概率论与数理统计

1、11(五)王 柱 2013.03.142定义定义:随机试验随机试验E, 样本空间样本空间 =e,如果如果对于每个对于每个e ,都有一个实数都有一个实数X(e)与之对应。与之对应。这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在 上的单值实函数上的单值实函数 X=X(e) ，称为，称为随机变量随机变量。对于任意的实数集合对于任意的实数集合L,X L 表示事件表示事件 e|X(e) L 。又若又若, ( ,A, P) 为概率空间。为概率空间。令令PX(L)=P(e|X(e) L) , 则则 ( R, , PX ) 也也为为概率空间。概率空间。在其上令在其上令 X*=X*(x) =x，也是，也是随机变量随机

2、变量。注意注意 X 与与 X*取值的概率情况相同取值的概率情况相同3随机变量的随机变量的特性特性：1.随试验的结果而取不同的值随试验的结果而取不同的值;2.试验前试验前,能知道它可能的取值范围能知道它可能的取值范围, 却不能预知它确切的取值却不能预知它确切的取值;3.取值有一定的概率取值有一定的概率;4.定义域为样本空间定义域为样本空间S,值域值域 R;4定义定义:离散随机变量，离散随机变量，它全部可能取到的值是有限它全部可能取到的值是有限 个或可列无限个。个或可列无限个。显然，掌握一个显然，掌握一个离散随机变量离散随机变量 X 的统计规律，的统计规律，必需且只需必需且只需知道知道 “X 的所

3、有可能取的值，以及的所有可能取的值，以及取每一个可能值的概率取每一个可能值的概率”。设：离散随机变量可能取的值为设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,)称为称为离散型随机变量离散型随机变量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。 X 取可能值的概率为取可能值的概率为 pk =P(X=xk) (k=1,2,)Xx1,x2,xk,pkp1,p2,pk,5显然显然, 离散型随机变量离散型随机变量的的概率分布概率分布或或分布律，分布律，满足满足 1. Pk 0 , (k=1,2,) 2. 。 反之，满足这两点的反之，满足这两点的 pk 叫概率函数。它一定是叫概率函数。它一定是 某个某个离散型

4、随机变量离散型随机变量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。11kkp6（0）、）、( 0-1 )分布分布定义；定义；随机变量随机变量X只只可能取可能取 0 或或 1 两个两个值。它的分布律是值。它的分布律是 P(X=k)=pkq(1-k) , k=0,1 (0p1)称此称此X为服从为服从(0-1) 分布。分布。例如例如：性别，合格，扔币，标准。：性别，合格，扔币，标准。，且显然10p10kkkp7（1）、）、贝努利试验的贝努利试验的二项分布二项分布 将随机试验将随机试验E重复进行重复进行n次，若每次次，若每次试验的结果互不影响，即每次试验结果出试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不

5、依赖于其它各次试验的结果，现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。*设试验设试验E只有两个可能结果只有两个可能结果A和和Ac，P(A)=p,P(Ac)=1-p=q, (0p0 是常数。则是常数。则称称 X 为服从参数为为服从参数为 的的泊松泊松分布，记为分布，记为X ( )。 例例:呼叫次数呼叫次数,印刷错误印刷错误,遗失遗失信件信件,急诊人数急诊人数,交通事故数交通事故数,粒子计数粒子计数,.。，且显然10p0kkkp12 超几何分布与二项分布的关系。超几何分布与二项分布的关系。已经证明：已经证明：若当若当 时，时， （ 不变）不变），则，则

6、NpNM/mn,)(NqpCCCCmnmmnnNmnMNmM13泊松泊松定理定理: 0 是一常数是一常数, n是任意正整数是任意正整数,设设 npn= ,则对于任意固定的非负整数则对于任意固定的非负整数k,有有k!e)p(pckknnknknn1lim注意注意: 定理的条件定理的条件 npn= 意味着当意味着当 n 很很大时大时pn必定很小。因此，当必定很小。因此，当 n很大、很大、p 很很小时，小时，“右边右边”为为“左边左边”的近似式。的近似式。 !)1 (limkeppckknnknknn14例例05-105-1 已知一电话总机每分钟收到传呼次数已知一电话总机每分钟收到传呼次数 为一为一

7、随机变量，服从随机变量，服从 的泊松分布，求的泊松分布，求(1)(1)每分钟恰每分钟恰有有8次传呼的概率，次传呼的概率，( (2) )每分钟传呼次数大于每分钟传呼次数大于8的概率。的概率。解解 ：X4, 2 , 1 , 0,!kkekXPk0298. 0! 84!848ekeXPk0214. 0!/41!/4880494kkkkkekeXP15例例05-205-2 已知某自动机床产品的次品率为已知某自动机床产品的次品率为0.001，从，从产品中任取产品中任取5000个，求这个，求这5000个产品中次品超过个产品中次品超过5的的概率。概率。解：解： 设设5000个产品中次品数为个产品中次品数为

8、, ,则则于是所求概率于是所求概率 如果直接按二项分布公式计算，计算量很大。如果直接按二项分布公式计算，计算量很大。由于由于 很大，很大， 很小很小, ,这时这时 不很大不很大, ,可以利用泊松定理可以利用泊松定理, ,可得可得 X)001.0 ,5000( BX5000650005000999. 0001. 05kkkkCXPnpnp505550616. 0!5!51515kkkkekekXPXP384. 0616. 015XP16例例05-305-3 某人进行射击，设每次射击命中率为某人进行射击，设每次射击命中率为 0.02，独立射击独立射击400次，求至少击中两次的概率。次，求至少击中两

9、次的概率。PX1=1-PX=0-PX=1=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =np=8, PX1=1-PX=0-PX=1 =1-e-8-8e-8=0.997 1. 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但只要试验次数很多但只要试验次数很多,而且试验是独立地进行的而且试验是独立地进行的,那末这一事件的发生几乎是肯定的。那末这一事件的发生几乎是肯定的。2. 如果射手在如果射手在400次射击中次射击中,击中目标的次数击中目标的次数竟不到两次竟不到两次,我们将怀疑我们将怀疑“假设假设”的正确性的正确性,即即认为该射手射击的命中率达不到

10、认为该射手射击的命中率达不到0.02。查指数函数表得查指数函数表得0.0003351717 由由假设假设推导出推导出“小概率事件小概率事件”; 再由此再由此“小概率事件小概率事件”的发生就可以推断的发生就可以推断 “假设假设不成立不成立 ” 。“统计推断原理统计推断原理” 18例例05-405-4.为了保证设备正常工作，需配备适为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备量的维修工人，现有同类型设备300台，台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是都是0.01。在通常情况下一台设备的故障。在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理。可由一个

11、人来处理。问问至少需要配备多少至少需要配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于时维修的概率小于0.01?解解:设需配备的维修工人数设需配备的维修工人数 N，同一时刻，同一时刻发生故障的设备台数为发生故障的设备台数为X, 则则,Xb(300,0.01)。所需的。所需的 N 满足满足 PX0.99。 =np=3用泊松泊松近似,查 (泊松分布表泊松分布表) N+1=919例例05-505-5 现有同类型设备现有同类型设备80台，各台工作是相互独立台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是的，发生故障的概率都是0.01。一台设备的故障能。一台设

12、备的故障能由一个人来处理。考虑两种配备维修工人的办法，由一个人来处理。考虑两种配备维修工人的办法，其其一是由一是由4人维护，每人负责人维护，每人负责20台台；其二是由其二是由3人共同人共同维护维护80台台。是比较这两种方法在设备发生故障时不。是比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率之大小？能及时维修的概率之大小？X “第第i人维护的人维护的20台中同时发生故障的台数台中同时发生故障的台数”。Xb(20,0.01)Ai “第第i人维护的人维护的20台中发生故障不能及时维修台中发生故障不能及时维修”。X1Y “80台中同时发生故障的台数台中同时发生故障的台数”。Yb(80,0.01)。Y

13、3np=0.2 近似得:P0.0175np=0.8 近似得:P0.0091)()(14321ApAAAAp20 2.2.3随机变量随机变量的的分布分布函数函数称为称为X的分布的分布函数函数。X的分布的分布函数函数F(x )是普通的函数是普通的函数。 表示表示 X落在区间落在区间 (- x 上的概率。上的概率。X的分布的分布函数函数 F(x ) 的的性质性质:10 F(x )是一个不减函数。是一个不减函数。20 0 F(x ) 1。 且左无穷远点为且左无穷远点为0, 右无穷远点为右无穷远点为1。30 F(x+0 )= F(x )，即，即F(x )是右连续的。是右连续的。 且间断点最多有可列个且间

14、断点最多有可列个。定义定义2.3.1 : X为一个随机变量为一个随机变量 , x 是任意实数是任意实数, 函数函数 xXPxF21 实际上，令实际上，令 P(- x = F(x ) , 则则 ( R, ,P )为一个概率空间。为一个概率空间。反之反之,一个一个函数函数 F(x ) 有有性质性质:1 10 0 F F( (x x ) )是一个不减函数。是一个不减函数。2 20 0 0 F F( (x x ) ) 1。 且左无穷远点为且左无穷远点为0, 0, 右无穷右无穷 远点为远点为1 1。3 30 0 F F( (x+x+0 )= )= F F( (x x ) )，即，即F F( (x x )

15、 )是右连续的。是右连续的。且间断且间断 点最多有可列个点最多有可列个。 对对任意实数任意实数x ,定义定义 X(x)=x ,则其为一个随机变则其为一个随机变量量 , 其分布其分布函数函数是是F(x ) 。22 例例05-605-6 设随机变量设随机变量 的分布律为的分布律为求求 的分布函数，并求的分布函数，并求 Xkp-1231/41/21/4XX32,2523,21XPXPXP解解 由概率的可加性，得所求分布函数为由概率的可加性，得所求分布函数为 3,41214132,214121,411, 0 xxxxxF 3, 132,4321,411, 0 xxxxxF23F(x )=PX x 为阶

16、梯函数为阶梯函数,跳跃点在跳跃点在xk 处处,跃度为跃度为 pk 。x321O11232图3 , 2 , 141 , 21 ,4141)21(21FXP214143)23()25(2523FFXP43214312)2()3(32XPFFXP24 一般一般离散型离散型随机变量随机变量的的分布函数分布函数： X 可能取的值是可能取的值是 xk (k=1,2,)， X 取可能值的概率是取可能值的概率是pk =P(X=xk) (k=1,2,)，因为有因为有xxkxxkkkpxXPxXPxF)( 这里和式是对所有满足这里和式是对所有满足 的的 求和。求和。这时的这时的分布函数分布函数 为阶梯函数为阶梯函

17、数, 跳跃点在跳跃点在xk处处,且最多有可列个，且最多有可列个， 跃度为跃度为 pk 。xxkk)(xF 设离散型随机变量的分布律为设离散型随机变量的分布律为 252.3 连续型随机变量连续型随机变量的的概率密度概率密度则则 称称 X 为为连续型连续型随机变量随机变量, 其中其中 f(x) 称为称为X的的概率概率密度函数密度函数,简称简称概率密度概率密度。定义定义2.3.1 : 随机变量随机变量X分布分布函数函数F(x ),存在非负函数存在非负函数 f(x) ,对于任意实数对于任意实数x,有有 F(x)为为 f(x) 在区间在区间(- x上的上的积分积分xdttfxF)()(注意，这时这时F(

18、x)为为连续连续函数函数。1026概率密度概率密度f(x ) 的的性质性质:10 f(x )是一个非负函数。是一个非负函数。1)(dttf30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在区间在区间(x1 x2上的积分。上的积分。40 若若f(x)在点在点x处处连续，则连续，则F(x )=f(x) 。20 f(x)在全区间上的积分为在全区间上的积分为1。x1 x20 xxf0)()()(xfxF )()()(21122121xxdxxfxFxFxXxPxx27例例05-705-7: 随机变量随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为（1）确定系数）确定系数 （2）求相应的分布函数）求相应

19、的分布函数（3）求概率）求概率解解:由由 其它,022,cosxxAxfA40XP AxAxdxAdxxfxx2sincos1222221A 其它022cos21xxxf28 424sin21cos21404040 xdxdxxfXP 420440FFXP2122212120 x,x,xsinx,)x(F求落在区间上的概率,用概率密度函数计算 用分布函数计算 29特别需要指出的是，对于连续型随机变量来说，它特别需要指出的是，对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值取任一指定实数值 的概率为零的概率为零, ,即即 。由由 在上面不等式中令在上面不等式中令 , ,并注意到并注意到 为连续型随机为

20、连续型随机变量变量, ,其分布函数是连续的其分布函数是连续的, ,即得即得因此因此, ,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时, ,可以不必分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间可以不必分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间. .例如有例如有 虽然虽然 PX=a=0，但，但 X=a并非是空集并非是空集(不可能事件不可能事件)。A空空,则则P(A)=0 ; 但但 P(A)=0不能得出不能得出A空。空。0 aXPa xaFaFaXxaPaXP00 aXP0 xXbXaPbXaPbXaP301.连续型随机变量连续型随机变量X一定一定具有具有概率密度概率密度f

21、X(x) ,-x;2.反之反之,有一个有一个非负可积函数非负可积函数f(x) , 其其在全区间上的在全区间上的积分为积分为1。 则它一定是某个连续型随机变量则它一定是某个连续型随机变量X的的概率密度概率密度函数函数. 实际上：实际上：令令FX(x)为该为该f(x) 特定的一个原函数特定的一个原函数(FX()=1), 记记 Px1 X x2= FX(x2)- FX(x1)则则 (R,P)为概率空间为概率空间,随机变量随机变量X(x)=x的的概率密度概率密度函数函数为该为该f(x)。31（1）、均匀分布）、均匀分布定义：定义：随机变量随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)=1/(b-a

22、),axb; =0, 其它。其它。其它, 0,1)(bxaabxf则则称此称此 X 在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀均匀分布。分布。-2-10123400.20.40.60.81（几何概率）（几何概率）32在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀均匀分布的分布函数分布的分布函数为为:bxbxaabaxaxxF10)( F(x)=0, xa ; =(x-a)/(b-a), axb; =1, b0)为常数为常数,称服从参数为称服从参数为,的正态分布的正态分布,记为记为N (,2)-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.437xdxexFxx,21)(222)

23、(正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为 xexfx22221正态分布的密度函数为正态分布的密度函数为38解释密度函数的图形解释密度函数的图形:xexfx,21)(222)(1.曲线关于曲线关于x= 对称对称 2.曲线在曲线在x= 处取到最大值处取到最大值 3.曲线在曲线在x= 处有拐点处有拐点,并以并以x轴为渐近线轴为渐近线4. 固定固定, 曲线以曲线以 位置参数位置参数5. 固定固定 , 越小越小曲线越高越尖曲线越高越尖特别特别,当当 =0, =1时称时称X服从标准正态分布服从标准正态分布此此时时,概率密度记为概率密度记为 (x),分布函数记为分布函数记为(x)-2-101234500.10.20.30.40.50.60.70.8 21f演示演示9