激光原理 第六版 周炳琨编著2章d

1、自再现模所应满足的积分方程分离变量法方形镜对称共焦腔镜面场分布（长椭球函数）厄米-高斯函数圆形镜对称共焦腔镜面场分布（超椭球函数）对称共焦腔拉盖尔-高斯函数N近似镜面场分布镜面场分布空间行波场分布空间行波场分布本征值本征值 D，n nmnq腔内、外行波场腔内、外行波场基模高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、本征函数本征函数镜面上光斑，模体积镜面上光斑，模体积fw 0空间场分布空间场分布光斑、相位光斑、相位 201fzwzw zfzzR2f22e1衍射损耗1、证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价：020000zfzzffzfzR2222212111zfzzRRzfzzRR111021

2、RLRL可以证明R1, R2, L满足 共焦腔与稳定球面腔的等价性 ?任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价，而任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔12zzL是稳定球面腔的情况：，考虑0021zz2.8 一般稳定球面镜腔的模式特征2、证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔： 关键问题：已知 R1 , R2 , L 如何求出等价共焦腔位置及 f 值 2222212111zfzzRRzfzzRR12zzL 21122121RLRLLRLzRLRLLRLz 22121212RLRLLRRLRLRLf02f111021RLRL当可得推导中应注意对反射镜曲率的符号定义：凹面镜 R0。11

3、1021RLRL一、镜面上的光斑尺寸（基模） 201fzwzw 一般稳定球面镜腔的模式特征fzz,21将前面 的表达式带入，得到7 . 8 . 2116 . 8 . 204121210241211201412121222412112211LwggggwwggggwworLRRLRLLRRLwLRRLRLLRRLwsssssss zwrezwwEAzyxE22000000,稳定腔二、模体积（基模）9 . 8 . 2221141222122000021122100020021LLwVggggggVwwLVsss1212000000nmVVVVmnmn模体积（高阶模）对方形镜稳定腔：三、等相位面分布

4、： zffzfzfzzR2等相位面（2.8.4） 22121212RLRLLRRLRLRLf四、基模远场发散角：41212122121122ggggggggLf2zfz12L2lim22ze12 zzwz2lim0000121221VnmwwLVnsmsmn五、谐振频率：11. 8 . 22122,212,22zfzfarctgnmkfRrzkzrzfzfarctgnmkfRrzkzrmnmn方形镜圆形镜12. 8 . 22, 0, 02,12qzzzr2mnmnmnfzz,21表达式代入将14. 8 . 213. 8 . 2cos1212cos1122121ggarcnmqLcggarcnm

5、qLcmnqmnqnn方形镜稳定球面腔：圆形镜稳定球面腔：六、衍射损耗：2022swaLaN202022ssiwawaiiefN稳定球面镜腔的有效菲涅尔数Lws0共焦腔菲涅耳数共焦腔菲涅耳数 稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律时，两个腔的单程损耗应该相等。带入（2.8.6）和（2.8.7）19. 8 . 211211222121222222222121212211121221121ggggLaLRLLRRLRRawaNggggLaLRLLRRLRRawaNsefsef可以按共焦腔的Nmn关系，将有效菲涅耳数代入，分别求出对应的mn1和mn221. 8 . 22121mnmnmn共焦腔

6、 TEM00 近似公式 00=10.9104.94N 行波场相同共焦腔各模式的损耗单值的由N决定2.9 高斯光束的基本性质及特征参数一、基模高斯光束沿z轴方向传播的基模高斯光束，不管它是由何种结构的稳定腔所产生的，均可表示为： 2 .9 .21 .9 .2,112,0202220222200222fwwfzfzzffzfzfzzRRfzwzwkyxreezwczyxfzarctgRrzkizwr共焦参数腰斑半径等相位面曲率半径光斑半径 f 或w0为高斯光束的典型参数发散(+)会聚(-)二、基模高斯光束的特征参数1. 用w0 (或f )及位置表征； 已知 w0 (或 f) w(z), R(z),

7、等参数2. 用w(z)及R(z)表征; 已知 w(z), R(z) w0 , z 1222122011zwzRzRzzRzwzww 201fzwzww 21zfzzRR20wf fw 01、曲率不断变化的非均匀球面波；2、横截面内振幅/强度分布为高斯分布；3、等相位面始终保持为球面。基模高斯光束特点3. 高斯光束的q参数 fztgkziezwizRrikzwczyx1220012exp,(2-9-1) 改写为1/ q(z)q 参数 zwizRzq211(高斯光束的复曲率半径)q 参数物理意义：同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随z的变化 zqzwzqzR1Im1,1Re12 fzarctgRrzk

8、izwreezwczyx200222, 若已知高斯光束某一位置的q参数w(z), R(z)w0, z 若已知高斯光束某一位置的q参数 w(z), R(z) q 参数表征高斯光束的优点: 将描述高斯光束的两个参数w(z)和R(z)统一在一个参数中, 便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律 高斯光束三种描述方法的比较 00101120wiRqqifwiq200 zqzifzq0光腰处（z0）0 2020ww整理可得： 22020222011wzwzw,zwzzR zwizRzq211三、高阶高斯光束 13. 9 . 2221221,12122222fzarctgnmzqrzkinmmnfzarct

9、gnmzRrzkizwrnmmnmneyzwHxzwHzwCeeyzwHxzwHzwCzyx1、厄米-高斯光束横向场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积决定 zwrnmeyzwHxzwH2222mn光腰尺寸：15. 9 . 21212202202wnwwmwnmz 处光斑尺寸： 16. 9 . 212122222zwnzwzwmzwnm远场发散角： 17. 9 . 2122122lim122122lim0000nwnzzwmwmzzwnznmzm2、拉盖尔-高斯光束 18. 9 . 2sincos22,12222222mmeezwrLzwrzwCzrfzarctgnmzRrzkizwrmnmmnm

10、nmn横向场分布z 处光斑尺寸：光腰尺寸：012wnmwmn 20. 9 . 212zwnmzwmn21. 9 . 2120nmmn远场发散角：二、高斯光束通过光学元件的变换ABCD公式1.自由空间2.薄透镜(透镜焦距为F）球面波球面波Fll11121FRR111122211,lRlR发散(+) 会聚(-)l1l2R1R2S1S2物距 像距 焦距近轴情况FRR11112R1R2（薄透镜）12ww Fqq11112222211wiRq高斯光束高斯光束q1q2202101zqqzqqLqq12两式相减高斯光束高斯光束LRR12球面波球面波LRzzRRzRzR112122211,3. 光学系统传输矩

11、阵为 的光学系统112112DCrBArrDCRBARrR11222222Rr 111Rr 球面波高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同DCqBAqq1121122rDCBArABCD公式R1R212DCBA近轴光 , Lqq12Fqq11112FRR11112LRR12自由空间透镜球面波 高斯光束 zwizRzq2110时，q(z) R(z)，波动光学几何光学三、用q参数分析高斯光束的传输问题已知：w0, l, F求：通过透镜后lc处，高斯光束 参数wc, Rc22022022202220)()()(wlFwFiwlFwlFlFlqCCqA qBz=0 q0= if f =

12、w02/ A处 qA = q0+ lB处 1/qB = 1/qA- 1/F C处 qc= qB+ lc0wcw0wclll关键A B0)()(2202220wlFwlFlFlCC点取在像方束腰处01ReCCqR22022)()(wFlFFlFllC由此得2202202)(wlFwFiqC202220201111Im1wFFlwqwC220220220)(wlFwFwqA qB0wcw0wclllA B2222020222flFFwwfFlFFlFl2200fFlFwwqA qB0wcw0wclll讨论: 高斯光束成象与几何光学成象规律的比较1. l F 即有 ( l - F )2f 2 和几何

13、光学成象规律相同FllFFlFFfFlFFlFl2222Fll111llFlFfFlFwwK2200腰斑放大率2. l = F 时Fl 和几何光学成象规律不同几何光学: l=F l= (平行光)无实象2222020flFFww222020fFwwFl qA qB0wcw0wclll20wf 3. l F l = 0Fl 0仍有实象 几何光学: l F 虚像00wFw四、高斯光束的聚焦: 即00ww2222020flFFww222fFlFFlFl20wf 1. F f 要使 要求00ww 222flFF2222fFFlfFFl即或才能聚焦2222fFFlfFF如果不能聚焦（分母分子）(2.10.

14、18)(2.10.17)FlwFwFl00(1)0wlFl(2)Flwl00(3)Fwl0wF0w0wlF F 一定一定22fFF22fFF( l F , l f)0w0wllR(l) 2201lwllfflflR 2/lRF 才有聚焦作用 F 0w201 w201 w 2lR lR0Fl 一定一定, 关系关系 结论：要获得良好的聚焦效果： 使用短焦距透镜使用短焦距透镜 光腰远离透镜光腰远离透镜 ( ( lF, l f ) 取取 l=0时，令时，令 fF 2222020flFFwwFw 0 21zfzzR20wf 00wFwFl 五、高斯光束的准直减小发散角高斯光波 平面光波 单透镜准直效果可

15、见，高斯光束通过薄透镜 当l = F 时 , w0 = F/ w0 最大 1、 F , 长焦距透镜利于准直 2、 w0 尽可能小 002w00w发散角 要使 尽量大0w有限，无论l，F取何值都不可能使 说明用单透镜不能实现完全准直0w0w2222020flFFww由FfFwww200000此时：Fwl0wF0w0wlF F 一定一定22fFF22fFF 短焦距透镜聚焦, lF1 使w0 ， 长焦距透镜F2准直 利用倒装望远镜准直12212111FlfFlFFlFlFl 10000011022212220202120212120202021212020221212020,1111111111FlwwwwFlFlwwlwFwlwFwFFlwwwFFlwwflFFwwFl 得到最小 及其位置0w当 位置在F2焦点上时， w0”= F/ w0 最大0w2200000 Fwww准直倍率(发散角压缩比) 2202120120011 wlMflFFwlwFFM1Fl 光腰几乎落在焦平面上, 组成一倒装望远镜21FFS望远镜放大倍率Mw0lF1F2sw(l)w0w0 L1L2F l ,wFw00 lwwMlwwFFwwwwww00210000000000001 112FFM较小腰斑必然使发散角增加200w五、光束衍射倍频因子对于高