数学建模期末考查作业

1、数学建模期末考查作业一、某化工厂生产 A,B,C,D四种化工产品，每种产品生产 1吨消耗的工时，能 源和获得的利润如下表：产品ABCD工时/小时10025038075能耗/吨标准煤利润/万元2581该厂明年的工时限额为18480小时，能耗限额为100吨标准煤，建立能使该厂明年的总利润最高的数学模型，并利用MATLAB写出简单的求解程序。解：设该厂明年生产A，A2，A3，四种产品的数量分别为 花，X2，X3，X4单 位：t总利润为z。约束条件：工时限额：100x,250x2380x375x418480能耗限额：0.2x10.3x2 0.5x3 0.1x4100确定目标函数：Z2x1 5x2 8x

2、3 xmaxZ 2x1 5x2 8x3 x4100x1250x2380x375x418480s.t. 0.2x-i 0.3x20.5x30.1x4100xi0,且xi N i 1,2,3,4求解：model:max=2*x1+5*x2+8*x3+x4;100*x1+250*x2+380*x3+75*x4<=18480;0.2*x1+0.3*x2+0.5*x3+0.1*x4<=100;gi n(x1);gi n(x2);gi n(x3);gi n(x4);endGlobal optimal solutio n found.Exte nded solver steps:0Total s

3、olver iterati ons:0Row Slack or SurplusDual Price分析：由程序及结果可知，当四种化工产品生产数量分别为x1=2, x2=0, x3=48,X4=0时，该厂利润取最大值，最大值为 388万元。二、某单位将用三个月时间开发一项新产品，其间的材料、工资及销售费用等 均需支付，而此项生产的收益都要到产品销售后三个月才能获得。因此，该单 位必须做好资金的筹措工作。此单位目前可以提供的内部资金只有3000元，可提供的组装工序的工时为2500h，调试包装工序的工时为150h，两种不同型号 所需工序时间、本钱及售价如下表所示：型号所需工时h本钱售价兀组装调试包装

4、单位本钱单位售价边际利润A12150588B25210012020最初投入市场至少需要 A产品50件、B产品25件。该单位向银行贷款，银 行同意总数不超过10000元的短期贷款。银行的条件是借贷期的利率为每年借 贷款额平均额的12% ;此外要求信贷保证：安排产品生产的现金和生产产品的 应收帐款不得小于未归还的借款额与三个月未到期的利息的两倍之和。这样的 情况下，该单位应如何考虑产品生产与银行贷款。1、问题分析与建模设单位生产的产品A数量为x1,产品B的数量为x2,银行贷款的金额为x3, 获得的利润为z。由题意可知此题是要求得出 x1、x2、x3的值使得单位获利最 多。根据可提供的组装工序的工时

5、为 2500 h，即产品A与产品B的组装时间 不能超过2500h，由此可以得到方程：12*x1 +25*x2 <=2500(1)根据可提供的包装工序的工时为150 h，即产品A与产品B的包装时间不 能超过150h,由此可以得到方程： x1 +2*x2 <=150(2)根据题目所述安排产品生产的现金 3000 元和生产产品的应收账款58*x1+120*x2不得小于未归还的借贷款额x3与三个月未到期的利息的两 倍之和，其中销售后三个月末的利息为贷款额的6%。可以列出方程：3000+58*x1+120*x2>=x3+2*x3*6%整理可得方程： 1.12*x3-58*x1-120*

6、x2<=3000(3)由生产产品的本钱要少于生产资金的关系又可得到一个方程：50*x1+100*x2<=3000+x3整理可得： 50*x1+100*x2-x3<=3000(4)另外题目中对产品数量及贷款金额还有明确的限定： 产品A不得少于50件, 产品B不得少于25件，贷款金额不能多于10000元。即有约束条件：x1>=50, x2>=25， x3<=10000。而获得的利润为产品边际利润的总和减去银行贷款六个月的利息，计算的 公式为 z=8*x1+20*x2-0.06*x3 。根据以上对题目的分析可以建立以下模型：目标函数： max(z)= 8*x1+2

7、0*x2-0.06*x312* x1 25* x2 2500x1 2* x2 1501.12* x3- 58* x1-120* x2 300050* x1 100* x2-x3 3000约束条件x1 50x2 25x3 100002、程序代码model: max=8*x1+20*x2-0.06*x3;12*x1+25*x2 <=2500;x1+2*x2<=150;1.12*x3-50*x1-100*x2<=3000;50*x1+100*x2-x3<=3000;x1>=50;x2>=25;x3<=10000;gin(x1);gin(x2);gin(x3)

8、;EndGlobal optimal solution found.Extended solver steps:Total solver iterations:Reduced CostVariable ValueRow Slack or Surplus Dual Price3、结果分析经计算得出结果如以下图所示：x1=50, x2=50, x3=4500。也就是说单位在 考虑产品生产与银行贷款是要向银行贷款 4500元，生产产品A件数为50件、产 品B件数为50件能够获得最好的收益1130元。三、某工厂生产A、A2两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序, 如果每天可用于零件装配的工时只

9、有 100h，可用于检验的工时只有 120h，各 型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示：产品可用工时工序AA装配23100检验42120利润(元/件)64(1)试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案;(2)对产品A1的利润进行灵敏度分析；(3 )对装配工序的工时进行灵敏度分析；(4)如果工厂试制了 A3型产品，每件A3产品需装配工时4h，检验工时2h， 可获利润5元，那么该产品是否应投入生产？问题分析：原问题即是线性规划问题。1、2、3小问也即是线性规划问题中关于灵敏度 分析中的分析C的变化范围、分析bi变化范围、增加一个约束条件的分析。于 是，上诉问题都可通过灵敏度分析

10、的步骤运用单纯形表法得以解决。第一小问，建立线性规划模型，用单纯形表法求最优解，同时可为第二、三 小问做准备。第二小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的Cj的变化范围分析。将A1的利润变为6元，以入的取值范围进行分析。第三小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的 bi变化范围分析。将装配工序工时变为 100 h，按公式1: 算出b，将其加到基变量列的数字上，然后由于其对偶问题仍为可行解，故只 需检查原问题是否仍为可行解。第四小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的增加一个约束条件的分 析。只需参加约束条件建立新的线性规划模型，通过LINGO程序直接获得新的最优解。模型的建立和求解：1建

11、立模型maxZ 6x! 4x22xi 3x2 100s.t. 4x1 2x2120x1, x20x1, x2 NZ表示总的利润，X1、X2分别表示两种型号生产数量。添加松弛变量X3、X4，列出单纯形表：6400Cb基bX1j X2X3X40X310023100X41204201Cj-Zj6400求得最终单纯形表:010-3/2Cb基bX1X2X3X44X220011/2-1/46X1 2010-1/43/8 :Cj-Zj-6-3-1/2-11/4得最优解为X2=X1=2O,即最优方案为A1、A2两种型号各生产20件。得最大 利润200元。2将A1的单件利润改为6元，得如下新的线性规划问题，通过

12、 变化分析原问题的灵敏度。maxZ ( 6)x1 4x2 0x3 0x410012002xi 3x2 X3st. 4x1 2x2 x4Xi,X2,X3,X4 x1,x2 N上述线性规划问题的最终单纯形表:表101-"2°-3/2- /4Cb基bX1X2：X3X44X220011/2-1/46+入X120101/43/8Cj-Zj-6-入-3-2/2-1/2+3 /2-11/4-5 /8表中解的最优条件是:6 03/2 01/2 3/2 0 11/5 5/8 0B11/21/420,b1/43/8203时满足上述要求由此推得当 88/253由表1可知由公式1有:1/21/4/2b1/43/80/4使问题最优基不变的条件是20 /2b b020/4由此推得40804) 加放产品A3,建立新的线性规划问题：maxZ 6x1 4x2 5x32x1 3x2 4x3100s.t. 4x1 2x2 2x3120X1.X2.X30X1.X2.X3 N用 LINGO 求解，程序代码如下： model :max=6*x1+4*x2+5*x3;2*x1+3*x2+4*x3<=100;4*x1+2*x2+2*x3<=120;gin(x1) ;gin(x2)