线性代数课件--第一章_矩阵

1、 第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念1.1 矩阵的概念矩阵的概念 矩阵是从数表抽象出来的概念。例如，考察n个变量的线性方程组其各常数aij(i=1,2,m,j=1,2,n)为方程组的系数。方程组系数组成的数表确定了方程组。因此可由该数表来研究方程组。11 11221nn21 12222nnm1 1m22mnna x +a x +a x = 0a x +a x +a x = 0a x +a x +a x = 011121n21222nm1m2mnaaaaaaaaa1.1 矩阵的概念 又如，某班同学某学期成绩表组成了一张二维数表，研究该数表可获得该班同学的有关信息。事实上应用数表可研究的问题很多。

2、所以有必要对数表进行研究。学号线代概率英语美学200530001001899286822005300010027685878520053000103090877577mnijijijm n由mn个数a (1im, 1jn)排成m行n列的数表称为。 矩阵常用大写黑斜体字母表示。数a 称为矩阵的第i行第j列的元素，简称 (i,j) 元素定义阵矩阵(1.1)式也可写作 。=(a ) 1.1 (mn矩 1.1 (mn矩) )AAA11121n21222nm1m2mnaaaaaa=aaa(1.1)1.1 矩阵的概念1212nmm 11m1 n1naa aaaan nnnb a矩阵(只有 列的矩阵)称为

3、维列向量；矩阵(只若矩阵 的元素都是实数(复数)， 为实 复 矩阵。向量常用小写黑斜体字母表示。列向矩阵也称为 阶矩阵或 阶方阵。一阶矩阵只量，行向量行、列向量手有 行的矩阵)称为 维行向量有一写为 、 。个元素。# # # # # # # AAab( () )1.1 矩阵的概念例例1.2 设平面直角坐标系xOy绕原点O旋转角后，得到新的坐标系x1Oy1，如下图所示。平面上一点A在这两个坐标系中的坐标(x,y)和(x1,y1)之间有关系111111xx cosy sinyx siny coscossinsincos坐标变换该线性方程组的系数矩阵称为(阵。 矩)xOyxOy1234123jiij

4、12343j12iP ,P ,P ,PM ,M ,MP1MaPPPPM0.250.300.400.35M0.350.200.150.20M0.150.250.200.10a生产四类产品需要三种原材料。假如生产万元需原材料的价值为万元，得到。例如： 投入产出矩阵每列之和与1的差值为生产该类产品的润阵 。)利(A1.1 矩的概念例例1.31.3投投入入产产出出矩矩阵阵12m2nx ,x ,x ,a ,a ,a设有城市它们之间有高速公路相连(这些公路是单向道，方向用箭头表示)，如图定义阵1 1例例1.4 1.4 1.1 矩的概念1x2x3x4x1a4a2a3a5aijijijijij12345123

5、41xamxaxa= (m )aaaaax10010 x=xx 若 是 的起点定义 -1 若 是 的终点 0 若 不是 的端点矩阵称为该图的上图的关联矩阵为 -阵关联矩阵。M M1.1 矩的概念110010110000111- -1x2x3x4x1a4a2a3a5a1.1 矩阵的概念例例1.5 甲、乙二人玩掷硬币的游戏。两人同时各掷一枚硬币。若两枚硬币以相同的一面向上，乙付给甲一元，反之甲付给乙一元。则可用如下矩阵表示各种情况下甲的收益，叫做甲的收益矩阵收益矩阵。 甲 乙 正面 反面 正面 反面 1 -1 -1 11.1 矩阵的概念矩阵的相等矩阵的相等 若两个mn矩阵A和B的对应元素都相等，即

6、aij=bij(1im, 1jn)，称A和B相等，记为A=B。定义定义1.21.2 主对角线，主对角线元主对角线，主对角线元111212122212i i1122nn第 i 主对角线元主对角设 是n阶矩阵，元素a 称为 的。元素a ,a , ,a 组的线。成nnnnnnaaaaaaaaaAAAAm nm nmn0mn000000000mn 若一个矩阵的所有元素都为 ，称它为零矩阵，记为 若其行列数不会搞错时，也可省略下标，简记。阵为三三类类特特殊殊矩矩阵阵(1)(1)零零矩矩阵阵OOO1.1 矩的概念ij12n12n1212nnnija0,0000(,)00 如果 阶矩阵 除主对角线元外，其他

7、元素都是零，即当时称 是主对角线元为,的对角矩阵，也可记为diag( ， ， ，)，即diag500例如：三阶对角矩阵 = 030000 。AAD对对角角矩矩阵阵1.1 矩阵的概念(2) 对角矩阵对角矩阵1.1 矩阵的概念(3) 单位矩阵单位矩阵 主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵单位矩阵，n阶单位矩阵记为En 。 节数n不必要时可省去，这时单位矩阵记为E。nijij100010001ja = 0nija0ij 在n阶矩阵 =(a )中，若当i时都有,称 为。 同样，若在 阶矩阵 中，当时都有，称为。 EAAAA定定义义 1.3 1.3 上上三三角角阵阵、下下三三角角阵阵上上三三角角阵阵下

8、下三三角角阵阵5124024300350007例如： 四阶上三角矩阵10002300四阶下三角矩阵05406891AB1.1 矩阵的概念第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算定义定义1.41.4 矩阵的和矩阵的和ijijijij()(a )(b )mnmn(i, j)ab可证明矩阵加法满足下列运算规律 设 、 、都是矩阵设和都是矩阵，则它们的 定义为一个矩阵，其元素为 。这个矩阵记为即AABAB, AB11111n1nijij mnm1m1mnmna+ba+b+=(a+b )=a+ba+b和和BCBCmn(2)(3)换结A+ B = B+ A (A+ B)+ C = A+ (B+ C) A+ O=

9、 A(1) 交律：合律：m n1.2 矩阵的运算定义定义1.5 1.5 矩阵的差矩阵的差ijijijij11111n1nijij m nm1m1mnmn(a )(b )mnmn(i, j)ababab(ab )abab50 60 8040 5545 35 62设和都是注意：矩阵相加|减为对应元素相加减。 具有相同行数和列数的矩阵才能相加减矩阵，则它们的差定义为一个矩阵，它的元素为 ，这个矩阵记为即|例如。ABAB, AB5090 115 13050 42 6395 77 1252312301413021035013111041.2 矩阵的运算定义定义1.6 1.6 矩阵的数乘矩阵的数乘1j11

10、22i211121n21222nm nijmnm1m21.6mn(1)m()()(2)()n(a )mnaaaaaa( a )aaa12解析几何中定义的向量乘以一个数的规则与定义相同。矩阵的数乘运算满足下列运算定律(设 、 为矩阵， ，是数)： 数 与矩阵的乘积仍是矩阵，记 为即 ABAA, A AA 12(3)()(4)1;0(5)( 1)( 1) 即 AAAABABAAAOABAB B = B1.2 矩阵的运算120826435534221(2 )38261201(2)5344353222112 设 ，满足，求 。- ABAXBXXXBA例例解解 1231234ijij12341ij23P

11、 ,P ,PM ,M ,MM1tPMaMMMMP0.50.30.20.6aP0.10.20.50.4P0.30.20.10.3某工厂生产三种产品，每种产品都需要四种原材料,。已知每生产需原材料的数量为为t，得到投入产出矩阵()=已知这四种原材料的价格分别是12,15,9,8(万元/t),求这三种产品每t的生成成本(只计原 材料)。A例例1 1. .7 71.2 矩阵的运算123P0.5120.3 150.290.6817.1(/ t)P0.1 120.2150.590.4811.9(/ t)P0.3 120.2150.190.389.9(/ t)13 1121598 的成本为万元的成本为万元的

12、成本为万元 把四种原材料的价格和三种产品的成本分别写成4矩阵和矩阵 ： 解解 bcb =123iic17.1c11.9c9.9cP，其中 表示产品 的成本。称矩阵 为矩阵 和 的乘积，记为 。c =cAbc = Ab1 12 21()()()i ikkjijsijikkjijijissjkam sbs nm ncca ba ba ba b设是矩阵，是矩阵，那么 和 的乘积是一个矩阵。其中1m, 1 j n记作。A=B =ABC = , CAB 只只有有当当第第一一个个矩矩阵阵的的列列数数等等于于第第二二个个矩矩阵阵的的行行数数时时，两两个个矩矩阵阵才才能能相相乘乘。定定义义1 1. .7 7

13、矩矩阵阵的的乘乘法法 乘乘积积的的( (i i, ,j j) )元元素素等等于于前前一一个个矩矩阵阵的的第第i i行行各各元元素素与与后后一一个个矩矩阵阵的的第第j j列列相相应应元元素素乘乘积积之之和和。111211111212212111 sjnjniiisssjsnmmmnjjaaabbbbbbiaaabbbaaa第列第列第行111111jniijinmmjmncccccciccc第行1.2 矩阵的运算2 ,(1, 1,2),302( 1, 1,2) 312( 1)3201031.832212( 1)222243 (1, 1,2)3 13( 1)3200 10( 1)02求和 其中 乘积

14、是一个数， 乘积是一个矩阵， abbaabababba ba例例解解 3360004132 02 ,513041431 54( 2)1 1320203250( 2)21513033053( 2)0 1177 10296 求ABABAB例例1.91.9解解 1.2 矩阵的运算2422,=,1211(1), (2)3224222224(1) =12111112002424=0012122422216(2) 32= 32=121154-求-ABABBAABABBAAB例例1 1. .1 10 0解解 =1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算 由上述举例可知，矩阵乘法与一般数值乘法有以下三点不同：第一，

15、矩阵乘法不满足交换律。 AB有意义，BA可能无意义(例1.9)； 即使AB和BA都有意义，其行列数未必相同(例1.8)； 即使AB和BA都有意义，且其行列数相同，它们未必相等(例1.10)。故一般情况下， ABBA。第二，当AB=0时，不能推出A=0或B=0。如例1.10， AB=0，但AO，BO1.2 矩阵的运算2422242200=121100110024241200241311 1210012626 13130-但又如且，但是 ABC ABAC ABACABC第三，当ABCB且BO时，也不能断定A=C。例如mnm s,s p,p n()();()() (1) (2)(3;()()()()

16、m n4) 结合律：设分别是矩阵，则 分配律：； 关于数乘的结合律：设 是矩阵，则 矩阵乘法与数值乘法类似的规律： 。 A,B,CAB CA BCA B CABACB C A= BA CAABA BA BAE AAEA ；ikm skrs prj p nsiririkkrk 1pkjkjkrrjr 1pirrjr=1(a ),(b ),(c ),ffa b ,gngb c()=(i, j) f c 设 =记 =则 =()是mp矩阵，且=()是s矩阵，且因此矩阵的元素为ABCF AB G BC, F GAB CFC例例证证(1)(1)ppssikkrrjikkrrjr 1k 1r 1 k 1pp

17、psssikkjikkrrjikkrrjikkrrjk 1r 1k 1 r 1r 1 k 1a bca b c() =(i, j) a gab ca b ca b c()()()()sk=1而的元素为由此可知与的对应元素相等，因此= A BCAGAB CA BCAB C A BC1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算nnnmnm+nm nmnnnnmn, ( () 5 个如果 是 阶方阵，则 的 次幂表示 个 的乘积，即 显然， 对任意正整 和 有 AAAAAA AAAA = A, A= A2k1112k2k222knnnaaaaaaaaa2例如，对于对角矩阵， ，AAA1.2 矩阵的运算n22

18、3223nn10120n(n2,3,)110110110220202011110210110320202011110n201：，求的 次幂。以此类推，法 AAAAAA AA例例解解1 1 2nnn 1n 22nnn 1nn 1n1 0 110 0 12 020 0 0110 0 0n(n1)()n2!n110 0 12n20 0 0110 0 010 0 12n 0 0 010 0由于，且则： ABCBCCB COBCBBCBCCBBC解解法法2 2n10n20011.2 矩阵的运算例例1.11 1.11 求对角矩阵A=diag(a1,a2,an), B=diag(b1,b2,bn)的乘积。解

19、解 所以AB仍是对角矩阵，且AB=diag(a1b1,a2b2,an bn)。1122nn1122nna00b000a00b000a00ba b000a b000a b AB ikikkjkjijn njnnijikkjikkjikkjk 1k 1k j 1jnkjikk 1k j 1a,ika0b,kjb0c,ijca ba ba b0 ba00设 由于 是上三角阵，当时， 设 由于 是上三角阵，当时， 设 当时，所以，是n阶上三角矩阵。对下三角矩阵有 同样的结果。 证证 AABBCABCAB例例1.12 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三角矩阵。 设A, B是n阶下三角矩阵,试

20、证明AB仍是下三角矩阵。 ikikkjkjijn nj 1nnijikkjikkjikkjk 1k 1k jj 1nikkjk 1k ja,ika0b,kjb0c,ijca ba ba ba00 b0设 由于 是下三角阵，当时， 设 由于 是下三角阵，当时， 设 当时，所以，是n阶下三角矩阵。 证证 AABBCABCAB111112212121212111112222112221212 (,)(,) (1. ) 5 设坐标系上每一点对应着在坐标系上一点，其中写成矩讨论座标变换与矩阵阵形式：乘法的关系。例例1.13 1.13 x OxP x xy OyQ y yxa yaxa yyxaa yya

21、 yyxa1112122221222111121221222111112222122 , , (1.5) 令：式可表示成矩阵形式：xA yxyAaaya yaayxaayxaayxyaaxyaa1.2 矩阵的运算11121212121212121211 1122221 1222(,)( ,) (1.5) (1.6 (1.6) ) 再设坐标系上每一点对应平面上一点，其中和分别是平面与平面之间和平面与平面之间的坐标变换令：yyb zb zyb zby OyQ y yz OzR z zx Oxy Oyy OyzzOzyy1111222212212121212, , (1.6) (,)( ,() =)

22、()式可表示成矩阵形式：这两个变化的复合变换把平面上一点变为平面上一点，即 两次变换形成的复合运算对应于两个变换矩阵的乘积。yBzxzBAy = A BzB z Azbbzbbx OxP x xz OzR z z1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算12n12m11111221nn22112222nnmm11m22mnn11111221nn22112222nmx ,x ,xy ,y ,yya xa xa xya xa xa x( )yaxaxaxya xa xa xya xa xa x*y 一般地，设有从一组变量到另一组变量的变换 改写成： 11121n1n21222n2m11m22mnnm1m

23、2mnnaaaxaaaxaxaxaxaaax1.2 矩阵的运算111121n1221222n2mm1m2mnn111121n1221222n2mm1m2mnnyaaaxyaaaxyaaaxyaaaxyaaax=yaaax所以有 记 ,得 yAxjn 1im 1ijm n(x )(y )(a ) (*)式称为从向量到向量的一个线性变换，矩阵称为它的系数矩阵(变换矩阵)。 利用矩阵符号，一般的线性变换( )式可表示成 称为 的称为 的*。yAxyAxxyAyxxy原原像像像像， 1.2 矩阵的运算例例1.14 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病

24、的鸟有60%治愈。求两年后健康的鸟和患病的鸟各有多少？解：设转移矩阵A为：0.8 0.640000.2 0.410000.8 0.6400038000.2 0.4100012000.8 0.638003760()0.2 0.41200124037601240 健康 患病健康，现有的鸟的情况为患病一年后的情况：两年后的情况：即两年后只鸟健康， 只鸟患病AxAxA Ax。30.70.20.100.50.30.10.10.20.30.40.1很好 较好 一般 差式样耐穿价格某服装公司调查一种新款服装的销售前景，考虑式样、耐穿和价格 个因素。某地区抽样调查得到的评价矩阵为若评价“很好”、“较好”、“一

25、般”和“差”分别给分3、2、1、0，那么该款服装在式样、耐穿和价格三方面的平均分各为例例1.15 1.15 30.70.20.102.620.50.30.10.12.210.20.30.40.11.600.50.30.2,2.60.50.30.22.22.281.6另外，需考虑不同顾客的偏好差异。设该地区顾客的偏好权重为式样，耐穿，价格则对该款服装评价的总平均分为 可知总平均评价略高于“较好”。 1.2 矩阵的运算定义定义1.81.8 矩阵的转置矩阵的转置T11121112112122212222T1212Ti, j 1312725 , 35474矩阵转置矩阵是个矩阵它的)记为(或)。则如：则

26、nmnmmmmnnnnmaaaaaaaaaaaaaaaaaaijjimn=(a )的一nm，(元素是a ,AAAAAAAT TTTTTTTTTTTTTk2T1TT12k 设 =(1,2,-1), =(2,3,5),求。2(1,2,-1) 33。5转置矩阵（1） () =(2) (+) =+转置矩阵就是把原矩阵 的行和列互换所得的矩(3) () =(4) () =阵。 有下列一般地有(=性：，)质 AAABABAAABB AA AxyxyxAAAAAAy 例例 1 1. .6 6解解1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算TTT1 12TT121TTTT22T1T ()()()mn()nm()( ,

27、 )( , )(nm),()ikm skjs nsikkjijijissjkkjn siksjijijssimabi ja ba ba ba bbaia bjja ba bi是矩阵的元素的元素是设，则是矩阵，的元素为则阵，矩证证明明( (4 4) )ABABB AA, BABAABB, A, BABB A B A1 122TT11TTTTTT1TTT1( , )( , ) ( , )( , )()()( , )( , ), , ) ()jijijssksksskijkjkkikiksi ji kk jk ij kb aa ba ba ba bnmi ji j可见，和都是矩阵的元素的元素的元素=

28、的元素的元素即，且的元素的元素ABABB AABBBABAB AA TTTTk21TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT212kk1122111223312321123441234321122112kk12k由于 () ()() ()(对于一般情况() =的递推证明： () =或由数学归纳法)已知 ()，设(证明：) =则 (A AA AA A AAA AA A AA A A AAA A AA A A AA AAA AAAA AA AAA AAAA AAAA ATTTTTTTk+1TTTTk2k+1k211k112kk+112k2k) =() =故对任意的正整数 ，() =有A

29、 AA AAA AAAAA AA AAAA A1.2 矩阵的运算定义定义1.9 1.9 对称矩阵，反对称矩阵对称矩阵，反对称矩阵i jjii jjiTTa= a (1i, jn)a= a (1i, jn)。对称矩阵反对于 阶矩阵 ，若满足称 为 若满足称 为由定义得出：是的充要条件是： ；是的充要条件是： -；10对称矩阵：5， 反对称矩阵：090上例中6622反对称矩6-对称矩阵-2-23-36阵-33 n,AAAAAAAA,A；例例对对称称矩矩阵阵反反 对对称称矩矩阵阵0的主对角线元素全部等于0，即a。ii1.2 矩阵的运算ijjiiiiiiiiia = a 000(),a = a2a =

30、 0,= 00a12131n21232n31323nn1n2n3对于反对称矩阵的元素，-1i,jn特别当i=j时，-故即，所以，一般反对称反对称矩阵主对角线上的元素均为0aaa-aaa-a-a矩阵可表示为 a-a-a- a, 若是 阶矩阵设 , 都是n阶对称矩阵，证明也是对称 矩阵的充要条件是 , 可交换。设都是对称矩阵，则 是对称矩阵，称是可交的。且换TTTTTn(),可可交交换换矩矩阵阵定定义义例例1.17 1.17 证证A,BA BABA BA, BAA, BB, ABABAB B AAB A,B ABBA 可交换 BAAB A,B1.2 矩阵的运算第三节第三节 逆矩阵逆矩阵 许多实际问

31、题需要研究包含n个未知量x1,x2,xn的线性方程组A=(aij)mn称为(*)的系数矩阵，x=(xj)n1称为(*)的未知数向量，b=(bi)m1称为(*)的常数项向量。则上述线性方程组可写成矩阵方程 Ax=b使用将矩阵乘法看作线性变换的观点，解上述线性方程组就是根据系数矩阵A，从像向量b求出原像向量x。 1111221nn12112222nn2m11m22mnnma xa xa xba xa xa xba(*xaxaxb)1.3 逆矩阵 解代数方程ax=b时，可在方程两边同乘a-1，解得x=a-1b。可否用类似想法来解矩阵方程？1 ,1, -1 设 是阶矩阵,若存在阶矩阵 满足 称。(这类

32、似于：设是两个实数，若则。是可逆矩阵 称 为 的逆矩阵,记为)定定义义1 1. .1 10 0 n n阶阶方方阵阵的的逆逆矩矩阵阵ABBAABABBAAEnnna babbaba1.3 逆矩阵111, ()(), (,1) 若 是可逆矩阵 则 的逆矩阵是惟一的。 设 ，都是可逆矩阵 的逆矩阵，则， 可见的逆矩阵是惟一的。 若表示可逆矩阵 的逆矩阵 ，于是 若 可逆 则定定理理1 1. .1 1证证定定理理1 1. .2 2 AABCA ABBAE ACCAE BBEB ACBA CECCAAAABAEAAAA=1111111, , ()()也可逆 且。若 可逆，设其逆矩阵为，则 由于，按定义，

33、也可逆，且 的逆矩阵就是 ， 记为即。证证ABAABBAEBAABAAEBBABAAA 惟一存在1.3 逆矩阵TTTTTTTTTTTTTTT1 TT1TT1T,()() ;,() = () =()() =() = ()=(2)() (-1-1-1-1-1-11-1-若 可逆 则也可逆 且 若 可逆 则 因此有 所以，也可逆，的逆矩阵是即。定定理理1.2 1.2 证证AAAAAAAA AEE AA = AAEEAAAAAEAAAA1.3 逆矩阵1111112kk2112k11111111111111,(),)()()(3)()()()若可逆 则也可逆 且。上述结论: 若都可逆 则它们的乘积也可逆

34、,且 ( 若 ， 都可逆可推广到k个矩阵相乘的情况，则定定理理1.2 1.2 证证 BBA BABA AAABA BBAAEAAAEBAAAAABBA AAAEBA AB ABABABBB111111112kk21()由可逆矩阵定义知，是可逆的，且。而(可用数学归纳法证明。 EABAABB AAAAA A1.3 逆矩阵11111111111111111 (,), 0, 1,2, .11 (,)1111(,)000000求证下列矩阵可逆，并求出逆矩阵。(1) 其中令同样，所以，可逆，且。例例1 1. .1 18 8 解解ABA BEB AEAABnnnnnaaiadiag aaaindiagaa

35、diagaaa1.3 逆矩阵21112222221221112112112222221222122111121122212212122223 2(2) 0 1 ,32323 21 00 10 1132133202, 0301解 ：设满 足得 到 方 程 组 ：解 得 ： bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbABA BEA B1212333322221213322213 21 0, 0 10 1010101故可 验 证 ：所 以 ，可 逆 ,且 BB AEAAB1.3 逆矩阵00011100-1-1-1-1 设 是n阶可逆矩阵， 和 是n 1矩阵， 则矩阵方程=有惟一解。设是= 的一

36、个解，则有=由于 可逆，存在，于是= 设也是方程的解，则有= ， 由于 可逆，= 可见，方程 的解是惟一的解。=例例1.191.19解解XAXBAXBXAXBAXBAAXA BXAXBAXA BXA B1.3 逆矩阵111111111111111111111111 ,()() ( )( ) 设都是可逆矩阵 求证:也是可逆矩阵。 思路：设法把表示成可逆矩阵的乘积。即 由定理1.2(3)知，可逆，故是可逆的例例1.201.20证证A B ABABABABABABABAEEBBA ABABABAABABBABABBA1111111)() () ()()-1-1，且(。ABBABAB ABA 第四节第

37、四节 分块矩阵分块矩阵22221210000000010012011211001114112001010111121 为了运算的方便，有时，这种方法称为。例如， ，把把矩矩阵阵看看成成是是由由几几个个小小矩矩阵阵组组成成的的矩矩阵阵的的分分块块22EE O AO BAA E11212211211001 14,1201 12， 22BoBB Bo =B,B=21121221221121112122100120254132，即与直接计算结果计算乘积时，可把小矩阵当成相同。数来计算2EOBo AB =AEBBBoA BBBAB1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵ijm n11121s21222sr1r2

38、1212s12rsijijrir12sjmmmmn(a )nmn,:mn(1ir,1js)rs,immmnnnnn列列列行行行一般设是矩阵 且 则可将 分块如下其中是矩阵。若且 中行,列当 时 AAAAAAAAAAAAAAAOj=1122rr，这时 称为，即准对角矩阵 的形式为： 准准对对角角矩矩阵阵AOOOAOOOAAAA1.4 分块矩阵 分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提是: 所有小矩阵之间的运算有意义所有小矩阵之间的运算有意义。 121112111121212222122212112121212 列列列列列列行行行行行行列ssssrssrrrrsrrrsnnnnnnmmmmmm

39、nn(1)AAABBBAAABBBABAAABBB分分块块矩矩阵阵的的加加法法111112121121212222222111222 列列行行行sssssrrrrrsrsrnmmmABABABABABABABABABAB1.4 分块矩阵111212112121222212 列列列行行行列列列设分块矩阵，则 与常数 的乘积称为分块ssrssrrsrnnnmmmnnn(2)AAAAAAAAAAA分分块块矩矩阵阵的的数数乘乘12111212122212行行行矩阵 的数乘：srssrrrmmmAAAAAAAAAAA1.4 分块矩阵12121112111111212122221222121222 列列列

40、列列列行行行行行行设，tstsrrrttttststrpppnnnpmpmpm(3)AAABBBAAABBBABAAABBB分分块块矩矩阵阵的的乘乘法法11112121222122112 列列列行行行分块矩阵的乘法：其中：小矩阵kssrrrstijiskjrknnnmmmCCCCCCABCCCCCA B1.4 分块矩阵21222T21T22T11112T1TT2T21T1121212T21T121 列列列行行行列列列设分块矩阵其转置矩阵：ssrrrrrsrrrssssnnnmmmmmm(4)AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA分分块块矩矩阵阵的的转转置置 1T2行行行 分块矩阵 的转将 转

41、置且其每个子矩阵也都转置的新矩置矩是。阵阵snnnAAA1.4 分块矩阵1122112221 n ()列列列行行行设 阶矩阵 是矩阵，且是 阶，证明 是可逆矩准对角可逆阵。矩阵rriirrirnnnnnnnnnnnAOAAOOOAOOAAA例例1 1. .2 21 1 1.4 分块矩阵1211111221111111222212 列列列行行行令证证 OOOOBOOOOOAAAAOOOOO ABOOOAOAAAArrrrrrrrnnnnnn1.4 分块矩阵121111112222111112211rnnrrrrnnrnrn同理有 ，所以 。则 可逆，且 OOOOOOOOOOOOEBAEABEA

42、AEA AA AEBAEAAOOOOAABOOA1.4 分块矩阵12111222121112212211121112222122,(1,2)(), , 设有 阶矩阵其中是 阶可逆矩阵证明 是可逆矩阵。设法求一个矩阵使于是由， 。niniinninnnn例例1 1. .2 22 2证证 AAAOAXXAEEOAAXXAXOAXXOAAAXXXXEX1.4 分块矩阵21111112211112122222212222, (3 (1) ( 2) ) 得， ， nn A XO AA XA XE X OEA XA X211122222211111111122222222211222221222111111222111222111111222122,(1 (4) (2) ), 可逆，由 (4)式得:同样，由 (3)得： 代入