数学实验：2-斐波那契数列

1、斐波那契数列斐波那契数列实验一实验一斐波那契，意大利数学家列昂纳多斐波那契，意大利数学家列昂纳多斐波那斐波那契（契（Leonardo Fibonacci，1170-1240，籍贯大概是比萨）。他被人称作籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的比萨的列昂纳多列昂纳多”。1202年，他撰写了年，他撰写了珠算原珠算原理理（Liber Abacci）一书。他是第一个）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列

2、昂纳多因此得以在一个阿拉伯亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。学。一、实验目的一、实验目的认识认识Fibonacci数列，数列，体验发现其通项公式的过程。体验发现其通项公式的过程。 了解了解matlab软件中，软件中，进行数据显示与数据拟合的方式。进行数据显示与数据拟合的方式。 提高对数据进行分析与处理的能力。提高对数据进行分析与处理的能力。 二、问题描述二、问题描述 一般而言，兔子在出生两个月后，一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔

3、子每个月就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？殖多少对兔子？三、问题分析三、问题分析21nnnFFF称为称为Fibonacci数列数列。递推公式：递推公式：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，兔子对的兔子对的数目数目依次如下：依次如下： 所求答案所求答案：Fibonacci数列的第数列的第12项。项。Fibonacci数列的数列的一般规律一般规律是什么？是什么？四、背景知识四、背景知识plot(y)或plot(x,y) ：画一条或多条折线图。画一条或多条折线图。 x-

4、点列的横坐标，点列的横坐标，y-点列的竖坐标点列的竖坐标。 polyfit (x,y,n) ：多项式曲线拟合。多项式曲线拟合。(x,y)-点列的坐标，点列的坐标，n-多项式的阶多项式的阶。例例:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;拟合：拟合：p=polyfit (x,y,2); 结果：结果：0.2676 -3.6053 13.4597数值数值：f = polyval(p,x);五、实验过程五、实验过程 NnFnn, 2 , 1),( 查看代码( , log),1,2,nnFnN 查看代码 log()0.8039+0.4812nnF n0.4476

5、 1.6180nF 即：查看代码( ,),nn F 0.4476 1.6180 xy 查看代码查看代码0.7768+0.4799yx ( , log(),1,2,nnFnNnnFCr猜测，通项公式：210rr 2/ )51(2, 1 r解得：(15)/2)nnFC121 FF将上式代入递推公式中得：考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：然而然而,上式并不满足：上式并不满足：nnnFCrCr215(,1)2nnnbFCrrrr构造数列：进一步修正进一步修正nb可得数列 仍然满足那个递推公式nnnbbCr因而猜测 的通项形式：21(15)/2rrrr其中，也满

6、足方程，故这样，得到这样，得到Fibonacci数列通项的新猜测：数列通项的新猜测：5/ 2/ )51(2/ )51(nnnF 这样，得到这样，得到Fibonacci数列通项：数列通项：称为称为比内公式比内公式。(Binet，法国，法国，1843年发现年发现)1211/ 51/ 5FFCC 由条件，确定，21nnnFFF 21rr 1,2(15)/2r 12(15)2(15)2nnnFCC 1215,15CC (15)2(15)2 5nnnF 六、结论与应用六、结论与应用 (15)2(15)2 5nnnF 5/)2/ )51(nnFn 时，之间。与的阶在故nnnF2)2/3( 215 G黄金分

7、割数1(15)2( 51)2) 1(511nnnnGGF 214322121225432FFFFFFGFFFFFFnnnn1512nnnFLimGF1nF1 -1 0 0 0 01 1 -1 0 0 00 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 。显示Fibonacci数列前n项function plotfibo(n) %显示Fibonacci数列前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来返回显示

8、取对数后的前n项function plotlnfibo(n) %显示取对数后的前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束fn=log(fn) %将原来的数据取对数plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来返回根据取对数后的数据，拟合出线性表达式 function fitlnfibo(n) %先取对数，再拟合fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将

9、第i项添加到数组fn中end %循环结束xn=1:n; %定义横坐标fn=log(fn) %将原来的数据取对数polyfit(xn,fn,1) %拟合装有数列前n项的数组返回显示拟合数据与原始数据的前n项function plotfibo2(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,0.4476*1.618i; %将第i项添加到数组fn1中end fn2=1,1; %装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n %fn2的第3项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %将第i项添加到数组fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,r*) %显示, fn1兰线，fn2红星返回显示取对数后的拟合数据与原始数据function plotfibo3(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,-0.8039+0.4812*i; %将第i项添加到数组fn1中