-=4-上； 当直线的斜率存在，设 l :3 33y=k (x+2),设 P (x1, y。，Q (x2,代入椭圆方程 x2+3y2=6,可得(1+3k2) x2+12k2x+12k2 - 6=o, x1+x2二，)

8、+4k2x1x2二12k2l+3k212k2 - 6l+3k2MJ，一2， 一、 ， 一OP? 0(J=x1x2+y1y2=x1x2+k (x+2) (x2+2)=(1+k2) x1x2+2k2 (x+x2)+4k2= (1+k2) ?12k2 - 622l+3k2由 k2>0, 3k2+1>1,可得-6W 0P?0Qv综上可得，不?画勺取值范围是-6,当；(ii )证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0,可设 PQ y=k (x+2), FN y= - (x+2),设(xo, yo),则 xo=1十就2,由 x1 +x2=一2l+3k2Xo=-6k之l+3k2yo=k (xo+2

9、)=4 ,直线OM的斜率为koM二次-3k*十1x。表直线OM y二-解：(1).椭圆C:J2 a,解得 a=3, b=1,，椭圆C的方程第2二1.证明：由题意得 PD MDW斜率存在且不为 。,设直线PD的斜率为k,贝U PD y=kx 1,户kit - 12.+ y3-l9k21,得P (118k9k2+l9-k2_ 9k2tlk、9勾叱 18k18k2+ 29k'+l /十9k2 -_1 lOk23y=k，直线 PM经过定点T10k £ 5解：(2)椭圆C的中心到右准线的距离4f-i2- ad i 2_i2a. b2 _ 4小a -7一 a2-l=1 (a>b&g

10、t;0)过点(3, 0)和),用-二代k, k直线 PM: yV)d=Va29- k?k2+9,/口，2 4a=1,得 b 二一T"a -令 t=a2- 5, t >0,贝U 盘_I)当且仅当t=2 n,士 当9=3+9,=t+ _L-!+9>2 t准线的距离的最小值为226.已知椭圆勺与a b离为4-,离心率e二&+2 J即，等号成立，椭圆C的中心到右据+2a1 a b 0的右焦点到直线l: x 的距c,A, B是椭圆上的两动点，动点 P满 3,(其中为常数).(1)求椭圆标准方程；(2)当1且直线AB与OP斜率均存在时，求kAB| kOP的最小值;(3)若G是

11、线段AB的中点，且k0AM ,N ,使得动点P满足PM PN 由.kOBkOG kAB ,问是否存在常数和平面内两定点18,若存在，求出的值和定点M , N ；若不存在，请说明理解：(1)由题设可知：右焦点到直线2的距离为:c4 5 p c二一，又一b24 .，椭圆标准方程为(2)设 A & v , BkAB kOPy1y2X1X2x2,y2 则由 OP OA OB22y V2 y1 V242x1 x2 x1 x29X2, %y2 由kAB0,得,|kABkOP I 2JkAB kOP|(3)2V1y2 yy2y1x, yx1 x2j x1 X2，则由 OP OA OB22X1X2，得

12、 x, y4349当且仅当kAB-时取等号3所以X14x22X9 2一kOA kOB一9x,y1X2, V2X122X2, y yy2.因为点A、B在椭圆4x +9y =36上，_2 22_29y 36 362 4X1X2 9y1y2 .所以 4x2 9y2 361,所以P点是椭圆设该椭圆的左、右焦点为 M,N ,则由椭圆的定义 PM PN 18得18 242, M 375,0 , N 375,0 .7.已知椭圆b231(a b 0)的右焦点为 F2(1,0)i忒H(1,一)2在椭圆上.4x1x2+9y1 y2X2,y1y2 ,36 2(1)求椭圆方程；222222(2)点M(x0,y

13、6;)在圆x y b上，M在第一象限，过 M作圆xy b的切线交椭圆于 P、Q两点，问|F2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由.解：(1) 右焦点为F2(1,0),c1 ,左焦点为Fi( 1,0),占八、H(1,-)在椭圆上22aHFiHF2(11)2(1 1)24,2, b.a2 c232所以椭圆方程为4(2)设 P X1，y1，Q(X2，y2),PF2PF2PMPF2X112(4|OP |2PM2y1X1X) 2|OM |2所以F2PF2Q8.分别过椭圆E:别交于A、B与C2X12 3(12X11) Z(X14)22X1连接OM, OP,由相切条件知

14、y23X123(12X12X1PM12 x12|PQ2Ka=1 (a>b>0)左、右焦点 F1、12 x12 22,同理可求4为定值.QM12x21一 X1212x22F2的动直线1、l 2相交于P点，与椭圆E分D不同四点，直线OA OB OC OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4,且满足k1 + k2 = k3 + k4,已知当l1与x轴重合时，|AB|=2|V1, |CD|=-.3(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点 M N,使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M N点坐标, 若不存在，说明理由.解：(1)当 l1与 X 轴重合时，k1 + k2=k3+k4=0,即

15、 k3=- k4, - l 2垂直于 x 轴，得 |AB|=2a=2x/3 , |CD|二解得a="，b=u2 椭圆E的方程为2b2 4M(2)焦点F1、F2坐标分别为(-1, 0), (1, 0),当直线l1或l 2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0),当直线l1, 12斜率存在时，设斜率分别为 m, m2,设 A（X1, y。，B（X2, y2）,由叼+ 乂广一2'k1+k2=ks+k4, .1由题意知mwm2,y= m2A11克 1 X 2 二2+3叫叫 一 & ID"(2+3 叫 2)-122 即 2k*2+1=0.）二叫（2+靠产2

16、- 4ni|,同理 k3+k4二- 4mz叱2-2,即(mnn2) (mm) =0,mn2+2=0, 设 P (x, y),贝U -Hl K - 1+2=0,由当直线l1或l 2斜率不存在时，P点坐标为（-1, 0）或（1, 0）2即勺4 K 1也满足，,xw±1,（3） oP+oQ是定值，定值为 36,理由如下：法一：（i）当直线OP, 0区落在坐标轴上时，设 P （xi, yi）, Q （X2, y2）,联立解得2_ 24224k /l+2k/24 (1 + kJ)1+2kJ4 Q 24(Hk92)得”"二2点P （x, y）点在椭圆工2，存在点M,N其坐标分别为(0,

17、 -1)、(0, 1),使得 |PM|+|PN|所以222OF +0Q =勺 I% +y2 +y224 (1+kJ) 24 (l+k22)为定值2,.反.9.如图，在平面直角坐标系XOy 中,从原点。向圆R（X-X0）2+ (y yo)已知椭圆C:24 12=1,设R（X0, y。）是椭圆C上的任一点,2=8作两条切线，分别交椭圆于点（1）若直线OP OQM相垂直，求圆 R的方程；（2）若直线OP OQ的斜率存在，并记为 k1, k2,求证:（3）试问oP+oQ是否为定值？ 若是, 求出该值；若不是，解：（1）由圆R的方程知，圆 R的半径的半径 因为直线OP OQM相垂直，且和圆 R相切，所以

18、-'-<1 :二1,即9?电+尸口二16,又点R在椭圆C上，所以巳Q了二久三24 12联立，解得不;士2我l 所以所求圆R的方程为 y 口二±2旄,(W±2近)'+(V±2&)。(2)因为直线 OP: y=k1X, OQ y=k2X,与圆R相切,所以同理口）卬一九）%，化简得（l+k2），-（2如+时4）浒xj+yj-X0J- (2x0+2k2y0)x+x03+y02 - S=0,所以 k1 , k2是方程 （X02 - 8 ） k2 - 2X0y0k+y02 - 8=0的两个不相等的实数根，2a2aS9 因为点 R（X0, y

19、76;）在椭圆C上，所以l+2k/121十2（一元）36+72 kJl+2k J二36（ii ）当直线 七 落在坐标轴上时，显然有 O+OQ=36,综上：OP+OQ=36.法二：（i）当直线OP, 0区落在坐标轴上时，设 P （X1, y。，Q （X2, y2）,因为2kik2+1=0,所以2 2 12 2了1%=7町叼因为P （Xi, yi）, Q （X2, V2）,在椭圆C上，所以所以所以R i 24+12-1 2 .2 工？ y2 +二 1 12y?=12-1212yj+y京(12- ysp 十(.12 -=12 ,所以 oP+oQ=36.（ii ）当直线 OP OQ落在坐标轴上时，显然

20、有 OP+OQ=36, 综上：O/+OQ=36.2X10.已知椭圆C：a2占 1(a b 0),左焦点F( J3,0),且离心率 b2（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l ： y kx m （ k 0）与椭圆C交于不同的两点 M , N右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆 C的右顶点A .求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.由方程组kxc 3 一解：(1)由题意可知e c 23 ,解得a 2, b 1a 22,22a b c所以椭圆的方程为所以14(8km)由方程组(2)由方程组y kx mkx2y_222(8km)4(1 4k )(4m设 M (x/) , N(x2, y2),则得(1 4

21、k2)x2 8kmx 4m2 4 0,4) 0 ,整理得 4k2 m2 1 0,28km4m 4x1 x2 2， x#2 214k14k设 Pi (Xi,y。，P2m得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线1, 22、-224(4k1)(4m4) 0,即 m=4k+1.1T得(k2+1) x2+2kmx+rm r2=0,则r2(x2， y2),贝U x1x22km，XiX2k 1l与椭圆C有且仅有一个公共点,_222(2 km) 4(k1)(m设直线OP,。险的斜率分别为 匕，k2,所以k1k2y1y2(kx1 m)(kx2 m)k2x1x2 km(x12r2)k 1x2) M

22、 2由已知，AM y1y2 (% , (1 k2)x1x2AN ,即AM AN 0 ,又椭圆的右顶点为 A(2,0)，所以(x1 m)( kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2,(km 2)(x1 x2) m2 4 0 ,2)(x2 2)YiY20 ,x1x22r .一 km122m rk2 1x1x22km 2 予 m k2 1x1x24m2 4即(1 k2) 4m-T-4 (km1 4k2)8 km1 4k2要使得k*2为定值，则4 r242m2m将m2=4k2+1代入上式，得k1k2(42 2r )k4k2 (1司)即 r2=5,验证符合题意.整理得5m2 16mk 12k

23、2 0,解得m2k或m6k均满足4k2 m2 1 0 .5当m 2k时，直线l的方程为y kx 2k ,过定点(2,0),与题意矛盾，舍去；所以当圆的方程为 x2+y2=5时,圆与l的交点P,B满足k1k2为定值当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为Clcc当m 时，直线l的方程为y k(x -),过定点(一,0), 555此时，圆x2+y2=5与l的交点Pi,P2也满足k1k2x=±2,1一.4故直线l过定点，且定点的坐标为22x y11.已知椭圆C:-y 匕 1(a a b(I)求椭圆C的方程；(凯b0)的离心率为点A(1,咚)在椭圆C上,综上，当圆的方程为x2+y2=5 时

24、,圆与l的交点Pi, P2满足斜率之积kk2为定值O为坐标原点.2 X12.已知椭圆C:0 a2七1(a b0),经过点(1,42),且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直2(n)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆C,角三角形.(1)求椭圆方程;使得l与圆C相交于不在坐标轴上的两点P1, P2,记直线OP , OP2的斜率分别为 K , k2,满足k1为定值，若存在，求出定圆的方程并求出K k2的值，若不存在，请说明理由.解：(I)由题意，得c Y3, a2=b2+c2,又因为点A(1,)在椭圆C上，所以2 2 1, a 22a2 4b2_2解得a=2,

25、 b=1, c 卮 所以椭圆C的方程为 y2 1.4(n)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2 (r>0).当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m.(2)过椭圆右顶点的两条斜率乘积为定点？若过定点，请求出此定点,.，一一1解：(1)根据题意 -12 a2a当MN的斜率存在时，设若不过,1 一的直线分别交椭圆于 M,N两点，试问：直线 MN是否过 2请说明理由.b c12b2 b22ab2MN :kx2y2(12k2 )x2 4kmx 2m2 2 0,8(2kXiX2m2 1) 04 kmy12, K

26、ma Kna 产1 2k2x122m2 2y2kx1mx2.2x12kx2 mx2 . 2X1X2(2k2 1)x1x2 .直线MN y2k2(2 km2)(x1 x2) 2 m2 0m2.2 km 0J2k (舍).kx过定点(0,0),当MN斜率不存在时也符合，即直线MN恒过定点(0,0) .14.已知椭圆C:3 当 1(a b 0)的离心率为 叵,以原点O为圆心，椭圆 C的长半轴为半 a b3径的圆与直线2x J2y 6 0相切.(1)求椭圆C标准方程；(2) 已知% A,B为动直线y k(x 2)(k 0)与椭圆C的两个交点，问：在 x轴上是否存在点 E, EA AB2使EA为定值？若

27、存在，试求出点 E的坐标和定值，若不存在，说明理由.解：(1)又以原点由e 得c3 aO为圆心，椭圆6 日口八- 6 c,即 c a33C的长轴长为半径的圆为且与直线2x. 2y0相切，所以a所以b22X6 y2y2 k(x22 y2 y2J6代入得c=2,一X2 .所以椭圆C的标准方程为一61 得(1 3k2)x22)12k2x 12k22设 A 为， , B X2, y2 ,所以 X1X212k22 , Xi X21 3k12k2根据题意,，假设反意,假巴 X轴上存也定内E (m) 01EA , EA AB (EA AB) EA EAEB为定值.K m, V1X2m, V2(X1m)X23

28、k2_ 2=k 1 x1x2 2km x1x24k23mYiY212m 10 k2m2 6要使上式为定值，即与k无关,3m2 12m101 3k23 m2 6 ,得 m 73此时,Ea Abm2 65,9所以在X轴上存在定点E ( 7 , 0)使得 EA2 TA AB 为定值，且定值为 -39215.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为Ja处的切线方程为2 X C2:7(1)如图(1),X0X-2a2y1(a b 0),则椭圆在其上一点 A( x0, y0)b姆 1，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆 b22X 2Ci :y2 1和椭圆21,为常数).点B为C1在第一象限中的任意一点，过 B作

29、C1的切线l , l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点，求 OCD面积的最小值; (2)如图(2),过椭圆C2上任意一点P作Ci 的两条切线PM和PN ,切点分别为 M , N , 当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒 与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若 不存在，请说明理由.解：(1)设B(x2,y2),则椭圆Ci在点B处的 切线方程为上 x y2 y 121 人20, yD，令 y 0, xc一,所以 Sy2X2又点B在椭圆的第一象限上，所以 x2 0,y21OCDX2 y为乎,当且仅当蓝OCD20,上22y2所以当B(1,2)时，三角形OCD的面积的最小值为2X2N22y2X

30、22X22y2j y2 V2X2 y2设P(m,n),则椭圆C1在点M (x3,y3)处的切线为：&x2又PM过点P(m, n),所以四m y3n 1,同理点N (x4, y4)也满足. m 22所以都在m yn2X1上，即直线MN的万程为一m2yn 1 ，又P(m, n)在C2上，,故原点O到直线MN的距离为：d12m41丁所以直线MN始终与圆x2 y2工相切.16.已知直线y x 1被圆x2 y23X23截得的弦长恰与椭圆 C: -22a2yy 1(a b 0)的短轴长相 b2等，椭圆C的离心率e . 2(I)求椭圆C的方程；一、一 1.(n)已知过点 M (0,-)的动直线3l交

31、椭圆C于A，B两点，试问:在坐标平面上是否存在一个定点在，求出A, B的坐标，若不存在，说明理由.解：(1)设椭圆半焦距为 c,小圆心O到l的距离d=41+l=:，则l被圆O截得的弦长为2,所以b=1,由题意得e= 2，丁 b= 1, a2 = 4, b2=1.，椭圆E的方程为4 + L =1.(2)设 P (xi, y。，Q(X2, y2),直线 Ii 的方程为：y=kx + m.T ,使得无论l如何转动，以 AB为直径的圆恒过定点 T ?若存在，求出点 由。T的坐标，若不存在，请说明理解：(I)由题设可求得 b 1,又e且，则a版,所以椭圆22X 2C的方程是 y 1 .2(n)若直线l与

32、y轴重合，则以AB为直径的圆为1,若直线i垂直于y轴，则以ab为直径的圆为x2 (y 1)3(y 3)1690,由此可知所求点 T如果存在,1只能是(0，1).事实上点T(0,1) 就是所求的点，证明如下：当直线,二此- m,J i 1苏,Yb J= L则41 消去 y 得(1 + 4k2) x2+8kmx+ 4m24=0.Xi+X2= - 1-, X1 . X2 = ： -Ik". 可+F *十册一|PQ| =41-f |x 1 X2| =l + 4k,工 -X2|m| :1十支一加,原点 O到直线 l 1 的距离 d=N-二,则 Saopa2 |PQ| d=L + 4ka=1,.

33、2|m| 也一灰匚=1 + 4k2,令 1+4k2=n,，2|m| 70 f =n,1. n = 2m2, 1 + 4k2=2m2.直径的圆为程并整理得X1X2则X1X2l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时，以AB为Xl + Xj4kir孔斗门22X y 1,过点T(0,1);当直线l的斜率存在，设直线方程为y kx 1,代入椭圆方3一 2 一 2 一一(18k9)x 12kX 16 0,设点 aB 的坐标为 A(xy。B(X2,y2),1所以有tAtb12k-2 r18k91618k2 9，因为TA(Xi, yi1),TB(X2,y2 i)，X1X2(y1y2)1 (k2161)X1X2k(

34、X1x2)-3916k2 16 16k232k2160,N 为 PQ中点，xn= j =- -, yN= 2 =1,22.1 + 4k2= 2m2, xn= 工,yN=-兀,2 + 2y = 1 .假设x轴上存在两定点 A (s, 0), B (t , 0) (swt),则直线NA的斜率 匕=心一 , 不直线NB的斜率k2 = 4 一工,.1 I T ； -T.k1k2=(%一G * *一)=2 /一(三十工) 2c：-sr =_4 式一占十工)鹏一力1当且仅当 s+t = 0, st= 2 时，k*2= 4,则综上所述，存在两定点 aM , 0), B (-啦,s=W , t =.0),使得

35、直线NA与NB的斜率之积为定值.所以I,18k9TA TB,即以ab为直径的圆恒定过点T(0，1),综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0，1)满足条件.22118.在平角坐标系xOy中，椭圆C ：片 1(a b 0)的离心率e ,且过点(0,J3),椭圆C a2 b22的长轴的两端点为 A, B,点P为椭圆上异于 A, B的动点，定直线x 4与直线PA, PB分别交17.已知直线l : y=X +忐,圆 O: X2+y2=4,椭圆E：葭=1 (a>b>0)的离心率e=二，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)(2) 线段求椭圆E的方程；已知动直线11 (斜率存在)与椭

36、圆 E交于PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点于M , N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在定点经过以 MN为直径的圆，若存在，求定点 坐标；若不存在，说明理由.P, Q两个不同点，且 OPQ的面积Sa op-1,若N为A, B,使得直线NA与NB的斜率之积为定值？若存实用文档解：(1)222c a b 1a2 a24b2 3222a2 4, 椭圆C的方程为上工1；b 343y3 y4从而x* 乂2% 2(% y2),从而k2 x3x44y14y2x15x255x1 9 5x2 9xy2 x2y15( y1y2)4(x1 x2)设PA , PB的斜率分别为k1,k2, P(

37、%,y0)，则 ki2223(1 3 Ty044242424Xo4Xo4Xo4由lpAy。, y。，k2 ，xo 2xo 2y k1(x 2)知 M(4,6k1),x15 x1由IpB7(y1 y2) 独，故k1 组 0,从而存在满足条件的常数，4(x1 x2)472220 .如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的标准方程为 -y-62y k2(x 2)知 N(4,2k2),MN 的中点 G(4,3k1 k2),.以 MN 为直径的圆的方程为(x4)2(y3klk2)2-(6k12k2)2(3k1k2)2,4令 y 0, x28x 169kl26k1k2k29k；6k1k2k2,223x8x

38、 16 12k1k2 o, x 8x 16 12 ( -) 0,4即x2 8x 7 0,解得x 7或x 1 , 存在定点(1,0) , (7,0)经过以MN为直径的圆. 22x y19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆E:2 方 1(a b 0)的左、右a b与椭圆C交于A,B两点.焦点，A, B，别 中点，且AF25ro的左、右顶点，D(1,0)为线段052的(1)求椭圆E的方程；(2)若M为椭圆E上的动点(异于点 A、B),连接MF1并 延长交椭圆E于点N ,连接MD、ND并分别延长交椭圆 E于 点P , Q ,连接PQ ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为 k1、

39、k2.试问是否存在常数，使得kk2 0恒成立？若存在,求出的值；30存 解：(1) AF?2明，由. i0,AF2 5f2b ,c)，化简得2a 3c,(1)若点E的坐标为 Y3,0 ，点A在第一象限且木It坐标为 J3,连结点2C于另一点P ,求 PAB的面积;1(2)是否存在点E ,使得2EA存在，请说明理由.c 5(a_2解：(1)将x J3代入上 6直线l与x轴交于点E ,A与原点O的直线交椭圆12为定值？若存在，请指出点 E的坐标，并求出该定值；若不 EB点D(1,0)为线段OF2的中点，c 2,从而a 22为匕1 ; (2)存在满足条件的常数，953, b J5,左焦点FJ 2,0

40、),故椭圆E的方程47,设 M(x1,y1)，N(x2,y2), P(x3,y3),3坐标为户，0),所以kAB22 y2231 ,解得y 1,因点A在第一象限，从而A(J3,1),由点E的,直线PA的方程为y -2 (x 将),联立直线PA与椭圆C的方Q(x4,y4),则直线MD的方程为x ly 1,代入椭圆方程 8 5 1,整理得，J“y2 %y 4 y19y1y1，(/1)4y15x 95x 9 4y1, y1 y3, y3,从而 x3,故点 P(,),x15x15x15x15x15程，解得B(5,一)，又 PA是 P( J3, 1) , PA4 ,所以直线 PA的方程为0,x J3y

41、0 ,所以点B到直线PA的距离h>3 73553135 ，同理，点、(星一9,3), 三点M,E,N共线, x2 5 x2 5y2x2 211(2)假设存在点E,使得 一2 2为定值，设E(x0,0),EA2 EB222标准实用文档当直线1AB与x轴重合时，有一-EA21EB7(x0 .6)2 ( .6 x0)212 2x02-Z2 2(6 x0 )直线ME的方程为y y2J1(x x2),令 y 0,得 x xy2(x2 x1).当直线1AB与x轴垂直时，2 EA1EB22(12汉)662 ，x0将 y k(x由得44), V2k(X24)代入整理，得xy2 y12x1x2 4(x1 x2)八x1x?82x)2_2(6 %)6 x。2,解得x0.、326 x0,所以若存在点E,此时E( 73,0),232k2x22, 2x24k 12，64k2 4代入整理，得x 1, 4k 1所以直线ME与x轴相交于定点(1,0).22.已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4,且有一个焦点与抛物线y2 4j5x的焦点重合.1EA21 、，一 一2为定值2. EB2根据对称性，只需考虑直线AB过点E(J3,0)，设 A(xi, yi),B(X2, y2),又设直线AB的方程为(1)