揭阳市届高中三级学业水平考试(理数参考答案)

1、揭阳市2022届高中三年级学业水平考试数学理科参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题：D D A B A C C B C D C D 解析：7.由函数y f (x)的图象关于直线 那么 f (m 4) f (4 m) f2

2、(2x (sin 2x)228. f(x) cos2 x s inxm)1 12对称得f(2 x) f(2 f2cos4x42(2m) f(m)1(1 cos4x),8故 f(X)max9.依题意知, 框图易得当-4设汽车2x年后的价值为 S,那么S 15(120%)x,n 4 时，S 15(1 20%)46.144 .结合程序10.依题意知该几何体如右图示：故其外表积为3 62622162 18、3.11.圆 x2 y2 2. 3x 4、,3y 70 即(x 、3)2(y2-、3)2(2、2)2 ,所以C( .3,2. 3),|AC|BC| 2运，由AC BC 4 得 cosACB丄，所以圆

3、心C到直线| AC | | BC |2x y a 0的距离d312.函数 f(x) 2x直线y a与函数g(x)(,1)上单调递增，在la_331 2 血 cos V6，故 a V3 或 53 . 、2 62ax1存在唯一的零点，即方程2x3 12 的图象有唯一的交点，x1,0)上单调递减，在(0,322x ax由 g '(x)10有唯一的实根32(x1)，可得 g(x)在3x)上单调递增，所以当 xg(x)有极小值，g(x)极小g( 1)3 ,故当a 3时，直线y a与函数g(x)1时，2x3 1的图象有唯一的交点.或因f (x)6x2 2ax,由f (x) 0得x 0或x -，假设

4、a 0显然f (x)存在唯一3的零点，假设 a 0 , f (x)在(，0)和(-,)上单调递减，在(0,空)上单调递增，且33f(0) 10,故f(x)存在唯一的零点，假设a 0,要使f(x)存在唯一的零点，那么有af()0,解得a 3，综上得a 3.31,(n 1)二、填空题：13. 9; 14. 20; 15.2 2 ; 16.1.(n 2) n(n 1)解析：15.设正方体的棱长为x，把半球补成全球，那么问题为长、宽、高分别为x、x、2x的长方体内接于球,x2x2(2x)2 (2J3)2，解得x ,2，所以正方体的体积为 2. 2 .16.由也Sn 1Sn1Sn 11 (n 1) (

5、1) n，1,(n11)n(n 1).(n2)三、解答题：17.解：I A、C 为 ABC 的内角,由、 3csin AacosC 知 sin A 0,cosC0 ,结合正弦定理可得:3 sin AcosCsin Asin CtanCII丨解法 c2a,b 2.3 ,由余弦定理得:4a2整理得:a22a 4解得：a2.51、5其中负值不合舍去 a .5 1，由S ABC丄absinC得2ABC的面积S ABC.3(、5 1)12 分【解法2 :由c 2a结合正弦定理得:sin A1 sin Ct a c, A C, cos A 1 sin A154 sin B sin(A C) si n(AC

6、)sin AcosCcosAs inC= 342.154由正弦定理得:bsin Asin B10 分 ABC的面积1ABC 严inC2 (鳥1)彳乜£现5 1)12分】18解：I丨当n 当 n 19时，f(n)20 时，f(n) 500 20 200 (n 20)500 n 100 (20 n) 600n 2000200n60002 分4 分所以f(n) 6鹽6000(n 20) (n N)2000 (n 19)BB1分X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1II由1得 f (18)8800, f (19)9400,6 分f(20)10000,

7、 f (21)10200, f(22)10400,7 分P(X 8800)0.1,P(X9400)0.2,P(X 10000)0.3,P(X10200)0.3,P(X10400)0.1,9 分X的分布列为P(X 8800)0.1,P(X9400)0.2,P(X 10000)0.3,P(X10200)0.3,P(X10400)0.1,9 分X的分布列为EX 8800 0.1 9400 0.2 10000 0.3 10200 0.3 10400 0.1 9860. -一-12分19.I)证法1:连结AC1,设AC1与A1C相交于点E，连接DE,那么E为AC1中点，2 分/ D 为 AB 的中点，

8、DE / BC1, 4 分T BC1 平面 A1CD , DE 平面 A1CD , 5 分 BC1 / 平面 A1CD.6 分【证法2 :取A1B1中点D1，连结BD1和C1D1 , -1分t BD平行且等于AD1 四边形BD AD1为平行四边形- AD/BD12t A1D 平面 ACD , BD1 平面 ACD- BD1 /平面 ACD ,3 分同理可得C1D1 /平面ACD4 分BD-'! C1D1 D1平面 A)CD / / 平面 BD1C1又t BC1 平面BD1C1 BC1 /平面 A1CD. 6 分】2 2 2(II) t AD +AiA =5=AQ/. A,A I AD,

9、7 分又 BB BC,BB/AiA: AA BC ,又 ADPlBC B ：AA_面 ABC8 分 法一：设BC的中点为O, BiCi的中点为0i，以0为原点，0B所在的直线为x轴，00i所在的直线为y轴，0A所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系 0 xyz. 1- A。 (P 2,平面CBBQ的一个法向量n = (0,0,1),I cos AD, n |11510分12分分B1C11【法二：取B1C1的中点H，连结AH，那么AH.15所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为 10I AD I I n |10【法三：取B1C1的中点H，连结AH，那么AHB1C1因为D为AB的中点，故A

10、F 2J5，又AHsin AFH -3 壬251071512分】即直线A1D与平面BCC1B1所成的角的正弦值为 - AA 面 ABG，故 AA1 A1H , BB1 AH/ B1C1 BB1 B1, A1H 平面 BCC1B1取A3中点M，连结BM，过点M作MN / /AH，那么MN 平面BCC1B1，连结 BN，: AQ/BM ,MBN为直线A1D与平面BCCiBi所成的角,MNsin MBNBMAH2 _A1D2,510.3J15-10 分1即直线AiD与平面BCCi Bi所成的角的正弦值为151012 分】20.解：Ib 0)，2 2设椭圆C的方程为冷爲 1(aa b那么由题意知2b=

11、2,；b=1.x-ix22 220k x x 20k52, x1x2 2 1 5k* 21 5k210 分又 MA 1 AF,MB2BF,将各点坐标代入得 1, 22 x12 x2X|x22x-i2x21 5k1 5k2,40k2220k54 221 5k1 5k2(为 x2) 2x|X24 2(x1 x2) x-ix22 240k40k10【证法二：设点 A、B、M 的坐标分别为 A(x1, y-i), B(x2, y2), M (0, y0).易知F点的坐标为2, 0." 2 1MA 1AF,(兀， y°)1(2 为，yj.二花-1-,y11y。1 11将A点坐标代入到

12、椭圆方程中，得1 (5 1-L)2 (亠)21.去分母整理得1 1 1210 15 5y20.同理，由MB 2 BF可得22210 25 5y0010 分是方程2 101 2 10.21.解：I f (x)5v 20的两个根，0b2 ,且直线y 2的斜率为0，又过点(1,2)，x12分】f(1)2,f (1)12,b 1, a b解得a 1,b0,1.II丨当x f(x)区:1时,k)ln xx 1不等式(x 1)ln xx2 1(x k)lnx2 1(k 1)ln xx0.令 g(x)(k1)ln'1,g (x)xx2 (k 1)x2x令 m(x)1, 21当2x2(k1)x 1，1

13、,即 k 1 时，m(x)在(1,)单调递增且m(1) 0，所以当x 1时，g (x)0，g(x)在(1,)单调递增，g(x) g(1)0.即 f (x)(x k)lnx恒成kk)上单调递减，且m(1)0,故当x立.9分1k1当1,即k1时，m(x)在上(1,2 2时，m(x) 0 即 g (x)0,1 k所以函数g(x)在(1,宁)单调递减,10 分1 k 当x (1,2 )时，g(x) 0,与题设矛盾,综上可得k的取值范围为1,).12 分22解：IEP 与O O 相切于点 A , ACB PAB 25°，AOB又BC是O O的直径，ABC 65°3 分-四边形ABCD

14、内接一于O O, ABC D 180°D 115°.5 分II丁 DAE 25°, ACD PAB, D PBA,ADC - PBA.7 分DA DC.8 分BP BA又 DA BA, DA DC BP.1° 分23解：I直线I的普通方程为-3x y 4° , 2 分 曲线C的直角坐标系方程为 x2 y2 16.IIO C的圆心°, °到直线I 3x y 4°的距离4.(;3)2 122,12,2'1八“二 cos AOB2AOB亍故AOB1°24.解:I由题意，得fXf(x1) |x 1| |X 2| ,因此只须解不等式|x 1|