lec4－平面投影、点线面从属关系

1、1内 容 (教材P44-52)一、平面的投影一、平面的投影1.1.表示法表示法2.2.各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性二、点、线、面的从属关系二、点、线、面的从属关系1.1.平面上取点、线平面上取点、线2.2.平面上的特殊位置线平面上的特殊位置线233不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c ( (一一) )平面的表示法平面的表示法1.1.几何元素表示几何元素表示44( (一一) )平面的表示法平面的

2、表示法2.2.迹线平面迹线平面55几何元素与迹线平面的转换几何元素与迹线平面的转换66垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影反映实形投影反映实形平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影是类似形投影是类似形 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行( (二二) )平面的投影特性平面的投影特性77 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊

3、特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面88投影面平行面投影面平行面99a b c a b c abc积聚且平行于轴积聚且平行于轴积聚且平行于轴积聚且平行于轴实形实形水平面水平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别另两个投影面上的投影分别积聚积聚成成与相应的与相应的投影轴平行投影轴平行的直线的

4、直线。投影面平行面投影面平行面投影特性：投影特性：1010投影面垂直面投影面垂直面 1111c c c c a ab bc ca a b b b b a a 类似形类似形类似形类似形积聚性积聚性铅垂面铅垂面在它垂直的投影面上的投影在它垂直的投影面上的投影积聚积聚成直线。该直成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。投影面垂直面投影面垂直面投影特性：投影特性：1212a b c a c b abc三个投影都三个投影都是是类似类似形形。投影特性：投影特性：

5、一般位置平面一般位置平面1313a c b c a abcb 思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？45 例：正垂面例：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。1414a c b c a abcb 例：正垂面例：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？451

6、51616M M 若点在平面上的一条若点在平面上的一条已知直线上，则此点必已知直线上，则此点必在该平面内在该平面内。1.1.点在平面上的几何条件点在平面上的几何条件 结论：要在平面上取点，应先在平结论：要在平面上取点，应先在平面内取线，然后再在该直线上确定点面内取线，然后再在该直线上确定点的位置。的位置。PAB1717M MN NA AB BM M1. 1. 若一直线过平面上的若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平两点，则此直线必在该平面内。面内。（可称为两点法）（可称为两点法） 2. 2. 若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线必

7、在另一直线，则此直线必在该平面内。该平面内。（可称为一点一方向法）（可称为一点一方向法） 2.2.直线在平面上的几何条件直线在平面上的几何条件1818abcb c a d d解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？答：有无数解！答：有无数解！n m nmabcb c a 例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试在在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。1919 答：答：一解！一解！有多少解？有多少解？例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H H面的距离为面的距离为10mm10mm。n m nm10c a

8、b cab2020利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解例例3 3：已知：已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影点的水平投影baca k b c d dkabca b k c k2121例例4 4：已知：已知K K点在平面点在平面P P上，求上，求K K点的水平投影点的水平投影PX通过在面内任作一辅助线求解通过在面内任作一辅助线求解PHPVk kk1PXPHPVk 2222在平面上作一条水平线求解在平面上作一条水平线求解例例4 4：已知：已知K K点在平面点在平面P P上，求上，求K K点的水平投影点的水平投影PHPX

9、PVk k 如何在迹线平面上如何在迹线平面上作投影面的平行线？作投影面的平行线？ 作正平行线能求此解吗？作正平行线能求此解吗？2323例例5：在：在ABC内取一点内取一点M，并使其到，并使其到H面面V面的面的 距离距离均为均为10mm。dede1010mmbcX XbcaaO O2424例例6 6：在：在ABCABC内过点内过点C C作水平线作水平线CDCD和正平线和正平线BEBE。ddbcX XbcaaO Oee2525平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线AMAM为平面为平面P P上对上对H H面的最大斜度线。面的最大斜度线。角角为为AMAM与与H H面的夹角，即是平面面的夹角，即是平面P P对对H H面的倾角。面的倾角。是平面上垂直于该平面上的投影面平行线的直线是平面上垂直于该平面上的投影面平行线的直线2626在平面上过点在平面上过点A A作对作对H H面的最大斜度线，求平面的最大斜度线，求平面对面对H H面的夹角面的夹角。迹线平面几何元素平面27完成平面形的投影2828例：已知例：已知ACAC为正平线，补全平行四