3求数列通项的一种简洁方法

1、求数列通项地一种简洁方法一一构造常数列题1(2008年高考天津卷理科第22题(部分)在数列Gn中，ai=1,其前n项和Sn满足nSn.(n+3)Sn=0,求数列坛地通项公式.解把nS=(n+3)Sn,(n+1)&丑=(n+4)&中相减，得an2_an1n3n1an2_an-1a?=3得数列一夷一,也是常数列,n(n1)(n2)(n3)一(n1)(n2)所以数列j独、是常数列，再由(n+1)(n+2)J所以a11n(n1)221，八a-n(n1)2(1990年日本千叶大学入学试题)在数列a中，a=2,3(a+a2+a“)=(n+2)an,n在N*,试求数列an地通项公式an与前n

2、项和Sn.解由3(a+a2+an)=(n+2)an，得3Sn=(n2)(Sn-Sn)(n一2)n&1-(n3)Sn=0(nN*)同题1地解法，可得an=n(n+1)(n在n*),再将此式代入题设，可得1&=n(n1)(n2).3题3(2006年高福建卷文科第22题(部分)已知数列0满足a=1,a2=3,an七=3an+-2an,求数列n地通项公式.解由an如=3an十一2an，得所以数列Gn*2an是常数列，得an1-'2an=a2-2a=1an1_an1an.11_an12n1=n?n1,2“12所以数列vp?是常数列，得an1a11=1,an=2n-1注下面给出求二

3、阶递归数列an（满足anH2=pan41+qan（q#0,a1,a2已知）通项地方法：/、碍an也xan好=（px）an老an.由q。0知，可选复数x（x#p、0）满足an2-xan1=(p-x)(an.1-xan)an2-xan1an1-xan(px)n1一(px)n所以数列了?是常数列，得a-xan_a2xaa*_xa=00,作_乂广(p-x)np-xp-x可设为nan1=xanUV若v=1,读者容易求解；若v#1,得an*+yvn*=xan+(u+yv)vn,选y=u+yv即y=,得1-vn1nan1yv=xanyv所以数列«an+yvn是常数列，得nxanyv=xayvnxa

4、1yv_yvan=x题4(2013年高考湖南卷文科第19题)设Sn为数列an地前n项和，已知a1=0,2an-a=S1Sn,nN*.(1) 求ai,a2，并求数列an地通项公式；(2) 求数列nan地前n项和.解(1)a1=1,a2=2,an=2.(2)设数列na”地前n项和为Tn,由待定系数法，可得"-n2n1=Tn-(n1)2n即数列Tn(n1)2n是常数列，可得数列nan地前n项和是Tn=(n1)2+1.题5(2013年高考山东卷理科第20题)设等差数列an地前n项和为Sn,且S4-4S2,a2n=2an1.(1) 求数列Gn地通项公式；(2) 设数列如地前n项和为Tn,且Tn

5、+a；n1=，(舄为常数)，令Cn=2n(n企N*),求地前n项和Rn.解an=2n-1(2)可得bn=n2(n芝2)，所以Cn=n1(n"N*).24由待定系数法，可得Rn"'111n4Rn_(n-1)一1即数列Rn+卜(n1)_39411.一1+一|卜是常数列，可得Rn=949题6(2013年高考江西卷理科第17题)正项数列地前n项和S满足Sn，所以(n2)2-(n2n1)Sn_(n2n)=0.(1)求数列&地通项公式an；n项和为Tn,证明：对任意地nN*,都有令bn=2，数列Sn)地前(n2)an5<一64解(1)an=2n.11得bn=16|

6、肝11【=Irn_2_2_2_216(n+1)2(n+2)2(n+2)2(n+3)2十111Tn书+I+216(n+2)2(n+3)2十111=Tn+一.|+216：(n+1)2(n+2)21一1Tn+-|16e3数列，可得5:.64Tn_±11一64一16»+1)2(n+2)2一题7(2014年高考广东卷理科第19题)设数列an地前n项和为Sn,满足2*Sn=2nan书3n4n,n泛N，且S3=15.(1)求a，a2,a3地值；(2)求数列an地通项公式.解(1)a=3,a?=5,a3=7.(2)由(1)可猜想an=2n+1,接下来可用数学归纳法证明此结论成立.也可这样简

7、解：可得2nan*=(2n1)an+6n+1,再得2n(af2n-3)=(2n1)(an2n-1),所以数列(2n1)(an2n1)是常数列，得(2n1)(an2n1)=1(a11)=0,an=2n+1.题8(第26届(2000年)莫斯科奥林匹克试题)已知数列an满足a,2:a1=a2=1,an+=，求证：数列a地各项都是整数证明由数学归纳法可证数列a地各项都是正数.还可得气+气=an+2，尢殆十=为小+2,把它们相减后，可得an3.an1an2.an即数列尸斗*an?是常数列，所以冬土1=区呈=4,an+=4an+an.又aa1,所以、an*Jan+a2由数学归纳法可证数列an中地各项都是整

8、数.题9已知数列an满足&=a2=a3=1同半=空里四，求证：数列an地各项都是an整数.证明由数学归纳法可证数列an地各项都是正数.还可得an斗an=3“邑半+1,an*an+=an4_an牛+1,把它们相减后，可得即列a2n+=2a2na2n1,a2n*=3a2n牛a2n(a1=a2=a3=1)，所以由数学归纳法可证数列妇地各项*1进而可得都是整数.题10(2013年清华大学保送生考试数学试题第1题)求证：n官n3i；2n+2打4/_Z.1尸(nN*)日！2I12:n+2n+4-kl,hN.'12一Sn6-n3'Wn3Vl3)应J+J3!2J-3"尸22可

9、设n=3k+r(k*N,r=0,1,2),得3kr-3k13kr-3k2r1r3k922=&3k4项-可证I空l+|L=r(r=0,1,2),所以IL2_2(n+6f+2(n+6)十4I一n2+2n+4Tn=|n+4+)=Tn+n十4-12!12一所以Sn6-Tn6-Sn-Tn(n'N).又So=To=0,S1=Ti=0,S2=丁2=1,，3=丁3=1,，4=丁4=2,，5=丁5=3,所以数列&Tn（nwN）是常数列。,得欲证成立.题11（2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题第12题）设数列么满足a二伉=2尚顼心（n一3）.an_2（1）求数列稣地通项公式；（2）

10、求证：对任意正整数k,<02二和巨都是整数.2解（1）由数学归纳法知an0（nwn*）.可得2an1and=an22an1,ananw=an2an1(n3)相减后,可得an*W*2=an+2（门n3），即数列j王空M>是常数列ananan-1可得a3=9,所以n=6,an书=6an书an2.人.1一.令an=bn+，得bn42=6bn41bn.2.可求得a=(32、2广(3-22)"2n4由地结论，得(322)k(3-2.2)k4.a2k4=-2一、n2jQkJ-2jQ3jCk-1322j'ik4,jNa2k=(.2伊(.2-1)2i:七；*j=0所以欲证成立版权

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