分子运动论2015

1、物理学的第二次大综合物理学的第二次大综合 随着科学技术与生产力的发展，特别是随着科学技术与生产力的发展，特别是十八世纪末十九世纪初十八世纪末十九世纪初蒸汽机蒸汽机的发明和推广，的发明和推广，促进了人们对于促进了人们对于热的本质热的本质和热与和热与机械运动机械运动的的相互关系及能量转化问题的研究。相互关系及能量转化问题的研究。物理学的第二次大综合物理学的第二次大综合 最早十八世纪中叶的苏格兰科学家布莱克等最早十八世纪中叶的苏格兰科学家布莱克等人提出了人提出了“热质说热质说”理论，认为热是由一种理论，认为热是由一种特殊的、没有重量的特殊的、没有重量的流体物质流体物质即热质或热素即热质或热素组成。一

2、开始组成。一开始“热质说热质说”就像就像“燃素说燃素说”一一样可以解释一切热现象，因此为当时的一些样可以解释一切热现象，因此为当时的一些物理学家们所接受，成为十八世纪热学中占物理学家们所接受，成为十八世纪热学中占统治地位的理论。统治地位的理论。物理学的第二次大综合物理学的第二次大综合热热的的本本质质是是什什么么？ 但是，好景不长，但是，好景不长，17981798年英国一个工厂的技师汤年英国一个工厂的技师汤普森（普森（1753-18141753-1814年）即伦福德伯爵发现当用钻年）即伦福德伯爵发现当用钻头钻炮筒时，炮筒和铁屑的温度同时升高了，钻头钻炮筒时，炮筒和铁屑的温度同时升高了，钻头越钝产

3、生的热量越大，他用一支钝得无法切削头越钝产生的热量越大，他用一支钝得无法切削的钻头连续钻了的钻头连续钻了2020小时小时4545分钟，致使分钟，致使1818磅水达到磅水达到沸点。这突然增加的沸点。这突然增加的“热质热质”从何而来？他在发从何而来？他在发现了现了“热质说热质说”的缺陷后提出了的缺陷后提出了唯动说。唯动说。物理学的第二次大综合物理学的第二次大综合 1827 1827年苏格兰的植物学家布朗发现了年苏格兰的植物学家布朗发现了“布朗运动布朗运动”，从而证实了物质分子的永不停息的无规则运动。从而证实了物质分子的永不停息的无规则运动。1919世纪二十年代，法国工程师世纪二十年代，法国工程师卡

4、诺卡诺（1796-18321796-1832年）年）集中研究了蒸汽机即热机的内部矛盾问题，于集中研究了蒸汽机即热机的内部矛盾问题，于18241824年发表了年发表了关于火的力学考查关于火的力学考查一书，这是他一生一书，这是他一生发表的唯一著作。他提出了发表的唯一著作。他提出了卡诺循环卡诺循环以及以及热机效率热机效率等问题，提出了等问题，提出了热力学第二定律热力学第二定律的基本内容。的基本内容。物理学的第二次大综合物理学的第二次大综合 随着对热机的研究，随着对热机的研究，19世纪四十年代有十几位不世纪四十年代有十几位不同的物理学家几乎同时提出了能量转化和守恒定同的物理学家几乎同时提出了能量转化和

5、守恒定律即律即热力学第一定律热力学第一定律，彻底推翻了，彻底推翻了“热质说热质说”，进一步导致了进一步导致了热学热学理论的系统化、完善化。六十理论的系统化、完善化。六十年代英国的威廉年代英国的威廉.汤姆生（汤姆生（1824-1907年）以及德年）以及德国的克劳修斯（国的克劳修斯（1822-1888年）总结了卡诺的工作，年）总结了卡诺的工作，分别提出了分别提出了热力学第二定律。热力学第二定律。 物理学的第二次大综合物理学的第二次大综合 通过焦耳、迈尔、亥姆霍兹、克劳修斯等一大批物理学通过焦耳、迈尔、亥姆霍兹、克劳修斯等一大批物理学家的共同努力，导致了热力学第一、第二定律的发现，家的共同努力，导致

6、了热力学第一、第二定律的发现，特别是能量转化和守恒定律的建立，揭示了热、机械、特别是能量转化和守恒定律的建立，揭示了热、机械、电化学等各种运动形式之间的相互联系和相互转化的关电化学等各种运动形式之间的相互联系和相互转化的关系，从而实现了物理学的系，从而实现了物理学的第二次大综合第二次大综合，引起了，引起了1818世纪世纪的的工业革命工业革命，带来了生产力的巨大发展和社会领域的重，带来了生产力的巨大发展和社会领域的重大变革。大变革。物理学的第二次大综合物理学的第二次大综合涉及到宏观与微观两个层次涉及到宏观与微观两个层次热力学的两大基本定律热力学的两大基本定律宏宏观观理理论论物理学的第二次大综合物

7、理学的第二次大综合第一定律第一定律能量守恒定律能量守恒定律第二定律第二定律熵熵 增增 加定律加定律热学热学热力学与统计物理的发展热力学与统计物理的发展, , 加强了物理学与化学加强了物理学与化学的联系的联系, , 建立了建立了物理化学物理化学这一门交叉科学这一门交叉科学 . .从分子和原子的微观层次上来说明物理规律从分子和原子的微观层次上来说明物理规律, , 产产生了生了气体分子动理论气体分子动理论。玻尔兹曼与吉布斯进一步。玻尔兹曼与吉布斯进一步发展了发展了经典统计物理学经典统计物理学。 微观理论微观理论 研究对象研究对象热现象热现象由于物体温度的变化而引起物体性质、形态由于物体温度的变化而引

8、起物体性质、形态的变化的现象的变化的现象, ,称为称为热现象热现象, ,热现象是物质中热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。大量分子无规则运动的集体表现。热现象的例子：热胀冷缩、相变、高温退磁热现象的例子：热胀冷缩、相变、高温退磁, ,超导现象。超导现象。相变的例子相变的例子在在1atm下下O2在在90K的温度下液的温度下液化，化，N2在在77K的温度下液化，液的温度下液化，液态态H2的温度是的温度是20K,一度被视为一度被视为“永久气体永久气体”的氦（的氦（He)在在4k的的温度下也变成了液体。温度下也变成了液体。水的三态（？）的变化水的三态（？）的变化除了化学成分外，在物理方面，温度

9、是影响物质性除了化学成分外，在物理方面，温度是影响物质性能的主要因素，因此温度是热学中能的主要因素，因此温度是热学中最核心最核心的概念。的概念。大爆炸后的宇宙温度大爆炸后的宇宙温度1039 K实验室能够达到的最高温度实验室能够达到的最高温度108 K太阳中心的温度太阳中心的温度1.5107 K太阳表面的温度太阳表面的温度6000 K地球中心的温度地球中心的温度4000 K水的三相点温度水的三相点温度273.16 K微波背景辐射温度微波背景辐射温度2.7 K实验室能够达到的最低温度（激光实验室能够达到的最低温度（激光致冷）致冷）2.410-11 K地球表面的平均温度为地球表面的平均温度为15 C

10、,109种生物大分子可以在这种生物大分子可以在这样的环境生存。样的环境生存。无序、具有偶然性、遵循力学规律无序、具有偶然性、遵循力学规律研究对象特征研究对象特征单个分子单个分子整体（大量分子）整体（大量分子）研究对象特征研究对象特征服从统计规律服从统计规律1. 1. 热力学热力学 宏观描述宏观描述从能量观点出发，分析研究从能量观点出发，分析研究物态变化过程中热功转换的物态变化过程中热功转换的关系和条件，给出宏观物体关系和条件，给出宏观物体热现象的规律热现象的规律. .研究方法研究方法特点特点 1）可靠性高）可靠性高 ； 2）知其然而不知其所）知其然而不知其所以然；以然； 3）应用宏观参量）应用

11、宏观参量 P V T等等 2. 2. 气体动理论气体动理论 微观描述微观描述研究大量数目的热运动研究大量数目的热运动的粒子系统，应用模型的粒子系统，应用模型假设和统计方法假设和统计方法. .研究方法研究方法气气体体的的压压强强特点特点 1）揭示宏观现象的本质）揭示宏观现象的本质 2）有局限性，与实际有偏差，不可任意推广）有局限性，与实际有偏差，不可任意推广两种方法的关系两种方法的关系气体动理论气体动理论热力学热力学相辅相成相辅相成热学基本概念与理想气体状态方程热学基本概念与理想气体状态方程一一 热力学系统与外界热力学系统与外界四四 温度的概念温度的概念五五 理想气体状态方程理想气体状态方程二二

12、 宏观量与微观量宏观量与微观量三三 平衡态平衡态一、热力学系统与外界一、热力学系统与外界热力学系统热力学系统热力学研究的对象热力学研究的对象汽缸内气体汽缸内气体杯中水杯中水汽缸内气体为系统，其汽缸内气体为系统，其它为外界它为外界内它包含极大量的分子、原子。内它包含极大量的分子、原子。 以阿佛加德罗常数以阿佛加德罗常数 NA = 61023 计。计。一、热力学系统与外界一、热力学系统与外界外界外界系统特点系统特点热力学系统以外的物体热力学系统以外的物体 二、宏观量与微观量二、宏观量与微观量从整体上描述系统的状态量从整体上描述系统的状态量M、V等等-可以累加，称为可以累加，称为广延量广延量。宏观量

13、宏观量一般可以直接测量一般可以直接测量P、T 等等-不可累加，称为不可累加，称为强度量强度量。 二、宏观量与微观量二、宏观量与微观量描述系统内微观粒子的物理量。描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量如分子的质量m、 直径直径 d 、速、速度度 v、动量、动量 p、能量、能量 等。等。微观量微观量气体的物态参量及其单位气体的物态参量及其单位作用于容器壁上单位面积的正压力作用于容器壁上单位面积的正压力2mN1Pa1Pa10013. 1atm15标准大气压标准大气压 气体压强气体压强 P TVp ,4545度纬度海平面处度纬度海平面处,0,0度时的大气压度时的大气压体积体积V分子所能达到的最大空

14、间分子所能达到的最大空间331m10 L温度温度TtT15.273单位：单位： K（开尔文）（开尔文）气体冷热程度的量度（热学描述）气体冷热程度的量度（热学描述）三、平三、平 衡衡 态态一定量的气体，在不受外界的影一定量的气体，在不受外界的影响下响下, ,经过一定的时间经过一定的时间, , 系统达系统达到一个稳定的到一个稳定的, , 宏观性质不随时宏观性质不随时间变化的状态称为平衡态间变化的状态称为平衡态 。研究平衡态的热学规律研究平衡态的热学规律本课程的主要任务本课程的主要任务),(TVppV),(TVp* *o1）单一性（）单一性（ P，T， 处处相等处处相等,不考虑引力不考虑引力)平衡态

15、的特点平衡态的特点2 2）物态的稳定性）物态的稳定性与时间无关与时间无关 3 3）自发过程的终点）自发过程的终点 4 4）热动平衡（有别于力平衡）热动平衡（有别于力平衡） 动态平衡动态平衡处在平衡态的大量分子仍处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而因为碰撞，在作热运动，而因为碰撞，每个分子的速度经常在变，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时但是系统的宏观量不随时间间 改变。这称为改变。这称为动态平衡。动态平衡。达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同四、温度的概念四、温度的概念A、B 两体系互不影响各自达到平衡态两体系互不影响

16、各自达到平衡态动画演示动画演示A、B 两体系的平两体系的平衡态有联系衡态有联系,最终与最终与C达到共同的热平达到共同的热平衡状态。衡状态。四、温度的概念四、温度的概念 热力学第零定律热力学第零定律 在不受外界的影响下，在不受外界的影响下，只要只要A、B 同时与同时与C达达到平衡，即使没有接到平衡，即使没有接触，它们仍处于热平触，它们仍处于热平衡状态。衡状态。 热力学第零定律的意义热力学第零定律的意义 1.说明了互为热平衡的物体说明了互为热平衡的物体之间必存在一个相同的属之间必存在一个相同的属性性温度温度2.指出了判别温度是否相同指出了判别温度是否相同的方法的方法分别与标准物分别与标准物体接触，

17、这个标准物体就体接触，这个标准物体就是是温度计温度计。气体平衡态宏观参量间的函数关系气体平衡态宏观参量间的函数关系11KmolJ31.8R气体普适常量气体普适常量RTMpV 理想气体物理想气体物态方程态方程五、理想气体状态方程与应用五、理想气体状态方程与应用 物态方程物态方程M为气体的质量为摩尔质量,式中RTMPV ANNM TNRVNPA 玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数称为称为,/1038. 123KJNRkA 式中数数n为单位体积内的分子n为单位体积内的分子式中式中摩尔数摩尔数RT nkT 五、理想气体状态方程与应用五、理想气体状态方程与应用例求大气压强随高度例求大气压强随高度 h 变化的规律，

18、设空气的温变化的规律，设空气的温度不随高度变化。度不随高度变化。珠穆朗玛峰珠穆朗玛峰h=8844.43m(2005年年)例例 求大气压强随高度求大气压强随高度 h 变化的规律，设空气的温变化的规律，设空气的温度不随高度变化。度不随高度变化。hhh+dhdmgPs(P+dP)S解：如图，在高度为解：如图，在高度为h处有一薄空气层，在处有一薄空气层，在重力和上下压力作用下处于平衡状态。重力和上下压力作用下处于平衡状态。PSgSdhSdPP )(gdhdP 设空气设空气 为理想气体，则可以得出下式为理想气体，则可以得出下式RTP 代入上式代入上式(同学们推导同学们推导)dhRTgPdP dhRTgP

19、dphPP 00 kTmghRTghePePP 00 恒温气压公式，恒温气压公式，h V(r0) 时时,分分子在空间出现的概率与两者之间的距离几乎无关子在空间出现的概率与两者之间的距离几乎无关,此此时分子间的距离增大，时分子间的距离增大，会蒸发掉会蒸发掉.N N个粒子组成的系统在空间的分布概率个粒子组成的系统在空间的分布概率? ?大量分子组成的系统大量分子组成的系统宏观物体都是由大量不宏观物体都是由大量不停息地运动着的、彼此停息地运动着的、彼此有相互作用的分子或原有相互作用的分子或原子组成子组成 。一一、 一般气体分子热运动的概念一般气体分子热运动的概念 10-1 10-1 气体动理论的基本概

20、念气体动理论的基本概念扫描隧道显微镜1 分子的数密度和线度分子的数密度和线度阿伏伽德罗常数：阿伏伽德罗常数：1 mol 物质所含的分子（或原子）物质所含的分子（或原子）的数目均相同的数目均相同 .123Amol10)36(0221367. 6N例例 标准状态下氧分子标准状态下氧分子直径直径 m10410d分子间距分子间距分子线度分子线度10分子线度分子线度1. 分子的数密度和线度分子的数密度和线度分子数密度分子数密度n常温常压下常温常压下322cm/1030. 3水n单位体积内的分子数目单位体积内的分子数目. .2.分分 子子 力力0,m109Fr分子力主要表现为斥力分子力主要表现为斥力0rr

21、 0rr 0rorFm10100r分子力分子力分子力主要表现为引力分子力主要表现为引力二、二、 理想气体的微观模型理想气体的微观模型 1. 1. 对单个分子的力学性质的假设对单个分子的力学性质的假设1 1）分子可视为弹性质点）分子可视为弹性质点2 2）除碰撞瞬间）除碰撞瞬间, ,分子间无相分子间无相互作用力互作用力 3 3）碰撞均为完全弹性碰撞）碰撞均为完全弹性碰撞4 4）分子的运动遵从经典力学的规律）分子的运动遵从经典力学的规律 分子数目太多，无法解这么多分子数目太多，无法解这么多的联立方程。即使能解也无用，的联立方程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万

22、变，必须用统计的方法来息万变，必须用统计的方法来研究。研究。说说明明定义定义: 某一事件某一事件 i 发生的概率为发生的概率为 Pi 例例. 扔硬币扔硬币2. 2. 对分子集体的统计假设对分子集体的统计假设什么是统计规律性什么是统计规律性 大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。Ni - 事件事件 i 发生的发生的 次数次数N - 各种事件发生的各种事件发生的 总次数总次数NNPiNilim 当小球数当小球数 N 足够大时，小球的分布具有统计规律足够大时，小球的分布具有统计规律.设设 为第为第 格中的粒子数格中的粒子数 .iNiNNPiNi lim概

23、率概率-粒子在第粒子在第 i 格中出现格中出现的可能性大小的可能性大小 .1 iiiiNNP归一化条件归一化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiNN粒子总数粒子总数（1 1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义 （2 2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律 （3 3）总是伴随着涨落）总是伴随着涨落 统计规律几个特点统计规律几个特点2 2、 对大量分子组成的气体系统的统计假设对大量分子组

24、成的气体系统的统计假设 dV-体积元（宏观小，微观大）体积元（宏观小，微观大）（1 1）平衡态时分子按位置的分布是均匀的，即分）平衡态时分子按位置的分布是均匀的，即分 子数密度到处一样（不考虑重力影响子数密度到处一样（不考虑重力影响 ）dNNndVVabbaa、b交换速度交换速度速度分布具有什么特点速度分布具有什么特点?速度分布的特点速度分布的特点在所有方向上的各向同性在所有方向上的各向同性想像每个分子具有一个速度矢量,平移到坐标原点,则相同速率分子矢量端点将在同一球面上,并且均匀分布.222231vvvvzyxiixxN221vv0zyxvvv各方向运动各方向运动概率均等概率均等(2)分子各

25、方向运动概率均等分子各方向运动概率均等kjiiziyixivvvv分子运动速度分子运动速度? ?下面我们根据理想气体的分子模型下面我们根据理想气体的分子模型, ,并结合统计方并结合统计方法推导理想气体的压强公式法推导理想气体的压强公式. . 10-2 10-2 理想气体压强、温度与统计意义理想气体压强、温度与统计意义 一、理想气体压强一、理想气体压强每一时刻都有许多分子与器壁每一时刻都有许多分子与器壁相碰相碰, ,其综合的平均作用就在其综合的平均作用就在宏观上表现出一稳定的压强宏观上表现出一稳定的压强. .Ft单个分子的冲力与时间的关系单个分子的冲力与时间的关系t t大量分子的冲力与时间的关系

26、大量分子的冲力与时间的关系F FF耳膜上的气压由大气分子产生耳膜上的气压由大气分子产生, ,为什么没有气压感为什么没有气压感? ?飞机上升和飞机上升和降落时会有什么感觉降落时会有什么感觉? ?如何求平均冲力呢如何求平均冲力呢?iiIdtF 10所有粒子在单位时间内给器壁的冲量为所有粒子在单位时间内给器壁的冲量为 NiiNiiIdtF1110 NiiNiiItdF1101设第设第i个分子在单位时间内给器壁的冲量为个分子在单位时间内给器壁的冲量为Ii NiiNiiItdF1101 NiiFF1设设 NiiIdtF110 NiiItF1 NiiIF1时刻时刻t器壁受到的冲力器壁受到的冲力xvmxvm

27、-2Avoyzxyzx1Avyvxvzvo设设 边长分别为边长分别为 x、y 及及 z 的长方体中有的长方体中有 N 个全同的个全同的质量为质量为 m 的气体分子，计算壁面的气体分子，计算壁面 A1 所受压强所受压强 .分子施于器壁的冲量分子施于器壁的冲量ixmv2xvmxvm-2Avoyzxyzx1Aixixmpv2两次碰撞间隔时间两次碰撞间隔时间ixx v2 单个分子遵循力学规律单个分子遵循力学规律单个分子单位时间施于器壁的冲单个分子单位时间施于器壁的冲量量xmix2vxvmxvm-2Avoyzxyzx1A两次碰撞间隔时间两次碰撞间隔时间单位时间碰撞次数单位时间碰撞次数2xvix 单个分子

28、遵循力学规律单个分子遵循力学规律ixx v2单位时间单位时间 N 个粒子对器个粒子对器壁总冲量壁总冲量 iixxm2v大量分子总冲量大量分子总冲量xvmxvm-2Avoyzxyzx1A器壁器壁A1 所受平均冲力所受平均冲力 xNmFx2v iixxm2v22xixxNmNxNmvvi 气体压强气体压强2xxyzNmyzFPv 器壁器壁 A1 所受平均冲力所受平均冲力 xNmFx2v统计假设统计假设xyzNn 2231vvxk32 n 分子平均平动动能分子平均平动动能2k21vmk32 nP 统计关系式统计关系式压强的物理意义压强的物理意义宏观可测量宏观可测量微观量的统计平均值微观量的统计平均值

29、为何在推导气体压强公式为何在推导气体压强公式时不考虑分子间的碰撞时不考虑分子间的碰撞 ？问题问题二、二、 道尔顿分压定律（道尔顿分压定律（18011801）1223kiiPnkTnn kTn kTn kTP平衡态下，混合气体的压强等于组成混合气体各成平衡态下，混合气体的压强等于组成混合气体各成份的分压强之和。份的分压强之和。例：把温度为例：把温度为0 C,压强为压强为1atm,V=500cm3的氮气压的氮气压入容积为入容积为200cm3的容器。容器中原来已充满同温同的容器。容器中原来已充满同温同压的氧气。试求混合气体的压强和每种气体的压强。压的氧气。试求混合气体的压强和每种气体的压强。（设温度

30、不变）（设温度不变）atmVVPPN5 .2)1(002 22(2)2.513.5NOPPPatmatmatm练习：练习：1、氢气的质量为、氢气的质量为 3.3 10-24g,如果每秒有如果每秒有 1023 个氢分子沿着与容器器壁的法线成个氢分子沿着与容器器壁的法线成45度角的度角的方向以方向以105 m/s的速率撞击的速率撞击在在2.0cm2面积上（碰撞面积上（碰撞是 完 全 弹 性 的是 完 全 弹 性 的 ) , 则 此 氢 气 的 压 强 为 多 少 ？则 此 氢 气 的 压 强 为 多 少 ？Anmv 45cos2( 2.33 105Pa )同学们练习同学们练习2、某容器内分子数密度

31、为、某容器内分子数密度为1020m-3,每个分子的质量为每个分子的质量为3 10-27 Kg,设其中设其中16的分子数以速率的分子数以速率 V200 m/s垂垂直地向容器的一壁运动，而其余直地向容器的一壁运动，而其余5/6的分子或者离开此的分子或者离开此壁，或者平行此壁运动，且分子与容器壁的碰撞为弹壁，或者平行此壁运动，且分子与容器壁的碰撞为弹性的，则：性的，则：（2mV) (1 ）每个分子作用于器壁的冲量为多少？）每个分子作用于器壁的冲量为多少？2、某容器内分子数密度为、某容器内分子数密度为1020m-3,每个分子的质量每个分子的质量为为3 10-27 Kg,设其中设其中16的分子数以速率的

32、分子数以速率 V200 m/s垂直地向容器的一壁运动，而其余垂直地向容器的一壁运动，而其余5/6的分子或的分子或者离开此壁，或者平行此壁运动，且分子与容器壁者离开此壁，或者平行此壁运动，且分子与容器壁的碰撞为弹性的，则：的碰撞为弹性的，则：VA (2）每秒碰于此器壁单位面积上的分子数）每秒碰于此器壁单位面积上的分子数n0(16 nV=3.3 1021个个)2、某容器内分子数密度为、某容器内分子数密度为1020m-3,每个分子的质每个分子的质量为量为3 10-27 Kg,设其中设其中16的分子数以速率的分子数以速率 V200 m/s垂直地向容器的一壁运动，而其余垂直地向容器的一壁运动，而其余5/

33、6的的分子或者离开此壁，或者平行此壁运动，且分子分子或者离开此壁，或者平行此壁运动，且分子与容器壁的碰撞为弹性的，则：与容器壁的碰撞为弹性的，则：(3) 作用于此器壁上的压强为多少？作用于此器壁上的压强为多少？1/3nmv2=4 10-3 Pak32np 理想气体压强公式理想气体压强公式2k21vm 三、温度的微观意义三、温度的微观意义方均根速率方均根速率 RTmkT332 vnkTp kT23 温度温度 T 的物理的物理意义意义3 3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等 1 1） 温度是分子平均平动动能的量度温度是分子平均平动动能的量度

34、2 2）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义kTm23212kv上式可以看成是温度的微观定义上式可以看成是温度的微观定义（反映热运动的剧烈程度）（反映热运动的剧烈程度）（A）温度相同、压强相同。）温度相同、压强相同。（B）温度、压强都不同。）温度、压强都不同。（C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强.（D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强.RTMpV 解解TRP )He()N(2 )He()N(2pp 例例 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动一瓶氦气和一瓶氮气密

35、度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们例例 理想气体体积为理想气体体积为 V ，压强为，压强为 p ，温度为，温度为 T ,一个一个分子分子 的质量为的质量为 m ，k 为玻尔兹曼常量，为玻尔兹曼常量，R 为摩尔气为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：体常量，则该理想气体的分子数为：（A） （B）（C） （D）mpV)(RTpV)(kTpV)(TmpVkTpVnVNnkTp 解解10.3 真实气体的范德瓦尔斯方程 *二氧化碳气体的等温线二氧化碳气体的等温线 1313等温线等温线与理想气体的等温线相似与理想气体的等温线相似汽液共存汽

36、液共存饱和汽：在汽液共存时的饱和汽：在汽液共存时的蒸汽。蒸汽。GA部分部分AB部分部分10.3 真实气体的范德瓦尔斯方程 *二氧化碳气体的等温线二氧化碳气体的等温线 BD部分部分曲线几乎与体积轴曲线几乎与体积轴垂直，反映了液体垂直，反映了液体不易压缩的性质。不易压缩的性质。 2121等温线等温线汽液共存线较短，饱和汽液共存线较短，饱和汽压强较高。汽压强较高。结论：结论：饱和汽压强与蒸饱和汽压强与蒸汽的体积无关、却与温汽的体积无关、却与温度有关。度有关。 10.3 真实气体的范德瓦尔斯方程 *31.1 时：临界等温线时：临界等温线 汽液共存线收缩为一拐汽液共存线收缩为一拐点，称为临界点点，称为临

37、界点 。48.148.1时：其等温线相似时：其等温线相似于理想气体的等轴双曲线。于理想气体的等轴双曲线。 10.3 真实气体的范德瓦尔斯方程 *对理想气体状态的修正对理想气体状态的修正（1 1）体积修正）体积修正RTMpV 设设V 为容器体积，为容器体积，b为一摩尔分子所占体积为一摩尔分子所占体积RTMbMVp )(（2 2）压强修正）压强修正f f对理想气体状态的修正对理想气体状态的修正RTMpV 考虑分子间存在引力，气体考虑分子间存在引力，气体分子施与器壁的压强应减少分子施与器壁的压强应减少一个量值，称为一个量值，称为内压强内压强22VaMpi a为比例系数为比例系数ipbMVRTMp 2

38、2VaMbMVRTM RTMbMVVaMp 222范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程范德瓦耳斯方程描述二范德瓦耳斯方程描述二氧化碳气体等温线曲线氧化碳气体等温线曲线与真实气体的等温曲线与真实气体的等温曲线比较，除在低温时，在比较，除在低温时，在虚线部分不符外，其它虚线部分不符外，其它都能很好的吻合。都能很好的吻合。范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程气体分子速度（要考虑方向）具有一定的分布规气体分子速度（要考虑方向）具有一定的分布规律，是律，是Maxwell在在1859年首先从理论上推导出来年首先从理论上推导出来的，由于技术条件的限制（如真空技术、测量方的，由于技术条件的限制（如真空技术、测量方法等），直到

39、法等），直到1920年，施特恩才第一次设计了分年，施特恩才第一次设计了分子束实验来直接测定分子的速率分布，实验结果子束实验来直接测定分子的速率分布，实验结果与理论公式符合。与理论公式符合。10-4 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布v)(vfovvvvdd1lim)(0NNNNf 一、分布函数定义一、分布函数定义vvv dSd表示在温度为表示在温度为T 的平衡状的平衡状态下，速率在态下，速率在V+dV附近附近单位速率区间单位速率区间 的分子数的分子数占总数的百分比占总数的百分比 .物理意义物理意义NdNdvf)(vSfNNdd)(dvv1d)(d00vvfNNN 归一化条件归一化条件v)(vfo

40、vvv dSd概率描述概率描述? ?10-4 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于v1+v2内分子数内分子数?vvvvd)(21fNN21vv vvvvd)(21fNNNNS)(21vvv)(vfo1vS2v速率位于速率位于v1+v2内分子数内分子数占总数的百分比占总数的百分比?vvvvd )(21f速率分布演示速率分布演示二、麦克斯韦气体速率分布定律二、麦克斯韦气体速率分布定律vvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律年麦克斯

41、韦从理论上得到速率分布定律1920年施特恩从实验上证实了速率分布定律年施特恩从实验上证实了速率分布定律分分子子 实实速速 验验率率 数数分分 据据布布的的100200速率区间速率区间 百分数百分数20030030040040050050060060070070080080090090010020.6 %1.4 %8.1 %16.5 %21.4 %15.1 %9.2 %4.8 %2.0 %0.9 %(m/s)二、麦克斯韦气体速率分布定律二、麦克斯韦气体速率分布定律反映理想气体在反映理想气体在热动平衡热动平衡条件下，各速率区间分子条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的数占总分子数的百分比的规

42、律规律 。vvNddNf)(v)(vfo22232e)2(4)(vvvkTmkTmf三三 、三种统计速率、三种统计速率pv1 1）最概然速率）最概然速率mkTmkT41. 12p v RT41.1 kNRmNAA, v)(vfopvmaxf气体在一定温度下分布在最概然速率气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的分子数最多附近单位速率间隔内的分子数最多 . .物理意义物理意义NNNNNnniidddd2211vvvvv2 2）平均速率）平均速率vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTf8d)(0vvvv RTmkT60.160.1 vv)(vfo3 3）方均根速率）方均根速率2v

43、mkT3 v)(vfoNNN 022dvvNNf 02d)(vvvmkTvvrms32 RTmkT332 v RTmkT60. 18 v RTmkT22p vf(v)vpvv2v2pvvv N2 分子在不同温度下的速率分布分子在不同温度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT30011pv2pvKT12002v)(vfov

44、)(vfoKT3001KT12002 RTmkT22p v1pv2pvKT3001KT12002同一温度下不同气体的速率分布同一温度下不同气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo高空中，高空中，H2比O2、N2少得多少得多? RTmkT22p v其原因是脱离地其原因是脱离地 球引力作用的分子数较多，月球的球引力作用的分子数较多，月球的大气成分主要是一些重惰性气体。大气成分主要是一些重惰性气体。讨论讨论1 1、麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有

45、的速率. .（B B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值. .（C C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值. .（D D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大（相同速率区间）率最大（相同速率区间）. .pvpvpvpvvvvvpd)(Nf1 1）pd)(212vvvv Nfm2 2）2 已知分子数已知分子数 N ，分子质量，分子质量m ,分布函数分布函数f(v)，求，求1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2） 速率在速率在 间所有分子平动动能之和间所有分子平动动能之和 . 3）多次观察某一分子的速率，发

46、现其速率大于）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 V0的概率是多少？的概率是多少？vv ppvvv d)(dNfN 解：速率在解：速率在v-v+dv的分子数的分子数？pd)(212vvvv Nfm2）212pvmv dNkE 0)(vdvvf3）、多次观察某一分子的速率，发现其速率大于）、多次观察某一分子的速率，发现其速率大于V0的概率是多少的概率是多少?例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和氧曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最概然速率上数据求出氢气和氧气的最概然速率?.?.vv )(

47、fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o500m/s例例 、用分子总数、用分子总数N N，气体分子速率分布函数，气体分子速率分布函数f(v)f(v)表示表示下列各量下列各量: :（1 1）速率大于）速率大于V V0 0的分子数的分子数(2) (2) 速率大于速率大于V V0 0的那些分子的平均速率的那些分子的平均速率 0)(vdvvNf 0000)(/)()(/)(vvvvdvvfdvvvfdvvNfdvvNvfdv(v)fvv0v22)(OHNN

48、NNA 22)(OHNNNNC 22()HONNBNN C 例：温度为例：温度为T时，在方均根速度为时，在方均根速度为 30m/s的速度的速度区间内，区间内，H2和和O2两种气体分子数占总分子数的百分比两种气体分子数占总分子数的百分比相比较相比较 ，则有：，则有：2vO2H2vf(v)例例 有有 N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为:)(vfC ( vo v 0)0 ( v vo )1、作速率分布曲线。、作速率分布曲线。2、由、由N 和和vo求常量求常量C。3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。、求粒子的方均根速率。Cvov)(vfo解：解：0d)(

49、vvfoCv11d0oCCovvv2dd)(200oCCfovvvvvvvv2212ooovvvv20202231dd)(ooCfvvvvvvvvovv332注意：对不同的分布函数，有不同的平均速率、注意：对不同的分布函数，有不同的平均速率、方均根速率和最概然速率方均根速率和最概然速率.奥地利物理学家玻耳兹曼奥地利物理学家玻耳兹曼（Boltzmann，1844 - 1906），在麦克斯韦速率），在麦克斯韦速率分布的基础上考虑到外力分布的基础上考虑到外力场对气体分子分布的影响，场对气体分子分布的影响，建立了气体分子按能量的建立了气体分子按能量的分布规律。分布规律。 保守力场中分子的能量：保守力场

50、中分子的能量：pk空间区域：空间区域：zzzyyyxxxd,d,d速度区间：速度区间：zzzyyyxxxvvvvvvvvvd,d,d玻耳兹曼能量分布律：玻耳兹曼能量分布律：zyxekTmnNzyxkTopkdddddd2d230vvv1ddd2k23 zyxkTekTvvv m根据归一化条件根据归一化条件 ?xvyvzvvdvv 142222302 dvvekTkTmv m1ddd2k23 zyxkTekTvvv m根据归一化条件根据归一化条件 zyxenNkTddddp0体元中含有各种速度的分子数为体元中含有各种速度的分子数为 kTpenzn)0()(玻耳兹曼密度分布律：玻耳兹曼密度分布律：

51、zkTgmenzn0)0()(zRTMgen(0)kTpenzn)0()(gzmp0为分子的重力势能试用试用Maxwell速度分布律计算每秒碰到单位面积器速度分布律计算每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数。已知壁上的气体分子数。已知X方向速度分布律如下：方向速度分布律如下：kTmvxxxekTmNdvdNvf22122)( 每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数* * *物理意义物理意义? ?每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数* * *解：取直角坐标解：取直角坐标xyz，在垂直于，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积轴的器壁上取一小块面

52、积dA.设单设单位体积内的分子数为位体积内的分子数为n，则单位体，则单位体积内速度分量在积内速度分量在vx-vx+dvx区间区间内的分子数为内的分子数为xxdvvfn)(dAdtvxx在该速度区间内的分子数在该速度区间内的分子数在在dt时间内能够与时间内能够与dA 相碰相碰的分子数为的分子数为xxxdvvfndtdAv)(dAdtvxx因此每秒碰到因此每秒碰到单位面积器壁单位面积器壁上的分子数为上的分子数为xxxdvvnfvN)(0 xkTmvxdvekTmnvx221022 212 mkTn mkTv 8 vn41 ?UU238235的分离和dAdtvxxxxxdvvnfvN)(0 xkTm

53、vxdvekTmnvx221022 首先将铀转变为气体化合物。到目前为止，首先将铀转变为气体化合物。到目前为止，六氮化铀是唯一合适的一种气体化合物。六氮化铀是唯一合适的一种气体化合物。气体扩散法试用试用Maxwell速率分布律证明平动动能在速率分布律证明平动动能在 - +d 内内分子数占总分子数的百分比为分子数占总分子数的百分比为 dekTdfkT 2123)(2)(并根据上式求分子平动动能的最概然值和平均值。并根据上式求分子平动动能的最概然值和平均值。解：解：221mv mdv2 dvvfdf)()( dvekTmkTmv223224 dvvfdf)()( dvekTmkTmv223224

54、dekTkT 2123)(2kTekTf 2123)(2)(0)( fkTp21 kTdf23)(0 自由程自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程 . .10-6 10-6 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程简化模型简化模型 1 . 分子为刚性小球分子为刚性小球 。 2 . 分子有效直径为分子有效直径为 （分子间距平均值）。（分子间距平均值）。 3 . 其它分子皆静止其它分子皆静止, 某一分子以平均速率某一分子以平均速率 相相对其他分子运动对其他分子运动 .du2vu =2vu =ijijvvu =?2222ijijijvvv v u=2222i

55、jvvv v u =20ijv v 22vu = 2vu =2分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数ndZv222Zdnu 平均自由程平均自由程 ndz221vnkTp pdkT22 T 一定时一定时p1 P 一一 定时定时T解解pdkT22m1071. 8m10013. 1)1010. 3(22731038. 185210231m62. 6m10333. 1)1010. 3(22731038. 13210232 例例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自由试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程程 :（1）273 K、1.013 时时 ; ( 2 ) 273 K 、1.333 时时. Pa105P

56、a103（空气分子有效直径（空气分子有效直径 ： ）m1010. 310d1、系统内所有分子的无规则运动的动能。、系统内所有分子的无规则运动的动能。2、分子内部原子间的振动势能。、分子内部原子间的振动势能。3、分子之间的相互作用势能。、分子之间的相互作用势能。4、原子内电子间的能量和原子核内部的能量。、原子内电子间的能量和原子核内部的能量。10-710-7能量均分定理能量均分定理1. 质点的自由度质点的自由度 一、自由度一、自由度确定一物体在空间位置所需之独立坐标数目确定一物体在空间位置所需之独立坐标数目 作直线运动的质点：1个自由度个自由度作平面运动的质点：2个自由度个自由度作空间运动的质点

57、：3个自由度个自由度火车：被限制在一曲线上运动火车：被限制在一曲线上运动，自由度为，自由度为1 1 飞机：自由度为飞机：自由度为3 3（经度、纬度、高度）（经度、纬度、高度）（经度、纬度）（经度、纬度）轮船：被限制在一曲面上轮船：被限制在一曲面上 运动，运动，自由度为自由度为2 约束条件约束条件6个坐标中只有个坐标中只有5个是独立的。个是独立的。12222111MM ()(xxyyzz,2MM1l212212212)()()(zzyyxxl 2.2.刚性杆子的自由度刚性杆子的自由度3.运动刚体的自由度运动刚体的自由度zyx Czxy1coscoscos2223个平动自由度个平动自由度3个转动自

58、由度个转动自由度单原子分子：一个原子构成一个分子单原子分子：一个原子构成一个分子刚性双原子分子：两个原子构成一个分子刚性双原子分子：两个原子构成一个分子三个自由度三个自由度氢、氧、氮等氢、氧、氮等五个自由度五个自由度氦、氩等氦、氩等 4. 刚性分子的自由度刚性分子的自由度 i刚性刚性多原子分子：三个以上原子构成一个分子多原子分子：三个以上原子构成一个分子6个自由度个自由度水蒸汽、甲烷等水蒸汽、甲烷等4. 刚性分子的自由度刚性分子的自由度 i单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子自由度自由度i转动转动平动平动356023333三原子三原子 (多原子多原子 分子分子) 4. 刚性分子的自由度刚性

59、分子的自由度 ikTm23212K v 222231vvvvzyxkTmmmzyx21212121222vvvyzxo10-3-2 10-3-2 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 能量均能量均分定理分定理在平衡态下，分子的每个自由在平衡态下，分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其度都具有相同的平均动能，其值为值为2kTkTik2分子平均动能分子平均动能单原子分子：单原子分子：kTk233i多原子分子：多原子分子：kTk266i双原子分子：双原子分子：kTk255i能量按自由度均分演示能量按自由度均分演示10-3-3 理想气体的内能理想气体的内能理想气体内能理想气体内能气体中所有分子的

60、动能气体中所有分子的动能一摩尔理想气体内能一摩尔理想气体内能RTikTiNEAmol22 RTiMEMEmol2 TRiME 2 结论结论理想气体的内能只是温度的单值函数。理想气体的内能只是温度的单值函数。)(TEE 态函数态函数例：当氢气和氦气的压强和体积以及温度均相等时，求例：当氢气和氦气的压强和体积以及温度均相等时，求它们内能之比它们内能之比. RTPV RTiE2532121iiEE例例. 容器内有某种理想气体，气体温度为容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压，压强为强为0.01 atm ( 1atm = 1.013105 Pa )，密度，密度为为1.2410-2 kg m-3。