高二数学椭圆的第二定义

1、高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲本周教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识点1 .第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数ce=(0ce<1)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为a椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。22注意：对*2+4=1(aab>0)对应于右焦点F2(c,0)的准线称为右准线,ab2方程是x = a-,对应于左焦点F1(-c2,0)的准线为左准线x = - - ce的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2 .焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离

2、叫做椭圆上这个点的焦半径。22对于椭圆J+4=1(aAb>0),设P(x,y)为椭圆上一点，由第二定义：a-br2左焦半径T=一-r左=ex0+=a+ex02aaacX0一c右焦半径2右="c=.r右=a-ex0aa一x0c3.椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx,垂足为N过点B作BNAN垂足为M求当半径OA绕最新范本，供参考!。旋转时点M的轨迹的参数方程。解：设点M的坐标是（x, y）,平是以Ox为始边，OA为终边的正角，取 华为那么 x - ON =|OA|cos ： y

3、= NM =|OB|sin :x = a cos : y = bsin :（1）这就是椭圆参数方程：中为参数时，邛称为“离心角”说明：1对上述方程（1）消参即x普通方程I一ay.b2由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。4.补充名称方程参数几何意义直线x=x0+tcosot一一（t为参数）y=y0+tsinuPo（x。,y0）定点，u倾斜角,t=P0P，P（x,y）动点圆<!x=a+rcos6.目”为参数）y=b+rsin日A（a,b）圆心，r半径，P（x,y）动点，*旋转角椭圆4x=acos中h.中（中为参数）y=bsin中a长半轴长，b短半轴长中离心角（不是OM

4、与Ox的夹角）一般地，日、中取0,2叫5.直线与椭圆位置关系:（1）相离22xv与=1y=kxba2b2"22士+L1相离y行b2无解y=kxb参数方程法；法求椭圆上动点P(x,y)到直线距离的最大值和最小值，(法数形结合，求平行线间距离，作l'/l且l'与椭圆相切)关于直线的对称椭圆。(2)相切相切之y=kxb=1过椭圆上一点P0(x0,y0)的椭圆的切线方程为等+多ab-22xy+=1(3)相交Ufa2b2-1有两解y=kx+b弦长公式：|ABt也x1-x2)2(y1-y2)2二.1k2,(x1x2)2-4x1x2=1k2|xi-X2I=.正|a|（中点：斜率）=

5、作差法1.22已知A（-2,屈）,F是椭圆二十工=1的右焦点，点M在椭圆上移动，当1612M的坐标。|MA|+2|MF|取最小值时，求点分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|MA|+2|MF|=|MA|+|MP户|AA'|这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。解：设直线l是椭圆的右准线，MP±l,垂足为P,则lMF|=e,|MP|=1|MP|e1 1_|MF|,由已知万程得a=4,b=2,3,：c=2,e=,由此得|MP|二一|MF尸2 e2|MF|,从而得|MA|+2|MF|=|MA|十|MP户|AA'|,即当点M、A、P三点共线且M是A

6、P内分点时，等号成立，此时|MA|+2|MF|取得最小值，点M的坐标为（273,33）22例2.椭圆二十工=1的焦点为FpF2，点P为其上的动点，当/F1PF2为钝角94时，点P横坐标的取值范围是。（2000年全国高考题）分析：可先求/F1PF2=90°时，P点的横坐标。解：法一在椭圆中，a=3,b=2,c=J5,依焦半径公式知|PF1|=3+?5x,35一、一一一222|PF2|=3-x,由余弦定理知/F1PF2为钝角u|PFi|2+|PF2|2<|FiF212y352,52229(3+x)+(3x)<(2v5)ux<,应-22_x y =5,点P在y轴上335法

7、二设P(x,y),则当/F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为由此可得点P的横坐标x=±3，点P在x轴上时，/F1PF2=0;3:二 x :二、 5,5时，/5_52为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是:.5小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。22例3.过椭圆x+匕=1内一点M(2,1)弓L条弦，使弦被M点平分，求这条164弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一设所求直线方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理，得(4k2+1)x2

8、-(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,又设直线与椭圆的交点为2.A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1、x2是方程的两个根，于是x1+x2=2，4k12又M为AB的中点，x=4(2k-k)乜解之得k=-1，故所求直线方24k212程为x2y-4=0法二设直线与椭圆的交点为A(x1，)、B(x2,y2),M(2,1)为AB的中点，-x1+x2=4,y1+y2=2,又a、b两点在椭圆上，贝Ix2+4y12=16,xf+4y2=16,两式相减得(x12-x2)+4(y2-y2)=0.y1-y2x121.=x1一x24(y1y2)2即kAB-1，故所求直线为x2y-4=02法三：设所求直

9、线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于中点为M(2,1),则另一个交点为B(4x,2y).A、B两点在椭圆上，.有x2+4y2=16，(4x)2+4(2y)2=16皂得：x+2y4=0由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x+2y-4=0x=2tcos;法四直线万程为|y=1tsin:代入椭圆得：（2tcos：）24（1tsin：）2-16=0222.2 44tcos,，tcos二，48tsin二，4tsin:-16=0222 .（4sin.不+cos：）t（8sin.二+4cos二）t-8二08sin二二2cos：-01 8sina=-2cosa,tana=一2即kAB-1,故所求直线

10、为x2y-4=02使P到直线l: x - y + 4 = 0例4.已知椭圆x2+8y2=8,在椭圆上求一点P,的距离最小并求出距离的最小值(或最大值)？解：法一设P(2，2cose,sin 9)(由参数方程得|2.2 cos? - sin > 4|3sin（- ）-4|其中tan中=20当8 中二 r.1=万时，dmm = / =22.1此时cos日=-sin平=-，sin日=cos中=一33即P点坐标为P（8,1）33法二因l与椭圆相离，故把直线l平移至1',使1'与椭圆相切，则l与1'的距离,即为所求的最小值，切点为所求点（1”T最大）xy+m=0设1'

11、;:xy+m=0,则由22消x得x2+8y2=82 2229y-2my+m一8=0,令A=4m4x9(m-8)=0解之得m=±3,（-3为最大）,由图得m=一3此时PJ8,1）,由平行线间距离得。二士23 3222例5.已知椭圆E:±+匕=1,p（x,y）是椭圆上一点2516（1）求x2+y2的最大值（2）若四边形ABC咕接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形ABCM最大面积。分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y2代入x2+y：转化为x的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将x、y代入x2+y2,转化为三角问题求解。法三：令x2+y2

12、=r2,则利用圆与椭圆有公共点这一条件求r2的最值，解题时可结合图形思考。得最大值为25,最小值为16。题（2）可将四边形ABCM面积分为两个三角形白面积求解，由于AC是定线段，故长度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时四边形ABCD的面积最大。求得204万222解：(1)法一由二+乙=1得y2=16(1),25162522则x222x9x+y=x+16(1)=16+£16,252525.x2+y2的最大值为25,最小值为16人x=5cos二令/,Jy=4sin二则x2+y2=25cos2日+16sin2日=16+9cos20=16,25法三令x2

13、+y2=r2,则数形结合得r216,25(2)由题意得A(5,0),C(0,4),则直线AC方程为：4x+5y20=0,又设B(5cos8,4sin0),则点B到直线AC的距离，二.n、d_|20cosu20sini-20|_|202sin4)一20|20、.2-201=、41=4141同理点D到直线AC的距离d2 <20.2 20, 41:四边形的最大面积S=|AC|(d1d2)=20、222例6.已知椭圆x2=1(a>b>0),AB是椭圆上两点，线段AB的垂直平ab分线与x轴相交于点P(x。，0)。2222求证：分析：利用- 2aa-ba-b一：二x0:二aa(1992年

14、全国高考题)本题证明的总体思路是：用A、B两点的坐标x1、x2及a、b来表示x0,<x1+x2<2a证明证明：法一设A(x1,y1)、B(x2,y2),由题意知x1*x2且P(x0,0),由|PAgPB|得(x°)2+y2=&xj2+y；22又A、B两点在椭圆上，：y12=b2(1")，y2=b2(1多)aa2,2a - b- xix2,:有 x0xix22.2a -b又一awx1wa, - a < x2 < a,且x1#x2- 2a 二 x1 x2 : 2a2.2由此得.a_二）2,2a - b:二 Xo :二法二令|PA|=r,则以P为圆

15、心,r为半径的圆的方程为（x x0）2 + y2 = r2 d圆P与椭圆y、i-+ ' =i(a >b >0)父于 A、 b2B两点由、消去y整理得2,2a - b-2-2x°xxo22-r b = 0由韦达定理得xix222a x02,2a - b(-2a, 2a)2,2a -b:二 Xo-b2法三 设A(xi, yj、B(x2, Y2),AB的中点为M（m、n）x1 x2 = 2m, y1 y2 = 2n22又A、B两点在椭圆上4十与=1, a b22¥ =121 2a b则两式相减得(x1 x2)(x1 -x2) (y1y2)(yi - 勾b2yi

16、 -y2x1 一 x2x2 = 2m, y1，y2 = 2n代入整理得:xo2,2a -bxix22,2a -b代入整理得2(x2-x1)x0=(x2-x12)这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”例7.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴，离心率e=虫,已知点P（0,-）22到这个椭圆上的点的最远距离是77,求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于.7的点的坐标解法一：设椭圆的参数方程为_Lx=acosu（其中a>b>0,0we<2n）y=bsin二由e2=1一(2)2=刍，得a=2baa4设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d贝Ud2=x2(y-3)22=

17、a2cos21(bsin-3)22=-3b2(sin1-)24b232b,m1r一1如果a1即b<2b2那么当sine=-1时，d2取得最大值(J7)2=(b十斗22由此得b=V7-g与b<矛盾222因此必有<1,此时当sinH=-1时，d2取得最大值(77)2=4b2+32b2b解得b-1,a-2x=2cos所求椭圆的参数方程是x2Jy=sin二小1.3由sine=，cose=±22求得椭圆上到点p的距离等于"的点是（-V3,）与（J3,-）2222解法二：设所求椭圆的方程为二十_y2_=i（a>b>0）ab2由e2/T2X2设椭圆上的点（x

18、,y）到点P的距离为d则d2=x2(y3)2222a2=a_/yb:-3y2-3y4b24二-3(y24b2321 一.，一其中-bEyEb,如果b<,则当y=-b时2d2取得最大值(")2=(b+g)22解得b=T73>,与b<1矛盾2221故必有b-2当y=-1时，d2取得最大值(J7)2=4b2+32解得b=1,a=22所求椭圆方程为y2=14由y=1可求得到点P的距离等于、，7的点的坐标为（±73,-）22小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。【模拟试题】221.已知椭圆 x2+A = 1(a

19、>b>0)的焦点坐标是 Fi(-c, 0)和F2(c, 0), P(x0,蜘) a b是椭圆上的任一点，求证：|PF1|=a+ex0, |PF2|=aex0,其中位椭圆的离心 率。2.2在椭圆25y=1上求一点 巳 使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。93.椭圆 <(x+1)2 +(y-1)2 = 4x-3y-331 的长轴长是 。1022yx4. 椭圆 彳+= = 1(a >b >0)的两焦点为 R(0, -c), F2(0, c)(c>0),离心率 ab3e =,焦点到椭圆上点的最短距离为22-底,求椭圆的方程。5. 已知椭圆的一个焦点是F (1,

20、1)2与它相对应的准线是x + y - 4 = 0,离心率为 三,求椭圆的方程。6. 已知点P在椭圆2y2a2x+ 丁 = 1(a >b >0)上， b2F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|PF2|的取值范围。22xy7.在椭圆十匚=1内有一点A(2,1),过点A的直线l的斜率为一1,且与椭圆交8t于B、C两点，线段BC的中点恰好是A,试求椭圆方程。22xy8 .已知椭圆+匚=1,在椭圆上求一点M,使它到两焦点距离之积为16。25169 .如图，已知曲线4x2+9y2=36(x>0,y>0),点A在曲线上移动，点C(6,4),以AC为对角线作矩形ABCD使AB/x轴

21、，AD/y轴，求矩形ABCM面积最小时点A坐标。参考答案21.证明：椭圆勺a=1(a a b a 0)的两焦点F1(-c, 0)、F2 (c, 0),相应的准线2方程分别是x = a-和x2aoc.椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率,吟2 a-'Xo c叫2一e,axo一c化简得|PFi|=a+e%,|PF2|=ae%。点评：|PF1|、|PF2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，|PFi|=a+exo,|PF2|二a-exo称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点。2.解：设P点的坐标为（.椭圆的准线方程为 xx

22、, y）, F1、F2分别为椭圆的左、右焦点。=±25,4.IPF1I. 25 x425 x4.|PFiI = 2|PF2|. 2眸| . 25x4IPF2I25- -x42512把x=25代入方程122522:1彳曰v+11925因此，P点的坐标为（12.119、)。4点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。3.323解析：椭圆的方程可写成(x1)2(y-1)21-4x3y33|225由、得a =二， 32a2一个焦点是(一1,1),相对应的准线方程是4x-3y33=0,2a-cca322a34.解：.椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短,.a=2,故b=12椭圆的方程为y-x2-145.解：设P(x,y)为椭圆上任意一点,.椭圆的一个焦点是F(1,1),与它相对应的准线是x+y-4=0,离心率为2.(x-1)2(y-1)2_2.一|xy-4|2、24(x-1)2+4(y-1)2=