微积分基本公式

1、微积分基本公式与不定积分微积分基本公式与不定积分第二节第二节三、微积分基本公式三、微积分基本公式 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 第四四章 例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义定义1可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数存

2、在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf

3、则则CxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数定义定义2：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .例例1 1 (1)求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解(2)(2) 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx由不定积分的定义，

4、可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx

5、说明：说明： xxx1)(ln, 0,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx(P190) dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 注意：注意：以上公式是求不定积分的基础，以上公式是求不定积分的基础，

6、必须熟记必须熟记！(14)shxdxchxC ；(15)chxdxshxC 此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况性质性质2.32.3（ 线性性质）线性性质） 不定积分的运算性质12其其中中为为不不全全为为零零的的常常数数(,)kk12( )( )k f xk g x dx 12( )( )kf x dxkg x dx 例例2 求求1 xxdx （ ）（ ）2(3)2.xdxx 1xxdx （ ）32x dx 5225xC 解解（ ）2(3)692(1)xdxdxxxx .ln912Cxxx 例例2 (3) 求.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)2

7、5)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C221(1) (1)xxdxxx 2221xdxx （ ）211 ()1dxxx ln| |arctanxxC21(1)1dxx arctanxxC解解421xdxx 42111xdxx 思考思考22111 xdxx（）3arctanxxxC1 13 32211(1)xxdxxx （ ）例例3 求求2221xdxx （ ）例例4 求求解解21tan xdx （ ）21tan xdx （ ）22sin2xdx （ ）2sin2xdx （2 2）2(sec1)xdx tan xxC1(1cos )2x dx 1(sin)2xxC

8、 2213sincosdxxx （）221(3) sincosdxxx 2211()sincosdxxx cottanxxC 2212sincos22dxxx （ ）22cos21sincosxdxxx （）思考思考 求求 这种利用这种利用恒等变形恒等变形、积分性质积分性质及及基本积分公式基本积分公式进行积分的方法叫作进行积分的方法叫作直接积分法直接积分法。不定积分的几何意义不定积分的几何意义: :)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族. .yxo0 x的积分曲线积分曲线 . 横坐标相同点

9、处的切线斜率相同横坐标相同点处的切线斜率相同.例例5 5 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察定积分考察定

10、积分 xadttf)(记记,.)()(baxdttfxxa积分上限的函数积分上限的函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数（或变上限的定积分）（或变上限的定积分）)(xfy xbaoyxxx 证明证明: :若若（）,xa b 则有则有( )()( )xxxxxx x ( )d( )xxxaaf ttf t dt ( )xxxf t dtx ( )f 在在 与与之之间间()xxx li

11、m( )xf ( )f x 积积分分中中值值定定理理当当时时，xx ( )x ()( )limxxxxx lim( )xf 如如果果)(xf在在, ba上上连连续续， 定理定理2.42.4 )()()(xfdttfdxdxxa ，)(bxa ( )x 当当或或 时时 同同理理可可证证,.xab （积分上限函数的导数）（积分上限函数的导数）定理定理2.4 （积分上限函数的导数）（积分上限函数的导数）定理的重要意义：定理的重要意义：1、揭示了揭示了2、定积分与原函数之间的定积分与原函数之间的联系联系.注意注意:(1) 法则适用的条件法则适用的条件:( )( )f t dtf x dx被被积积表表达

12、达式式必必须须是是“”或或“”,.)sin(0baxdttxdxdx计计算算例如：例如：解：解：, txu令令,uxt则则duudttxxx00sin)sin(则则duux0sinxxududxddttxdxd00sin)sin(.sinx为为内内层层函函数数的的复复合合可可以以看看作作一一个个以以)(d)()(xttfxa 函函数数，即即).(,)()(xudttfuua 复复合合结结构构为为则则知知，则则由由复复合合函函数数的的求求导导法法dxduttfudxduduudttfxuaxa d)(dd)(d)(dd)( ).()()()(xxfxuf ?d)(dd)( xattfx 思考：思

13、考：证：证：)()(d)(dd)(xxfttfxxa推广：推广： (1)(1)()(d)(dd)(xxfttfxbx(2)(2) 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为推广：推广： )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF(3)(3)例例632(1)xtade dtdx 2sin(3)ln(2)xxdtdtdx 0(5)( )xd

14、xf t dtdx 623xx eln(sin2)x cosx22 ln(2)xx0( )( )xf t dtxf x 0 ( )xdx f t dtdx 0( )xxf t dt （）设设，求求20(4)cos(0),()xyt dtyy (0)cos01, ()cos1yy 02(2)1xdt dtdx 21x 2( )cosy xx 所确定的函数所确定的函数求由方程求由方程1sin2210 dtttdtexyt.)(dxdyxfy的导数的导数 解解求导得求导得方程两边关于方程两边关于 x，02sin222 xxxdxdyey.sin222yexxdxdy 例例7 积分上限函数求导公式的应

15、用举例积分上限函数求导公式的应用举例 21222coscoscostduuuttytx，设设222dyd ytdxdx 求求及及在在处处的的值值解解2( )2 sinx ttt ，tdxdy ，因此因此22 dxdy例例8 222221( )cos2sincos22y ttttttt ，22sin2tt 22d ydx.21222 dxyd(0)t dydtdtdx 212 sintt ，例例9 9 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xe

16、xxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用型不定式，应用洛必达法则洛必达法则.例例10.10. 确定常数确定常数 a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c证法一：证法一： xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)

17、()()()(200 xxdttfdttftxxf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.证法二：证法二：2000)()()()()()( xxxdttfdttftxfdttfxfxxF，200)()()()( xxdttfdttftxxf( )0(0).Fxx ，再由再由积分中值定理积分中值定理，得，得( )(0,)F x 故故在在内内为为单单调调增增加加函函数数. .)., 0(,

18、 0)()()()(0 xfxxdttftxx证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf又又)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令上上连连续续，且且在在显显然然1 , 0)(xF. 0)(0,1), F使使则则由由零零点点定定理理可可知知定理定理2.52.5三、微积分基本公式（牛顿三、微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）莱布尼茨公式）( )= ( )|( )( )bbaaf x dx

19、F xF bF a ( (N NL L公式公式) )上上的的一一个个在在区区间间是是连连续续函函数数设设,)()(baxfxF原原函函数数，那那么么)()()(aFbFdxxfba ( (微积分基本公式微积分基本公式) ) ( )baF x注注(1)(1)揭揭示示了了定定积积分分与与原原函函数数的的联联系系ab (2)(2)公公式式对对“”也也成成立立. .提提供供了了求求定定积积分分的的一一个个简简便便的的算算法法. .解解例例13120(1) x dx 20(3) 1sin xdx 121(2) dxx 120(1) x dx 1301 3x1 =3121(2) dxx 12 ln| | x =- ln 220(3) 1sin xdx 0 |cos|x dx 202 coscosxdxxdx 202 sinsinxx 2 例例14 设设 ，求，求 . 215102)(xxxxf， 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx.6 xyo12120 = 5x xdttfxFxxxxxf02)()(2110)(，求求，设设解解时，时，当当10 x xdttfxF0)()(，331x 例例15 0,2在在上上的的表表达达式式并并讨讨论论其其连连续续性性 xdtt02