分式线性变换

1、关于分式线性变换关于分式线性变换现在学习的是第一页，共53页2一 分式线性变换及其分解1 分式线性变换概念(1) 函数,azbwczd0(7.3),abadbccd称为分式线性变换,简记为( ).wL z(2) 在扩充z平面上补充定义0, (), ( );dacLLcc 0, ( ).cL ( ).wL zz则定义在整个扩充 平面上现在学习的是第二页，共53页3(3)( )wL zzw将扩充 平面单叶地变成扩充 平面( )wL z具有逆变换1( )(7.4).dwbzLwcwa(4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的( )wL z因除极点外解析且单叶,从而现在学习的是第三页，共

2、53页42 分式线性变换的分解azbwczd0,c abzdd0,c 1abcadccczdczd1abcadcc1abcadcc,cbcadhkac.kh,bahkddkzh现在学习的是第四页，共53页5(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合( )(0),Iwkzhk1().IIwz(2) (I)(II)型变换的几何性质( ) Iwkzh型称为整式线性变换(0,),ikeR若则,iwe zh即iwe z旋转旋转ww位似位似(伸缩伸缩)wwh平移平移现在学习的是第五页，共53页6旋转与伸长旋转与伸长(或缩短或缩短)变换变换wz o)()(wz o)()(wz zbwwzb平移映

3、射平移映射iwe zo现在学习的是第六页，共53页71()IIwz型变换称为反演变换此变换可进一步分解为此变换可进一步分解为:1,z关于单位圆周的对称变换关于单位圆周的对称变换;,w关于实轴的对称变换关于实轴的对称变换yxzrCo.P.P .A1/wz.2:, ,CzrOPPOP OPr设以圆心 为起点的一条半直线上 如果有两点与满足关系式:.则称这两点关于圆周对称规定规定: 无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.现在学习的是第七页，共53页8yxz1Co.P.P .A1/wz.OP AOAP:OPOAOA OP21OP OPOA即即:1z1z, zO且都在过单位圆心 的同一条直

4、线上z与 关于单位圆对称的性质.现在学习的是第八页，共53页9例例1试将线性变换试将线性变换341zwiz分解为简单变换的复合分解为简单变换的复合.解解341zwiz1iz(1)iz 3i3i43i34(1)ii iz1(34 ) izi 3i因此可分解为因此可分解为43 ,wzi()434(arctan),3izez 322345,zi zz211,zz1,zzi的复合的复合.现在学习的是第九页，共53页10例例2 试证试证:除恒等变换外除恒等变换外,一切线性变换一切线性变换(7.3)恒有两个恒有两个相异的或一个二重的不动点相异的或一个二重的不动点证明证明(0),azbwadbcczd线性变

5、换线性变换(7.3)的不动点适合的不动点适合,azbzczd即即2()0,(7.7)czda zb上面系数不全为零上面系数不全为零,.wz否则为恒等变换现在学习的是第十页，共53页11(1)0,(7.7)c 若则有两个根1,2(),2adzc120,;z z 当时 有两个相异不动点0,.2adzc 当时 有一个二重不动点2()4dabc (2)0,(7.7)c 若则变为()0,da zb0,(7.7)ad当时有根,bzda这时这时(7.3)为为,abwzdd有不动点有不动点;bzzda 及现在学习的是第十一页，共53页120,ad当时0,b 必wz(否则为恒等变换)不动点不动点,bzda (7

6、.3).z 故这时以为二重不动点二二 分式线性变换的共形分式线性变换的共形1(1) () II wz对0,z 只要则21dwdzz 0，()0,.IIz 故在是保角的现在学习的是第十二页，共53页13定义定义7.3,二曲线在无穷远点处的交角为就是指它们在反演变换下的像曲线在原点的交角为 .().IIz从而在扩充 平面是保角的(2) ( ) I wkzh对dwkdz 0，.z 在是保角的,z 对,w 像点为由定义由定义7.3引入两个反演变换引入两个反演变换11,zw11,kh则现在学习的是第十三页，共53页14(7.8),kh即002|()dhkhdhk从而1k 0，(7.8)0;故变换在是保角

7、的( ).Iz于是在z= 是保角的,进而在扩充 平面是保角的3 定理定理7.7分式线性变换分式线性变换(7.3)在扩充在扩充z平面上是共形的平面上是共形的.注注在无穷远点处在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性不考虑伸缩性的不变性.现在学习的是第十四页，共53页15三三 分式线性变换的保交比性分式线性变换的保交比性1定义定义7.412341234,( ,).zz zz zz zz z扩充 平面上有顺序的四个相异点构成下面的量 称为它们的交比,记为:314112344232( ,):.zzzzz zz zzzzz注注,1.当四点中有一点为 时 包含此点的项用 代替124( ,)z zz如41421:

8、 ,1zzzz3.z 相当于现在学习的是第十五页，共53页162 定理定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。在分式线性变换下，四点的交比不变。证明证明1,2,3,4,iiiazbwiczd设()(),()()ijijijadbc zzwwczd czd则因此因此1234(,)w w w w31413232:wwwwwwww41414242()()()()()()()()adbc zzczd czdadbc zzczd czd31313232()()()():()()()()adbc zzczd czdadbc zzczd czd现在学习的是第十六页，共53页1731414232:zzzz

9、zzzz1234( ,);z zz z注注0,adbc由于, , ,a b c d故知中至少有一个不为零,azbwczd从而中至少只依赖于三个复数因此只需指定三对对应点因此只需指定三对对应点:( )11,2,3;w L zizwi123123( , )(, )z zz zw w w w从(7.3),即可得到且除相差一个常数因子外是唯一的且除相差一个常数因子外是唯一的.现在学习的是第十七页，共53页183 定理定理7.9123123,zz zzw w w设分式线性变换将扩充 平面上三个相异点指定变为则此分式线性变换就被唯一确定 并且可以写成313111232232:.wwzzwwzzwwwwzz

10、zz注注三对对应点唯一确定一分式线性变换三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明证明先考虑已给各点都是有限点的情形先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是设所求分式线性函数是,dczbazw那么，由那么，由dczbazwdczbazwdczbazw222222111,现在学习的是第十八页，共53页19得得)()()(1111dczdczdczbazdczbazww11()()()()zzadbcczd czd同理，有同理，有111()(),()()zzadbcwwczd czd313131()(),()()zzadbcwwczd czd323232()(),()()zzadbcwwc

11、zd czd222()();()()zzadbcwwczd czd因此，有因此，有231321231321:zzzzzzzzwwwwwwww现在学习的是第十九页，共53页20 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。得这样的分式线性函数也是唯一的。,)(3zzcbazw那么，由那么，由,)(,)(32223111zzcbazwzzcbazw同理有同理有23132121:zzzzzzzzwwww 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。样的分

12、式线性函数也是唯一的。 其次，如果已给各点除其次，如果已给各点除 外都是有限点。外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：则所求分式线性函数有下列的形式：3w现在学习的是第二十页，共53页21例例3求将求将1,1,ii分别变为分别变为1,0,i的分式线性变换的分式线性变换.解解所求的分式线性变换为所求的分式线性变换为( 1,0, , )(1,1, )i wiiz 即即11:00wiwi(1) 1: ,(1) 1zizi整理得整理得1.3iziwzi 现在学习的是第二十一页，共53页22四四 分式线性变换的保圆周分式线性变换的保圆周(圆圆)性性对对(I)显然将圆周显然将圆周(或直线或直线)变

13、为圆周变为圆周(或直线或直线).对对(II)型型:因圆周因圆周(或直线或直线)可表为可表为20( ,),(7.11)AzzzzCA CRAC0,A当时表示直线1,(7.11)wz经过反演变换变为0(0),CwwwwAC 表直线它表示圆周或直线它表示圆周或直线.现在学习的是第二十二页，共53页231 定理定理7.10 分式线性变换将平面上圆周分式线性变换将平面上圆周(或直线或直线)变为圆周变为圆周(或直线或直线).注注1在扩充在扩充z平面上平面上,直线可视为过无穷远点的圆周直线可视为过无穷远点的圆周.事实上事实上,(7.11)可写成可写成0,CAzzzz,欲过0.A则当且仅当注注2(7.3),z

14、w将扩充 平面上的圆周变为扩充 平面上的圆周同时圆被共形变换成圆同时圆被共形变换成圆-分式线性变换的保圆性分式线性变换的保圆性.现在学习的是第二十三页，共53页24( )wL z2确定圆周所界区域在分式线性变换下的对应区域的方法01(1),zK取00111(),(),wL zDDL K若则21().DL K否则123123(2),;z z zz z zK在圆周上任取三点,当沿顺次绕行时, 在观察者前进方向左侧1231,( )w w wLK 对应地沿顺次绕时,在观察者前进方向左侧的区域就是 的像(左手法则).现在学习的是第二十四页，共53页252w.1w.3w.1z.2z.3z1K1D0z0w3

15、w.2w.1w.1z.2z.3z1K1D0z0w现在学习的是第二十五页，共53页26注注3 在扩充在扩充z平面上给定区域平面上给定区域K及及D,其边界是的圆其边界是的圆周周,则则K可可共形变换成共形变换成D.注注40( ),.wL zCCz要使分式线性变换把圆周 变为直线条件是 上点 变成例例4 试决定在分式线性变换试决定在分式线性变换211zwz下实轴与上半下实轴与上半z平面及单位圆周平面及单位圆周1z 的像的像.解解(1) 因系数为实数因系数为实数,;zw故 为实数时为实数从而该线性变换把实轴变为实轴从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域故将实轴为边界的两个区域,即上下两个

16、半平面即上下两个半平面,w分别变为上下两个 平面.现在学习的是第二十六页，共53页2721( )1iw ii13,22iIm0Im0.zzww故将上半 平面变为上半 平面(2) 扩充扩充z平面上的圆周由三个点决定平面上的圆周由三个点决定,1,z 为确定单位圆周的像123:1,1,zzi z 在其上取三点123113:,;222wwi w它们依次变为1z 从而给定的变换将单位圆周变为121131,Im.2222wwiw过点的直线现在学习的是第二十七页，共53页28五五 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性1定义定义7.51212,:,z zzaRz za关于圆周对称是指都过圆心 的同一条

17、射线上 且合212(7.6),za zaRa此外还规定圆心 与点 也是关于 为对称的.注注12,:,z zzaR关于圆周对称 必要且只要221(7.5),Rzaza证明证明12,z za, 在同一条射线上 则21(),zak zakR“必要性必要性”现在学习的是第二十八页，共53页2921zakza2121za zaza221,Rza则则所以所以2za1()za21;Rza211()()Rza za“充分性充分性”221,Rzaza由有221Rzaza11zaza221Rza1()zak1()za现在学习的是第二十九页，共53页30 0z.1z.2z.0:, zzR 的一对对称点 , 21是是

18、关关于于圆圆周周设设zz.,0zz 切切点点为为的的切切线线作作从从.20的的割割线线是是显显然然 zz010220zzzzzz 因为因为.0Rzz 所以所以:,z即在 上 且 的切线就是 的半径,z .,2R 2 定理定理7.11212,. zzzz扩充z平面上的两点关于圆周 对称的充要条件是,经过的任何圆周 与 正交证明证明.因此与 正交12 , zz过的直线必与 正交,12,zz设 为过的任一圆周(非直线),现在学习的是第三十页，共53页31,反反之之12,z z过作一圆周(非直线) ,0. z z则 的半径就是 的切线 0z.1z.2z.z .22010,zzzzR12.zz因此 与

19、是关于圆周 的一对对称点;,z则 与 正交 交点之一为120,z zz连结延长后必过12,)z z(因过的直线与 正交 ,120,z zz于是在从 出发的同一条射线上,且有现在学习的是第三十一页，共53页323 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性定理定理7.12121122, ,( ),( ),()( ).zz zwL zwL zwL zL 设扩充 平面上两点关于圆周 对称为一分式线性变换 则两点关于圆周对称证明证明12,www设 是 平面经过与的任一圆周12,( );zzzL 此时必存在 平面上过 与 的圆周使12,z z因关于圆周 对称,.因此 与 正交由分式线性变换的保角性由分

20、式线性变换的保角性,( )( );LL 与正交由定理由定理7.11,12. ww与是关于圆周 对称现在学习的是第三十二页，共53页33解解,(1)2,zi由于所求变换 将变为上半平面(1)2,zi故必将圆周变为实轴112,ziwi又因为它将变为由定理由定理7.12,12(1)2zizi它必将关于圆周的对称点141(2)(1)ziii 5, i1wi变为关于实轴的对称点2;wi 例例5 求线性变换求线性变换( ),wL z变为上半平面变为上半平面,(1)2zi使将圆盘使将圆盘2,1 31.ziwi ziw 且将变为变为现在学习的是第三十三页，共53页34由线性变换的保交比性由线性变换的保交比性,

21、所求的线性变换为所求的线性变换为( ,1,)iiw(2,5,1 3 , )iii z即即1:1wiiwii(2) (1 3 )(2):(5) (1 3 )(5)ziiiziii整理后得整理后得(75 )(1226 ).(1 5 )(68 )i ziwi zi现在学习的是第三十四页，共53页35六六 线性变换的应用线性变换的应用 由于线性变换具有共形性由于线性变换具有共形性,保交比性保交比性,保圆保圆(圆周圆周)性和性和保对称点性保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用起着重要的作用,下面介绍一些类型下面介绍一些类型.例例6zw把上半

22、平面保形变换成上半 平面的线性变换可以写成:azbwczd, , ,0.a b c dadbc其中为实数 且xy0zzuv0wIm0w 现在学习的是第三十五页，共53页36事实上事实上,所述变换将实轴变为实轴所述变换将实轴变为实轴,且当且当z为实数时为实数时2()dwadbcdzczd0,即实轴变为实轴是同向的即实轴变为实轴是同向的,zw因此上半 平面共形映射成上半 平面.或或1Im()2wwwi1(2iazbczd)azbczd12i2adbcczd()zz2adbcczdIm , zIm0,z 时Im0.w 有解解,;zw由于 为实数时也为实数, , ,;a b c d故为实数现在学习的是

23、第三十六页，共53页37例例7( ),zwwL z求将上半 平面共形映射成上半 平面的分式线性变换使符合条件1( ),0(0).iL iL 解解(wL z设所求的分式线性变换为( )azbwL zczd, , ,0;a b c dadbc其中为实数 且0(0),L由于0,0;ba故且故故( )zwL zcdzaa,zezf现在学习的是第三十七页，共53页38,;cdefaa其中都是实数( )1,L ii 由有1,iieif 即即()(),fei fei故故0,1fefe解该方程组得解该方程组得1;2fe故所的线性变换为故所的线性变换为1122zwz2.1zz现在学习的是第三十八页，共53页39

24、例例8Im01,(Im0)0.zwzaaw求将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换 并使上半平面一点变为解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,aa关于实轴的对称点0,ww应变到关于=1的对称点xyaauv01现在学习的是第三十九页，共53页40因此这个变换应具有形式因此这个变换应具有形式,(7.13)zawkza,k复常数 待定,0kz 为确定使实轴上一点;awka变到单位圆上一点awka,k1故可令故可令(),ike为实数(7.13)izaweza从而所求的变换为从而所求的变换为现在学习的是第四十页，共53页41注注1 确定变换确定变换(7.13)的的k,只需再给一对边界对应点只需

25、再给一对边界对应点.注注2(7.13),确定变换中的只需再给一对边界对应点arg( ),zaw a或指定在处的旋转角这里arg( ).2w a2|()iz az adwaaedzza2 Imieia()21.2Imiea现在学习的是第四十一页，共53页42例例911,(1)0.zwza aw求出将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换 并使一点变为解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,*1(0)1,a azaa点关于单位圆周对称点0,ww应该变成关于单位圆周=1的对称点因此所求变换具有形式因此所求变换具有形式1zawkza1(7.14)1zakaz1,k其中 是常数现在学习的是第四十二页

26、，共53页43利用单位圆周变为单位圆周的条件知利用单位圆周变为单位圆周的条件知,1,z 当时1,w 1,zw故取对应点 满足111awka11,k因此令因此令1(),ike为实数从而所求的变换为从而所求的变换为1(7.13)1izawezaz现在学习的是第四十三页，共53页44注注1 确定变换确定变换(7.14)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注2(7.14),确定变换中的只需再给一对边界对应点arg( ),zaw a或指定在处的旋转角这里arg( ).w a21|.1iz adwedza现在学习的是第四十四页，共53页45例例1000Im0( ),( ),( )0.zwwRwL zL iw L i求将上半平面共形映射成圆的线性变换使合条件xyiuvR0w( )010ii iziezi0wwR0wRw复合现在学习的是第四十五页，共53页46解解作线线变换作线线变换01;wwR将圆共形变换成圆,Im01,z其次 作上半平面到单位圆的线性变换0wwR0,zi使变成此变换为iziezi复合上述两个变换得复合上述两个变换得iziezi0wwR整理得整理得0iziwRewzi现在学习的是第四十六页，共53页4700,wwR