多元微分法与运用

1、主要内容主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极限运算极限运算多元连续函多元连续函数的性质数的性质多元函数概念多元函数概念全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性方向导数方向导数全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数多元函数的极值的极值二元函数的极限二元函数的极限定义定义 设函数设函数),(yxfz = =的定义域为的定义域为),(,000yxPD是其是其 聚点，如果对于任意给定的正数

2、聚点，如果对于任意给定的正数e e，总存在正数，总存在正数 d d，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 d d - -+ +- -= = 20200)()(|0yyxxPP 的一切点，都有的一切点，都有e e 0， P0 的去心的去心d d 邻域邻域 U(P0, d d )。 在在U(P0, d d )内，函数内，函数),(yxfz = =的图形总在平面的图形总在平面e e+ += = Az及及e e- -= = Az之间。之间。0lim( )PPf xA= =. )() ( 0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于Axfyyxx= =)(lim00Ayxfyyxx= = =),(lim0

3、0) (0Px轴轴沿平行沿平行Ayxfyyxx= = =),(lim00) (0Py轴轴沿平行沿平行) )( (000Pxxkyy- -+ += =沿沿Ayxfxx= =),(lim0000)(yxxky- -+ +确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义定义定义注意注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。在曲线上的所有点处均间断。在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定义区域定义区域 = =PPfPfPP闭区域上连

4、续函数的性质闭区域上连续函数的性质在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理偏导数的定义偏导数的定义),(yxfz = =xyxfyxxfxfxyyxx - - + += = = = =),(),(lim0000000)

5、,(00yxfx= =yyxfyyxfyfxyyxx - - + += = = = =),(),(lim0000000),(00yxfy= =xyxfyxxfxfx - - + += = ),(),(lim0),(yxfx= =yyxfyyxfyfx - - + += = ),(),(lim0),(yxfy= =时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。注意：注意：有关偏导数

6、的几点有关偏导数的几点说明说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 22( , ),xxzzfx yxxx = ),(22yxfyzyzyyy= = = = 2( , ),xyzzfx yyxx y = ).,(2yxfxyzyzxyx= = = = 混合偏导混合偏导高阶偏导数高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .( 注意注意：混合偏导数相等的条件：混合偏导数相等的条件)全微分的定义全微分的定义. yBxAdz + + = =如果函数如果函数),(yxfz = =在点在点),(yx的全增量的

7、全增量 ),(),(yxfyyxxfz- - + + + += = 可以表示为可以表示为 ： )(r royBxA z+ + + + = = ， 其中其中BA,不依赖于不依赖于yx 、而仅与而仅与yx、 有关，有关， 22)()(yx + + = =r r，则称函数，则称函数 ),(yxfz = = 在点在点 ),(yx 可微分，可微分，yBxA + + 称为函数称为函数 ),(yxfz = = 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz ，即，即 .dyyzdxxzdz + + = = 全微分形式不变性全微分形式不变性多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可

8、微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx- -+ +- -= =- -切平面上点的切平面上点的竖坐标的增量竖坐标的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz = =因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为:),(yxfz = =在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz = =在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.uv1、z x 型型复合函数求导法则复合函数求导法则.dxdvvzdxduuzdx

9、dz + + = =).( ),( ),(xvxuvufz = = = =.dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz + + + + = =以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzuvw型型 xz特殊地特殊地),(yxufz = =),(yxu = =,xfxuufxz + + = = .yfyuufyz + + = = 其中其中ywwzyvvzyuuzyz + + + + = = xwwzxvvzxuuzxz + + + + = = zwvuyx2、z uvxy型型,xvvzxuuzxz + + = = .yvvzyuuzyz + + = = ).,( ),(),(yxvyxu

10、vufz = = = =0),(. 1= =yxF.yxFFdxdy- -= =隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),(. 2= =zyxF.zyFFyz- -= = ,zyFFyz- -= = = = =0),(0),(vuyxGvuyxF3.,),(),(1vxGFJxu - -= = ,),(),(1xuGFJxv - -= = ,),(),(1vyGFJyu - -= = .),(),(1yuGFJyv - -= = vGuGvFuFvuGFJ = = = =),(),(常用方程两边常用方程两边求导法求导法微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的

11、切线与法平面1.1.设空间曲线的方程设空间曲线的方程 = = = =).(),(),(tztytx ; ),(00000ttzyxM= =对应于对应于设设曲线在曲线在M0 点的点的切向量切向量： )( ),( ),( 000tttT = =过过 M0 点处的点处的法平面方程法平面方程：0)()()(000000= =- - + +- - + +- - zztyytxxt 过过M0 点的点的切线方程切线方程：.)()()(000000tzztyytxx - -= = - -= = - -,)()(100000 xzzxyyxx - -= = - -= =- -. 0)()()(00000= =-

12、 - + +- - + +- -zzxyyxxx 法平面方程为：法平面方程为：2.2.空间曲线方程为空间曲线方程为, )()( = = =xzxy .)( ),( , 1 00 xxT = =曲线在曲线在 M0(x0, y0, z0) 点处的切向量：点处的切向量：切线方程：切线方程：,)()(100000 xzzxyyxx - -= = - -= =- -. 0)()()(00000= =- - + +- - + +- -zzxyyxxx 法平面方程为：法平面方程为：切线方程：切线方程：曲线在曲线在 M0(x0, y0, z0) 点处的切向量：点处的切向量：3.3.空间曲线方程为空间曲线方程为

13、, 0),(0),( = = =zyxGzyxF).( ),( , 1 00 xzxyTxx = =( 方程两边求导法求：方程两边求导法求：)(0 xzx ),(0 xyx 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线1. 1. 若曲面方程为若曲面方程为0),(= =zyxF曲面在点曲面在点M(x0, y0, z0) 的的切平面方程：切平面方程：0)()()(000= =- -+ +- -+ +- -zzMFyyMFxxMFzyx法线方程：法线方程：.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx- -= =- -= =- -),(),(),( 00000

14、0000zyxFzyxFzyxFnzyx= =曲面在曲面在 M (x0, y0, z0) 处的处的法向量法向量2. 2. 若曲面方程为若曲面方程为).,(yxfz = =曲面在曲面在M处的处的切平面方程：切平面方程：,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx- -= =- -+ +- -曲面在曲面在M处的处的法线方程：法线方程：.1),(),(0000000- - -= =- -= =- -zzyxfyyyxfxxyx.1 ),( ),( 0000- -= =yxfyxfnyx曲面在曲面在 M (x0, y0, z0) 处的处的法向量法向量方向导数方向导数.),(),(lim

15、0r rr ryxfyyxxflf- - + + + += = 定义定义的方向导数的方向导数沿方向沿方向限为函数在点限为函数在点的极限存在，则称这极的极限存在，则称这极时，如果此比时，如果此比趋于趋于沿着沿着比值，当比值，当之之两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf + + = = - - + + + +22)()(),(),(r r记为记为方向导数方向导数方向导数方向导数梯梯 度度. ),( jyfixfyxfgrad + + = =三元函数的梯度三元函数的梯度. ),(kzfjyfixfzyxfgrad + + + + = =多元函数的极值多元函

16、数的极值多元函数的极值多元函数的极值驻点驻点极值点极值点注意：注意：, 0),(= =yxfx0),(= =yxfy条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法 = = = = = = =. 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组练练 习习 题题1.1.3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz = =求求设设2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz + + += =，求求具具有有二二阶阶导导数数设设)(二二阶阶偏偏导导数数连连续续f.lim)2(

17、 ,)(lim)1( 2200 xyyxyxxxyyxyx+ + +- - 求极限求极限4.4.)( . , ), ,(2223二二阶阶偏偏导导数数连连续续求求设设fyxzyzxyxyfxz = =5.5. , 2yxzezyxz = =+ + +求求设设练练 习习 题题6.求极值。求极值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22- - -+ + += =设设的最短距离的最短距离之间之间与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222= =- -+ + += =zyxyxz7.1.1.解：解：201 (1) lim(1), (2) lim.yxyxxxyy yxyxexy+ + + +求极限求

18、极限2201lim(1)yxyexxyxee+ + += =xyyxyx+ + lim )2( + += = xyyx11lim. 0= =2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz + + += =，求求具具有有二二阶阶导导数数设设解：解：令令,2222yxyxu+ + += =).( ufz = =则则z uxyz型型xududfxz = = ).22(2xxyf+ + = = fxxyxxz + + = = )22(222uxyz型型f xfxxyxxyxf + + + + = =)22()22(22 fxxyxxz + + = = )22(222uxyz型型f xfxxyxx

19、yxf + + + + = =)22()22(22 + + + + = =xudufdxxyyf)22()22(22)22()22()22(222xyxfxxyyf+ + + + + + = =.)1(4)1(2222fyxfy + + + + += =2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz + + += =，求求具具有有二二阶阶导导数数设设解：解：3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz = =求求设设)(二二阶阶偏偏导导数数连连续续f解解: :令令,xyu = =; yv = =).,( vufz = =则则记记,1uff = = ,12211ufuff

20、 = = = = ,2vff = = vfvuff = = = = 1212,12222vfvff = = = = .2221ufuvff = = = = 二阶偏二阶偏导连续导连续z uvxy型型1f uvxy型型2f uvxy型型解解: :令令,xyu = =; yv = =).,( vufz = =则则xuufxz = = ,1fy = =z uvxy型型vfyuufyz + + = = ,21ffx + + = =3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz = =求求设设)(二二阶阶偏偏导导数数连连续续f)(122f yxxz = = xfy = =1xuufy =

21、=1.112fy = =)(2122ffxyyz + + = = yffxy + + = =21)(yfyfx + + = =21 + + + + + + = =vfyuufvfyuufx2211 22211211ffxffxx + + + + + + = =.22212112ffxfx + + + + = =)(12f yyyxz = = yfyf + + = =11 + + + + = =vfyuufyf111).(12111ffxyf + + + + = =1f uvxy型型2f uvxy型型4.4.)( . , ), ,(2223二二阶阶偏偏导导数数连连续续求求设设fyxzyzxyxy

22、fxz = =解解: :令令,xyu = =;xyv = =).,( 3vufxz = =则则记记,1uff = = ,12211ufuff = = = = ,2vff = = vfvuff = = = = 1212,12222vfvff = = = = .2221ufuvff = = = = 二阶偏二阶偏导连续导连续fuvxy型型 yvufxyz 3),(= = yfx = =3)(3yvvfyuufx + + = =)1(213xfxfx + + = =.2214fxfx + + = =4.4.)( . , ), ,(2223二二阶阶偏偏导导数数连连续续求求设设fyxzyzxyxyfxz

23、= =解解: :令令,xyu = =;xyv = =).,( 3vufxz = =则则 yfxfxyz 221422 + + = = yyfxfx2214 + + = = yfxyfx + + = =2214)()(222114yvvfyuufxyvvfyuufx + + + + + + = =)1()1(2221212114xfxfxxfxfx + + + + + + = =,222123115fxfxfx + + + + = =2112ff = = yvufxyz 3),(= = yfx = =3)(3yvvfyuufx + + = =)1(213xfxfx + + = =.2214fxf

24、x + + = = + + + + + + = =xfxfxxfxfx22221414)()(+ + + + + + = = 411413xvvfxuufxfx + + + + + + 22222xvvfxuufxfx+ + - - + + = = 421211413xyfyfxfx - - + + + + 22222122xyfyfxfxxyzyxz = = 22)(2214fxfxx + + = =.2422114213 fyfyxfxfx - - + + + + = =+ + - - + + = = 421211413xyfyfxfx - - + + + + 22222122xyfyfx

25、fx+ + - - + + = =122114134fyxfyxfx2221222fyfyxfx - - + + + + + + + + + = = 411413xvvfxuufxfx + + + + + + 22222xvvfxuufxfx5.5. , 2yxzezyxz = =+ + +求求设设解解: :设设,),(zezyxzyxF- -+ + += =则则:, 1= =xF, 1= =yF,1zzeF- -= =zxFFxz- -= = ze- - -= =11,11- -+ + += =zyxzyFFyz- -= = ze- - -= =11,11- -+ + += =zyx5.5.

26、 , 2yxzezyxz = =+ + +求求设设解解: : - -+ + + = = 112zyxyyxz),(yxzz = =2)1()1(- -+ + + + +- -= =zyxyz3)1(- -+ + + + +- -= =zyxzyxzxFFxz- -= = ze- - -= =11,11- -+ + += =zyx的最短距离的最短距离之间之间与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222= =- -+ + += =zyxyxz6.求极值。求极值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22- - -+ + += =设设7.6.求极值。求极值。yxyxyxyxfln10ln4),(

27、22- - -+ + += =设设解解:函数的定义域：函数的定义域：00| ),( yxyxDxyxfx42- -+ += =yyxfy102- -+ += =令令, 0= =, 0= =解得解得),35 ,34( ),35 ,34( ),2 , 1( ),2 , 1(- - - - -其中只有其中只有D )2 , 1(是驻点。是驻点。,422xfxx+ += =, 1= =xyf.1022yfyy+ += =点处，点处，在在 )2 , 1( , 06 = =A, 1= =B,29= =C, 0262 = =- - ACB因此，在因此，在(1, 2)处取得极小值处取得极小值. 2ln107)2

28、 , 1(- -= =f6.求极值。求极值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22- - -+ + += =设设解解:函数的定义域：函数的定义域：00| ),( yxyxD的最短距离的最短距离之间之间与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222= =- -+ + += =zyxyxz7.解：解：,),(22上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设yxzzyxP+ += =,022dzyxP的距离为的距离为到平面到平面= =- - -+ +则则:.2261- - -+ += =zyxd设设.)22(61),(2- - -+ += =zyxzyxu则问题就是在条件则问题就是在条件022= =-

29、- -yxz下，下，求求2)22(61),(- - -+ += =zyxzyxu的最小值。的最小值。解：解：设设.)22(61),(2- - -+ += =zyxzyxu则问题就是在条件则问题就是在条件022= =- - -yxz下，下，求求2)22(61),(- - -+ += =zyxzyxu的最小值。的最小值。构造函数构造函数),()22(61),(222yxzzyxzyxF- - -+ +- - -+ += = 的最短距离的最短距离之间之间与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222= =- -+ + += =zyxyxz7. = =- - -= =+ +- - - -+ += = =

30、 =- - - -+ += = = =- - - -+ += = )4( , 0)3( , 0)2)(22(31)2( , 02)22(31)1(, 02)22(31 22yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx 令令.81= =z构造函数构造函数),()22(61),(222yxzzyxzyxF- - -+ +- - -+ += = 由由 (1), (3) 得得,41= =x由由 (2), (3) 得得,41= =y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的极值点即得唯一可能的极值点.647241414161min= =- - -+ += =d值一定存在，值一定存在，根据

31、题意，距离的最小根据题意，距离的最小处取得最小值处取得最小值故必在故必在)81 ,41 ,41(.81= =z由由 (1), (3) 得得,41= =x由由 (2), (3) 得得,41= =y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的极值点即得唯一可能的极值点例：例：解：解：., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设 = = = = ,ffdyfdzdudxxy dxz dx=+=+,cosxdxdy= =显然显然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy= =

32、,02321= = + + + + dxdzdxdyexy 例例 已知曲面的方程为已知曲面的方程为,sinxyxz = =证明：曲面上任一证明：曲面上任一点处的切平面通过某一定点。点处的切平面通过某一定点。解解:设曲面上任一点为设曲面上任一点为 M ( x0, y0, z0 ) .sinsincos,xyyyyzxxxxxx =-=- sincos,yyyzxyxx = 解解:曲面在点曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为处的法向量为 1 ,cos ,cossin 00000000- - -= =xyxyxyxyn切平面方程切平面方程:0)()(cos)(cos(sin000

33、00000000= =- - - -+ +- - -zzyyxyxxxyxyxy曲面在点曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为处的法向量为: 1 ,cos ,cossin 00000000- - -= =xyxyxyxyn切平面方程切平面方程:0)()(cos)(cos(sin00000000000= =- - - -+ +- - -zzyyxyxxxyxyxy0)sin(cos)cos(sin000000000000= =- -+ +- -+ +- -xyxzzxyyxxyxyxyM ( x0, y0, z0 ) 是曲面上的点，是曲面上的点，因此，因此，0000sin0 .

34、yzxx- -= =切平面方程切平面方程:. 0cos)cos(sin00000000= =- -+ +- -zxyyxxyxyxy因此，曲面上任一点处的切平面均通过原点因此，曲面上任一点处的切平面均通过原点 (0, 0, 0)。设常数设常数 ，平面，平面 通过点通过点 ，且在三坐标轴上的截距相等，在平面且在三坐标轴上的截距相等，在平面 位于第一位于第一卦限部分求一点卦限部分求一点 ，使函数，使函数: : 在点在点 取得取得最小值。最小值。 （1010分）分）0a (4 , 2 ,3 )aaa- -000(,)P xyz31(, )u xy zxyz= =000(,)P xyz考考 题题 选选 编编 1xyzDDD+ + += =由题设条件得：由题设条件得：Da= =解：设平面解：设平面的方程为：的方程为： 平面平面 的方程为：的方程为：xyza+ + += =因为：因为：所以：所以： 31(, )u xy