初中一次函数典型应用题

1、近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。例1已知雅美服装厂现有 A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产 M N 两种型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9 米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获 利润50元。若设生产N种型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获 总利润为y 元。（ 1）求y 与 x 的函数关系式，并求出自变量的取值范围

2、；（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当 N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？例 2 某市电话的月租费是20 元，可打60 次免费电话（每次3 分钟），超过60 次后，超过部分每次0. 13 元。（ 1）写出每月电话费y （元）与通话次数x 之间的函数关系式；（ 2）分别求出月通话50 次、100 次的电话费；（ 3）如果某月的电话费是27. 8 元，求该月通话的次数。例 3 荆门火车货运站现有甲种货物1530吨， 乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂 A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费 是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0

3、.8万元。（1）设运输这批货物的总运费为y （万元），用A型货厢的节数为x （节），试写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和 乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输 方案？请你设计出来。（ 3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？例 4 某工厂现有甲种原料360 千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、 B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克， 可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种

4、原料4千克、乙种原料10千克，可获利 润 1200 元。（ 1）按要求安排A、 B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获总利润为y （元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？例 5 某地上年度电价为0. 8 元， 年用电量为1 亿度。 本年计划将电价调至0. 550. 75 元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y （亿度）与屋0.4） （元）成反比 例，又当 x =0.65时，y =0. 8。（ 1）求y 与 x 之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0

5、.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20% 收益=用电量X （实际电价一成本价）例6为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准： 每户每月用水未超过7立 方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立 方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为 x （立方米），应 交水费为y （元）（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x之间的函数关系式；（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费514. 6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过 7立方米的用户最多可能有多少户？例

6、7辽南素以“苹果之乡”着称，某乡组织 20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。（1）设用x辆车装运a种苹果，用y辆车装运b种苹果，根据下表提供的信息求y与 x之间的函数关系式，并求x的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为 W（百元），求W与x的函数关系式以及最大利润，并 安排相应的车辆分配方案。苹果品种ABC每辆汽布运载量（吨）2. 22. 12 1每吨苹果犹利（百兀）685解：（1）由题意得：2.2x 2.1y 2（20 x y） 42化简得：y 2x 20当y=0时，x = 10 . 1< x<10答：y与x之间的函

7、数关系式为：y 2x 20 ；自变量x的取值范围是：1<x<10的 整数。（2）由题意得：W 2.2 6x 2.1 8y 2 5（20 x y）= 3.2x 6.8y 200= 3.2x 6.8（ 2x 20） 200=10.4x 336,W与x之间的函数关系式为：y= 10.4x 336.W遁x的增大而减小当x=2时，W有最大值，最大值为：W最大值10.4 2 336 =315. 2 （百元）当 x=2 时，y 2x 20 = 16, 20 x y =2答：为了获得最大利润，应安排2辆车运输A种苹果，16辆车运输B种苹果，2辆车 运输C种苹果。同学们，从以上几例的解答过程中，你学

8、到了解决这类问题的基本思路和方法吗？小结：确定函数解析式，求函数值次确定自变量取值范围A 实际问题数学问题方案设计：利用不等式或不等式组及M意方案决策：最优方案：利用一次函数的性质及y(徵.克)图1一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备 受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考.一、图象型例1(2003年广西)在抗击“非典” 中，某医药研究所开发了一种预防“非 典”的药品.经试验这种药品的效果得 4 知：当成人按规定剂量服用该药后1小_ 时时，血液中含药量最高，达到每毫升5 3 微克，接着逐步衰减，至8小时时血液 2 中含药量为每毫升1.5微克.每

9、毫升血液 中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化 如图所示.在成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x<1, x>l时y与x之间的函数关系式;(2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的, 那么这个有效时间为多少小时？解析 本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数 知识是不难解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的 折线，可把它看成是两个一次函数图象的组合.(1)当x&l时，设y=kx将(1 , 5)代入，得 匕=5.y=5x.当 x>1 时，设 y=k2X+b.以(1 , 5) , (8 ,

10、1.5)代入，得 2 ,?111-X 1.2以y=2代入y=5x，得5 ；H以y=2代入22 ,得X2=7.6 故这个有效时间为 5小时.注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.二、预测型例2（2002年辽宁省）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减 少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函 数知识解决下列问题：（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000年份（X）200020012002入学儿童人数（y）252023302140解析 建立反比例函数，一

11、次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地k描述该地区入学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设底（k >0）,在三点（2000 ,2520)， (2001 ， 2330)， (2002， 2140)中任选一点确定k 值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数(1) &y=kx+b(k0),将(2000, 2520)、(2001, 2330)代入，得故 y=-190x+382520.又因为 y=-190x+382520 过点(2002, 2140),所以 y=-190x+382520 能较好地描 述这一变化趋势.所求函数关系式

12、为y=-190x+382520.(2) 设 x 年时，入学儿童人数为1000 人，由题意得-190x+382520=1000. 解得x=2008. 所以，从2008 年起入学儿童人数不超过1000 人 .注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确. 本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.三、决策型例 3(2003 年甘肃省 ) 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1 万元，其原材料成本价( 含设备损耗等) 为 0.55 万元， 同时在生产过程中平均每生产一件产品有1 吨的废渣产生. 为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理. 现有两种方案可供选择.方案一：由工厂对废渣直

13、接进行处理，每处理1 吨废渣所用的原料费为0.05 万元，并且每月设备维护及损耗费为20 万元 .方案二： 工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理. 每处理 1 吨废渣需付0.1 万元的处理费.(1) 设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y 与 x 之间的函数关系式( 利润=总收入- 总支出 ) ；(2) 如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.解析 先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解 .(1)y 1=x-0.55x-0.05x-20=0.4x-20 ；y2=x-0.55x-0

14、.1x=0.35x.(2)若 yi>y2,则 0.4x-20 >0.35x ,解得 x>400;若 yi=y2,则 0.4x-20=0.35x ,解得 x=400;若 yi<y2,则 0.4x-20 <0.35x ,解得 x<400.故当月生产量大于400件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400 件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400件时，选择方案二所获利润较大.注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使 我们作出的决策更合理.四、最值型 例4(2003年江苏省扬州市)杨嫂在再就业中心的支持下，创办了 “润扬”报刊零

15、售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.买进每份0.2元，卖出每份0.3元；一个月(以30天计)内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖 出120份.一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每 份0.1元退回给报社.(1)填表:一个月内每天买进该种晚报的份 数100150当月利润(单位：元)(2)设每天从报社买进这种晚报x份(120 0x0200)时，月利润为y元，试求y 与x之间的函数关系式，并求月利润的最大值.解析(1)由题意，当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300 元；当一个月内每天买进150份时，有20天可以全部卖完，其余1

16、0天每天可卖出 120份，剩下30份退回报社，计算得当月利润为 390元.(2)由题意知，当120&x&200时，全部卖出的20天可获利润： 20(0.3-0.2)x=2x( 元)；其余10天每天卖出120份，剩下(x-120)份退回报社，10天可获利润：10(0.3- 0.2) X120-0.1(x-120)=-x+240(元).月利润为y=2x-x+240=x+240(120<x<200).由一次函数的性质知，当x=200时，y有最大值，为y=200+240=440(元).注：对于一次函数y=kx+b,当自变量x在某个范围内取值时，函数值 y可取最 大(或最小)值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的 问题.五、学科结合型例5(2002年南京市)声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)是气温x( C) 的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：气温x( C)05