数学分析第1章

1、数学分析电子教案数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院重庆邮电大学数理学院高等数学教学部高等数学教学部沈世云沈世云数学数学 数学数学 而且是一种而且是一种思维模式思维模式; 不仅是一种不仅是一种知识知识, 而且是一种而且是一种素养素养; 不仅是一种不仅是一种科学科学, , 而且是一种而且是一种文化文化; 能否运用数学观念能否运用数学观念定量思维定量思维是衡量是衡量 民族科学文化素质的一个重要标志民族科学文化素质的一个重要标志.不仅是一种不仅是一种工具工具, 数学数学 一、简明数学史一、简明数学史 2 2、初等、初等( (常量常量) ) 数学时期数学时期 ( (公元前公元前600175060017

2、50年年) ) 古希腊数学科学地位独立；欧氏古希腊数学科学地位独立；欧氏“几何原本几何原本”确立数学成完确立数学成完 整科学；初等几何、算术、代数、三角等成独立学科。整科学；初等几何、算术、代数、三角等成独立学科。3 3、高等（变量）数学时期、高等（变量）数学时期 (1750(1750年年 1820 1820年年) ) 笛卡尔创建了解析几何；牛顿笛卡尔创建了解析几何；牛顿-莱布尼兹创建了微积分学；莱布尼兹创建了微积分学； 分析学、微分方程、概率论、射影几何取得很大成就。分析学、微分方程、概率论、射影几何取得很大成就。 4 4、近代数学时期、近代数学时期 (1820(1820年年19451945

3、年年) ) 非欧几何、集合论导致科学革命；拓扑学、数理逻辑、非欧几何、集合论导致科学革命；拓扑学、数理逻辑、 复变函数、近世代数、泛函分析、微分几何相继问世。复变函数、近世代数、泛函分析、微分几何相继问世。 5 5、科学数学化时期、科学数学化时期 (1945(1945年年 ) ) 原子弹、电子计算机、运筹学、模糊数学、数学建模。原子弹、电子计算机、运筹学、模糊数学、数学建模。 马克思：只有成功运用数学时，一门学科才算真正完善。马克思：只有成功运用数学时，一门学科才算真正完善。 1 1、数学萌芽、数学萌芽 ( (数形数形) ) 时期时期 ( (公元前公元前20002000公元前公元前600)60

4、0) 贸易、测量、航海的需要而整理形成，如埃及金字塔的贸易、测量、航海的需要而整理形成，如埃及金字塔的 建筑。特点：片断、零散、建筑。特点：片断、零散、 缺乏逻辑、没有形成体系。缺乏逻辑、没有形成体系。1、训练思维的需要、训练思维的需要（数学是思维体操）（数学是思维体操）；2、经济与科技发展的需要、经济与科技发展的需要（科技是第一生产力，（科技是第一生产力， 数学是科技的基础）数学是科技的基础）；3、军事斗争的需要、军事斗争的需要（世一战为化学战、世二战为（世一战为化学战、世二战为 物理战、海湾战争为数学战）物理战、海湾战争为数学战）；5、未来从事科学研究的需要、未来从事科学研究的需要（数学位

5、于三大重点（数学位于三大重点 基础学科之首，为此硕士研究生入学考分数由基础学科之首，为此硕士研究生入学考分数由 100150 ） 。4、数学是科学技术的载体，为学习、数学是科学技术的载体，为学习后继课程后继课程提供提供 必须的数学工具必须的数学工具（物理、计算机、电子、机械、（物理、计算机、电子、机械、 经济、运筹、统计、会计等等）经济、运筹、统计、会计等等）； 二、为何要学数学二、为何要学数学整理笔记、完成作业、查阅参考书、整理笔记、完成作业、查阅参考书、使用工具书；使用工具书；1 1、树立自信，亲近数学；、树立自信，亲近数学；2 2、抓好四个环节，突出两个重点；、抓好四个环节，突出两个重点

6、；3 3、重视独立思考，依靠自学取胜；、重视独立思考，依靠自学取胜；预习环节预习环节听讲环节听讲环节复习环节复习环节小结环节小结环节会作笔记会作笔记(概要概要,重点重点, 难点难点,疑点疑点) 、紧跟、紧跟讲解、讲解、 擅于应答。擅于应答。了解大致内容、熟悉基本结构、找出难了解大致内容、熟悉基本结构、找出难点、试图解决之点、试图解决之写总结写总结（定义、定理、性质、典型解题（定义、定理、性质、典型解题方法）方法）；制表格；制表格 (条件、性质、结论、条件、性质、结论、几何意义几何意义)。三、如何学好数学；三、如何学好数学；四四. 数学分析简介数学分析简介 数学分析是高等学校数理科学专业的一门专

7、业基础课，通过本课程的教学使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，使学生的思维能力得到锻炼和提高。特别是基于强化基础、偏重一元微积分系统知识的教学，学生应能正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析中常用的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生数学基本功的训练与良好专业素质的培养起着十分重要的作用。五五. 数学分析与其它课程关系数学分析与其它课程关系 数学分析与另外两门基础课（高等代数、解析几何）相互协调，并以其自身为主干构成现代数学各分支的共同基础。几乎所有专业课都需要该课程的支撑。其后续课程主要有实变函数、复变函数、泛函分析、点

8、集拓扑等。它是学习常微分方程、偏微分方程、概率论、数学模型等应用性较强课程必备的直接基础，也对数值计算、数学实验、逻辑学、计算科学等学科的学习有着潜在的深远影响。六六. 课程学时与总分课程学时与总分 课程总学时224学时，14学分， 具体分配如下： 第一学期数学分析（1）88学时，5.5学分 第二学期数学分析（2）88学时，5.5学分 第三学期数学分析（3）48学时，3学分变量变量数学分析的主要内容数学分析的主要内容数学分析数学分析函数函数极限方法极限方法极限论极限论微分学微分学积分学积分学级数论级数论（单变量和多变量）（单变量和多变量）工具工具基础基础中心中心对象对象对象对象变动观点变动观点

9、关系关系内容内容教材及参考资料 1.教材：数学分析（第三版），欧阳光中，高等教育出版社 2.参考资料 1）数学分析讲义（第三版），刘玉链等编,高等教育出版社,1992 2）数学分析学习指导（上、下册），吴良森等编，高等教育出版社，2004 3）数学分析的思想方法，朱匀华等编，中山大学出版社，1998 4）吉米多维奇数学分析习题集解答，山东科技出版社，1983 第一章第一章 变量与函数变量与函数1 1 实数实数2 2 函数的概念函数的概念3 3 复合函数与反函数复合函数与反函数4 4 基本初等函数基本初等函数1.1 1.1 实数实数一一 . .集合与实数的性质集合与实数的性质二二. . 绝对值与

10、不等式绝对值与不等式1. 我们用符号“” 表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词. 几个常用符号几个常用符号2. 我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR,使x+y=1”符号“”称为存在量词.3. 我们用符号“”表示“充分条件”比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 或 “推出” 这一意思.则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.4. 我们用符号“”表示“当且仅当”比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.或 “充要条

11、件” 这一意思.1.集合v集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.v元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.一一. 集合与实数的性质集合与实数的性质v集合的表示列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 Mx | x具有性质P . 例如M(x, y)| x, y为实数, x2y21

12、. v几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.v子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差). ACIAx|xA为称A的余集或补集, 其中I为全集.提示: 如果研究某个问题限

13、定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集. v集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. (AB)CACBC的证明所以(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(AB)Cv直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB(x, y)|xA且yB称为集合A与集合B的直积.

14、 例如, RR(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. . .区间区间: : 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度区间长度: b-a: b-a注意注意:有时常用有时常用X,

15、Y等表示不指明是开的或闭的区间等表示不指明是开的或闭的区间. .邻域邻域: :. 0,且是两个实数与设a,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径. ),(axaxaOxaaa邻域的去心的点a. 0),(0axxaO,邻域的称为点数集aaxx说明: 对于负实数x,y,若有-x = -y与-x -y, 则分别称x = y与x x)4.实数集v两个实数的大小关系 说明: .自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxl

16、lkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 定义1 定义2 LLLL, 2 , 1 , 0101.210210，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位过剩近似的称为而有理数位不足近似的为实数称有理数为非负实数设说明: .101.210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL与分别规定为位不足近似与过剩近似的负实数说明: .,210210LLxxx，nxxxx，nxxnn即有增大时不增当过剩近似即有增大时不减当的不足近似实数命题1 .,:.位过剩近似的表示位不足近似

17、的表示其中的充要条件是则为两个实数与设nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnnLL5.实数的性质 1).实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数. 2).实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a b .3).实数集的大小关系具有传递性.即若a b, b c,则有acv实数的性质 .，则存在正整数 n,使得 nb a. 即对任何4).实数具有阿基米德性,a b 0,5).实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.6).实数集R与数轴上的点具有一一

18、对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.v实数的性质 例1 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba则有若对任何正数证明设例2 .,.bababababa，从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法证明 1.1.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量（常数）（常数）,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程

19、”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量（变数）（变数）.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量.一、基本概念. 函数的概念函数的概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrlnsin2L, 5 , 4 , 3 n3l5l4l6l圆内接正圆内接正n 边形边形Orn )因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfXx .),()(称为函数的值域函数值全体组成的数集YXxxfyyXf数集数集X叫做

20、这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应规律对应规律.xyXY约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : X211xy 例如，例如，) 1 , 1( : X关于函数定义的几点说明关于函数定义的几点说明: :;1).(.)()1 (YyXxYXfxfff即映射的一个单值对应到是函数的区别与函数值函数.)(1 , 1)(),(,sin:.,是一个数值而函数值例也可能没有原象可

21、能对应多个一个反之xfXfYXxyXxX，xYy.0,;210, 0,21:.,.)(|)(22，RtgT，TtgtSRxfxXxxfy值域从抽象的函数看值域自由落体公式例而定还要视实际问题的意义函数的定义域和值域然而的集合有意义的实数定义域是使.)3(中才是具体的只有在具体函数是抽象的对应规律定义中，f，.)2(出其定义域给定一个函数一定要指.)(:)4(图象法等列表法解析法常见有公式法的单值对应规律的方法是用于确定函数表示法、，YX .),(,)(. 2constCbaxCxfy常值函数例0,10, 00,1)(. 322xxxxxxfy分段函数例2)1(,0)0(,0)1(fff几个特殊

22、的函数举例几个特殊的函数举例 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线例例. “y 是是x的最大整数的最大整数部分部分”确定了一个函数确定了一个函数 y=x, 称为取整函数称为取整函数.Rx. 1)(0 ,)(, ,),(,xxxxxxRx，是一个非负小数是一整数其中注意84. 0)16. 2(, 316. 25 . 0)27(, 327 例例. 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgn.sgn,sgn|,:的的符符号号的的作作用用起起了了调调整整总总有有注注xxxxxRx 是无理数时是无理数

23、时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo例例. 狄利克雷函数狄利克雷函数).(,10, 0sin.sin1, 01sinxyyyxyKeplerxxyyxx确定了一个隐函数为常数方程得方程 例例. 函数有时可由方程确定函数有时可由方程确定. 如如.:.,0),(是是一一个个隐隐函函数数一一个个方方程程一一般般不不一一定定就就注注称称为为隐隐函函数数确确定定的的函函数数关关系系凡凡能能由由方方程程yxF例例. 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg（5）函数的图象函数

24、的图象.),(坐坐标标平平面面上上的的点点有有序序实实数数对对一一一一对对应应yx.,)(),(),(又又称称曲曲线线的的图图象象函函数数称称为为平平面面点点集集XxxfyXxxfyyxGoxy),(yxxyYX .)(至多有一个公共点轴平行的直线与任何一条与能表示一个函数平面点集GyxfyG性质性质：（6）函数的相等与不等函数的相等与不等).()(,)(;)(xgxfXxiiXigf均均有有对对它它们们有有相相同同的的定定义义域域相相等等和和函函数数).()(.,xgxftsXxXgf一一个个但但至至少少存存在在相相同同或或者者虽虽然然定定义义域域或或者者它它们们的的定定义义域域不不同同不不

25、等等和和函函数数注：分清和“函数值的相等与不等”。.cossin1.sinsin:22相相等等和和不不相相等等和和例例xxxyxyxxxyxy例例脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形其波形如图所示如图所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函的函数关系式数关系式.)0( tt解：解：UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(时时当当 t. 0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(, 0,2(),

26、(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例1010.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故（）单值函数与多值函数 在函数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D, 对应的函数值对应的函数值y总是唯总是唯一的一的, 这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则, 按这个法则按这个法则, 对每个对每个x D, 总有确定的总有确定的y值与之对应值与之对应, 但这个但这个y不总是唯

27、一的不总是唯一的, 我们称我们称这种法则确定了一个多值函数这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数: 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 221)(xrxyy. 22xry. 三、函数的一些几何特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,)(成成立立有有若若上上有有定定义义在在数数集集设设MxfXxMXxf1函数的有界性函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf2函数的单调性函数的单调性:,)(Xxf的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点

28、点如如果果对对于于xxxxX;)()(单调增加的单调增加的严格严格上是上是在在则称函数则称函数Xxf),()()()() 1 (2121xfxfxfxf恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoX)(xfy )(1xf)(2xfxyoX,)(Xxf的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于xxxxX;)()(单调减少的严格上是在则称函数Xxf),()()()() 1 (2121xfxfxfxf恒有恒有当当X是区间时称为是区间时称为f(x)的单调区间的单调区间.例例113函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称

29、设设数数集集,XxX)()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf图形关于图形关于y轴对称轴对称)()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设数数集集,XxX图形关于原点对称图形关于原点对称偶偶函函数数为为偶偶数数奇奇函函数数为为奇奇数数例例,:nnxyn都内的任何函数证明定义在对称区间例)(),(. 21xfll.与一个偶函数之和可以表示成一个奇函数:证构造两个函数，设法由)(xf使得一个是奇函数一个是偶函数，).(xf且两者之和恰为),()(21)

30、(xfxfxF令)()(21)(xfxfxG)()(21)(xfxfxF),(xF).()()(xGxFxf且)()(21)(xfxfxG)( xG ,)(是偶函数xF,)(是奇函数xG所以因为.这种表示法是唯一的我们还可以进一步证明我们只要能证明，)()(),()(xGxQxFxH.问题就能获得解决,)(是奇函数xQ,)(是偶函数设xH且)()()(xQxHxf)()(xQxH)()()(xQxHxf从而: ) 2( ) 1 ()()(21)(xfxfxH)()(21)(xfxfxG)(xF: ) 2( ) 1 ()(xG.故表示法是唯一的) 1 () 2(4函数的周期性函数的周期性:（通常

31、说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l使使得得如如果果存存在在常常数数, 0)()(xfxf且且为周为周则称则称)(xf,)(,XxXx有有对对于于任任意意.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xf.恒成立恒成立例例1313解解,01)( QxQxxD设设.)().21 (),57(的性质并讨论求xDDD, 1)57( D, 0)21( Doxy1有界函数有界函数, 偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,四、小结.基本概念基本概念常量与变量常量与变量, 实数实数, 区间区间, 邻域邻域,

32、 绝对值绝对值.函数的概念函数的概念. .函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .,2 ,.sin,lnsin)() 12( ,2(,sinln,sin), 0(,ln:意义则无如否则才有意义的定义域时在的定义域使其值域包含只有限制构成新函数与例xxyuyxuZkkkxxyRxxuuuy 1 , 0(u 一、一、 复合函数复合函数第二节第二节 复合函数和反函数复合函数和反函数yxXxeiyuUuxXx1,.,1,1,*为上定义了一个函数，记于是在X,),(Xxxfy., 称为中间变量称为复合函数 uf则对且值域为域为,*UUUX的定义的定义域

33、为：若)(,)(. 1xfuUuyDef的值即可以复合的条件是与注)(,:1*xfuUUf.)( 的定义域域不超出uy), 1,1:Uuy例), 5),(, 52uxxu复合函数), 22,(,4)5(122xxxy)., 1), 22,(, 5,*2UXxu限制此时).(),(,cos)(, 12)(:2xfgxgfxxgxxf求例).12cos()(, 1cos2)(:22xxfgxxgf解!)()(:2不是一回事与注xfgxgf.:3到有限个函数的情形复合函数的概念可推广注)., 1, )32ln(32,ln,:xxyxvvuuy例.11)(1,1111)(:xxfxxxxf知由解),(

34、)(,)(111)(xfxfffxxfxff.)()(xxffxffff.111111)11 ()(1(xxxxfxff).1, 0(),)(1(),(),(,1)(:1xxxffxffffxffxxxf求设例例2：).(,0, 10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解：1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)()1 (时当x, 0 x或, 12)( xx;20 x, 0 x或, 11)(2 xx; 1x,1)()2(时当x, 0 x或, 12)( xx;2x, 0 x或, 11)(2 xx; 01x综上所述.2, 120011, 2,)(2122xxxxxexe

35、xfxx.arcsinln) 1 (:35xtgy 例,arcsin,ln,:35xttwwvtgvuuy解)(lnln(ln)2(32xy .ln,ln,ln:32xttwwvvuuy解2. 复合函数的“分解”： 简单函数二、反函数二、反函数例例:),(, 12YXxy).1(21,|,yxXxyYy对1. Def : ,| ),( . , )( XxyXfyXxxfy若对设函数，表为的反为上定义了一个函数，称则在)()( , )( .xfyXfyxfts).( ),(1Xfyyfx根据定义，有).()( ,)( ) 1 (212121xfxfxxXxxXfX且之间是一一对应的，即与互为反函

36、数。与)( )( )2(1yfxxfy).( , )( ; , )( )3(11XfyyyffXxxxff例：)., 0( , , ) 10(yRxaayx不存在反函数。其反函数 , ), 0 , ),(, )., 0(,log)(21yxxyyyyfxa)., 0 , ,0 ,()., 0 , ), 0yyxxyyxx反函数若反函数若Th. 减减少少）。上上也也严严格格单单调调增增加加（或或它它在在则则必必存存在在反反函函数数少少）上上严严格格单单调调增增加加（或或减减在在设设)(),(,)(1XfyfxXxfy证明：用反证法。存在函数，即证先证.)( . ,1),()(yxftsXxXfy

37、xfy).(),(),(),(.),(,)()(221121211121211xfyxfyyfxyfxyyXfyyXfyfx即又设且上严增。设在其次证).(,)(1),()()()(.)()(, . ),(12102121210yfxyxfxxfyxfxfXxfyyxfxfxxXxxtsXfy反函数即存在矛盾。于是，上严格单增在这与已知有，且对某个假设注1. 函数严格单调仅是存在反函数的充分条件，而不是必 要条件。例： . 10 , 01 ,1)(xxxxxfyxy-1112上存在反函数上非单调函数，而在在2 , 0)1 , 1( 1 , 1f. 21 ,1, 10 , )(1yyyyyfx严

38、增。上在故有否则上严增，故必有在又由)()().()(,( ,)(),()(12121212121XfyfxxfxfxxxxXxfyxfxfyy注2. 函数存在反函数与否跟讨论的定义区间有关。例：.1 , 1 ,arccos; , 0 ,cos. 1 , 1 ,arcsin; 2,2 ,sinxyxyxyxy2. 函数及其反函数的图像).()( ) 1 (1xfyxfy的反函数表示为符号恰好相反。与通常使用因变量的表示中，自变量在反函数,)(1xyyfx).()()()(111xfyyfxyfxxfy改写为表达出来，必须把在同一坐标系内把他们是同一条曲线。为与在图形上，曲线互为反函数。与)()

39、(1xfyxfy例：)., 0(,lg),(,10.) 1(2112xxyxyxyxyx和互为函数与(2) 图像之间的关系：互相对称。的图像关于直线与xyxfyxfy)()(1)(1xfyxy )(xfy ),(xyMyOxFig 7),(yxM对称。关于直线与上，则点即在曲线若点xyxyMyxMyfxxfyyxM),(),()()(),(11、指数函数、指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 一、基本初等函数一、基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲函数统称为基本初等函数。双曲函数统称为基本初等函数。第三节第三节 初等函数初等函数2、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 3、幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xy