理论力学第五章

1、返回总目录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第二篇第二篇 动力学动力学(Dynamics)(Dynamics) 第五章第五章 刚体动力学的基本概念刚体动力学的基本概念制作与设计制作与设计 山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 返回首页Theoretical Mechanics 引引 言言刚体：即在任何情况下变形可以忽略不计的物体。刚体：即在任何情况下变形可以忽略不计的物体。研究物体在力作用下平衡规律的科学研究物体在力作用下平衡规律的科学 平衡：物体相对于某一惯性参考系平衡：物体相对于某一惯性参考系（地面可近似地地面可近似地看成是惯性参考系

2、看成是惯性参考系）保持静止或作匀速直线运动的状保持静止或作匀速直线运动的状态。态。第二篇第二篇 动力学动力学 返回首页Theoretical Mechanics第五章第五章 刚体动力学的基本概念刚体动力学的基本概念 5.1 力与力的投影力与力的投影(Force and Projection) Theoretical Mechanics有向线段长度代表力的大小有向线段长度代表力的大小线段的方位和指向代表力的方向线段的方位和指向代表力的方向 线段的起点表示力的作用点线段的起点表示力的作用点 5.1 力与力的投影力与力的投影5.1.1 力的概念力的概念 力力是物体之间的相互机械作用是物体之间的相互机

3、械作用 力是定位矢量力是定位矢量, ,用有向线段表示用有向线段表示用黑体大写字母F表示力矢量用白体字母F表示力的大小。 在国际单位制中，力的单位为牛顿（N） 返回首页 Theoretical Mechanics 力的分类力的分类按力的相互作用的范围分为集中力集中力(CF)分布力分布力(UDF)水池池底所受的水池池底所受的水压力为均布力水压力为均布力; ;侧壁所受的水压侧壁所受的水压力是按三角形规力是按三角形规律分布的分布力律分布的分布力. .LFqL0lim分布力的集度分布力的集度 返回首页5.1 力与力的投影力与力的投影5.1.1 力的概念力的概念 xyz Theoretical Mecha

4、nics力在轴上的投影力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量的标量积：力与该投影轴单位矢量的标量积eFFe直角坐标系Oxyz的单位矢量为i、j、k，力F在各轴上投影 cosFFxiF 返回首页1. 直接投影法FFzFxFycosFFyjFcosFFzkF5.1.2 力的投影力的投影O5.1 力与力的投影力与力的投影 Theoretical Mechanics 返回首页5.1.2 力的投影力的投影2.二次投影法在直角坐标系中力在直角坐标系中力F 的矢量式的矢量式F = Fx i + Fy j + Fz k sinFFxsinFFycosFFzcossinxyzFOFxyFyFxFz5.1 力与力的

5、投影力与力的投影 Theoretical Mechanics222zyxFFFFFFFFFFzyxcos,cos,cos 已知力已知力F在直角坐标轴上的三个投影，在直角坐标轴上的三个投影，其大小和方向分别为其大小和方向分别为5.1.2 力的投影力的投影 返回首页5.1 力与力的投影力与力的投影 Theoretical Mechanics将力将力F 沿直角坐标轴方向分解沿直角坐标轴方向分解 F = Fx + Fy + Fz力力F 沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有Fx = Fx i,，Fy = Fy j，Fz = Fz k 值得注意:以上各式是在直角坐标系中推导

6、的，以上各式是在直角坐标系中推导的，在非直角坐标系中并不成立在非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一个重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由几何运算转换为代数运算。 返回首页5.1 力与力的投影力与力的投影5.1.2 力的投影力的投影 Theoretical Mechanics例例 题题N100, 0, 01111FFFFzyx力F2在各坐标轴上的投影： 0N310030cosN10060cos22222zyxFFFFF力F3在各坐标轴上的投影： 333333cos30 sin4575 6Ncos30 cos4575 6Nsin30150NxyzFFFFFF 3例例 图中a = b =

7、 m，c = m。力F1 = 100N，F2 = 200N，F3 = 300N，方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。 2力F1在各坐标轴上的投影： 返回首页解：5.1 力与力的投影力与力的投影 返回首页Theoretical Mechanics第五章第五章 刚体动力学的基本概念刚体动力学的基本概念5.2 力的分类及其基本公理力的分类及其基本公理Classification and axioms of force Theoretical Mechanics 返回首页作用与物体的多个力称为力系力系(Force system)。按照力在空间位置的分布情况，力系可分为： 平面力系平面力系(Plane

8、) 空间力系空间力系(Space)按照力作用线是否具有特殊关系，力系分为： 汇交力系汇交力系(Concurrent) 平行力系平行力系(Parallel) 任意力系任意力系(Random) Theoretical Mechanics静力学的理论体系是在此基础上建立起来的静力学的理论体系是在此基础上建立起来的 公理一公理一: (力的平行四边形法则力的平行四边形法则, Parallelogram Law) 作用于物体某一点的两个力的合力，亦作作用于物体某一点的两个力的合力，亦作用于同一点上，其大小及方向可由这两个力所用于同一点上，其大小及方向可由这两个力所构成的平行四边形的对角线来表示。构成的平行

9、四边形的对角线来表示。 返回首页 Theoretical Mechanics 公理二公理二 (二力平衡公理二力平衡公理Two forces equilibrium axiom) 作用于刚体上的两个力平衡的必要和充作用于刚体上的两个力平衡的必要和充分条件是：这两力大小相等，方向相反，并作用分条件是：这两力大小相等，方向相反，并作用于同一直线上。于同一直线上。 返回首页 Theoretical Mechanics 公理三公理三 (加减平衡力系公理加减平衡力系公理 Axiom of addition and subtraction counterweight system) 在作用于刚体上的任何一个

10、力系上，在作用于刚体上的任何一个力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。对刚体的作用效应。 返回首页 Theoretical Mechanics 返回首页 推理一推理一 (力的可传性原理力的可传性原理, Principle of force transfer) 作用于刚体上某点的力，可以作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移动到刚体内任一点，而不改变沿其作用线移动到刚体内任一点，而不改变该力对刚体的作用。该力对刚体的作用。 Theoretical Mechanics 返回首页 推理二推理二 (三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理, Th

11、eorem of three concurrent forces) 如果刚体在三个力如果刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必通过此汇交点，点，则第三个力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。且三个力共面。 Theoretical Mechanics 公理四公理四(作用与反作用定律作用与反作用定律, Principle of Action and Reaction): 两物体间相互作用的力，两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在相互作用的两个物体上。作

12、用在相互作用的两个物体上。 返回首页 Theoretical Mechanics 公理五公理五(刚化公理刚化公理, Axiom of Rigidization) : 变形变形体受已知力作用而成平衡状态，若将该物体变成体受已知力作用而成平衡状态，若将该物体变成刚体刚体(刚化刚化)，则平衡状态不受影响。，则平衡状态不受影响。 返回首页 返回首页Theoretical Mechanics第五章第五章 刚体动力学的基本概念刚体动力学的基本概念 5.35.3 力矩与力偶力矩与力偶Moment and Couple Theoretical Mechanics5.3.1 力对轴之矩力对轴之矩 力F 对z轴之

13、矩可由三角形Oab面积的两倍表示OabhFFmxyz2)( 当力与轴平行当力与轴平行（Fxy = 0）或相交时或相交时（h = 0），力对轴，力对轴之矩等于零。之矩等于零。 力对轴之矩：力对轴之矩是代数量，它的大小等于力在垂直于轴的平面上的投影与此投影至轴的距离的乘积，它的正负号则由右手螺旋规则来确定。 返回首页 Theoretical Mechanics5.3.2 力对点之矩力对点之矩其大小为其大小为MO(F) = rF 在直角坐标系Oxyz中，矢径r = xi + yj + zk，力F = Fxi +Fyj +Fzk。力对点之矩的矢积表达式可写为行列式形式 力F 对O点之矩: 矢径 r 与

14、力F 的矢积 zyxOFFFzyxkjiFM)(kjiFM)()()()(xyzxyzOyFxFxFzFzFyFOABFhFrFr(F)MO2sin 返回首页 Theoretical Mechanics 若力F 作用在Oxy 平面内，即Fz0，z0，如图力F 对此平面内任一点O之矩，实际上是此力对通过O点垂直于Oxy平面的z轴之矩MO(F) = rF = (Fxy Fyx)k 力F 对O点之矩总是沿着z轴方向，可用代数量来表示 MO(F) = Mz(F) = Fh = 2OAB 在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定逆时针为正，顺时针为负。 5.3.2 力对点之矩力对点之矩 返回首页 Th

15、eoretical Mechanics5.3.3 合力矩定理合力矩定理n作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴）之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。这一结论称为伐里农定理(Varignons theorem)或合力矩定理。 MO(FR) = MO(F1) + MO(F2) Mz(FR) = Mz(F1) + Mz(F2) 返回首页 Theoretical MechanicsxyzzxyyzxyFxFFMxFzFFMzFyFFM)()()( 力对点之矩在过该点任意轴上的投影等于力对该力对点之矩在过该点任意轴上的投影等于力对该轴之矩，这一关系称为轴之矩，这一关系称为力矩关系

16、定理力矩关系定理。5.3.4 力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系设过任一点设过任一点O之直角坐标轴为之直角坐标轴为x、y、z， 返回首页 Theoretical Mechanics 力F对O点之矩、力F对通过O点的z轴之矩的大小分别为OabFmOAB(F)mzO2)(2OabOABcos 式中为两三角形平面之间的夹角，即mO(F)与z轴之夹角。5.3.4 力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系 返回首页 Theoretical Mechanics5.3.5 力偶力偶 大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力大小相等、

17、方向相反、作用线平行但不重合的两个力称为称为力偶。力偶。 二力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面，两作二力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面，两作用线的垂直距离用线的垂直距离d 称为力偶臂。称为力偶臂。 力偶是一种基本力学量力偶是一种基本力学量, ,力偶对刚体的作用，只有转动力偶对刚体的作用，只有转动效应效应. .力偶是一种特殊的力系。力偶是一种特殊的力系。 返回首页 Theoretical Mechanics设rBA和rAB分别表示图中的矢径 和 ，矢量 BAABM = rBAF = rABF 称为力偶称为力偶(F, F )的力偶矩矢量，简称为力偶矩矢。的力偶矩矢量，简称为力偶矩矢。 在

18、图中空间任取一点O，则A、B两点的矢径，用rA、rB表示， rBA = rA rB。力偶对O点之矩 MO(F,F ) = MO (F) + MO (F ) = rAF + rBF = (rA rB)F = rBAF 所以 MO (F, F)=M 力偶的等效和性质力偶的等效和性质5.3.5 力偶力偶 返回首页 Theoretical Mechanicsn（1）力偶矩矢量）力偶矩矢量M与矩心的选择无关，因而是一个与矩心的选择无关，因而是一个自由矢量。自由矢量。n（2）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力偶作用面的方位及力偶的转向。偶作用面的方位及力偶的

19、转向。n（3）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为力力偶的等效性。偶的等效性。力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。5.3.5 力偶力偶 返回首页 Theoretical Mechanics力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M M = Fd 正负号分别由力偶的转向决定。力偶的等效性：现计算组成力偶的两个力对任一点力矩之和，即FdxFxdF)F(m

20、(F)m)F(F,mOOO5.3.5 力偶力偶 返回首页M)F(F,mO所以 返回首页Theoretical Mechanics第五章第五章 刚体动力学的基本概念刚体动力学的基本概念 5.4 约束与约束反力约束与约束反力（Constraint and Constraint Reactions） Theoretical Mechanicsv基本概念基本概念自由体自由体 非自由体非自由体 主动力主动力约束：约束： 对非自由体预先给定的限制运动几何条件对非自由体预先给定的限制运动几何条件约束力约束力：约束对物体的作用力约束对物体的作用力方向：方向： 与约束所能阻止的物体的运动或运动与约束所能阻止的物

21、体的运动或运动 趋势的方向相反趋势的方向相反 作用点：作用点：在约束与被约束物体的接触点在约束与被约束物体的接触点 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 返回首页 Theoretical Mechanics约束的分类约束的分类v柔性体约束柔性体约束 v光滑面约束光滑面约束v光滑圆柱形铰链约束光滑圆柱形铰链约束 v链杆约束链杆约束单面约束双面约束中间柱铰链固定柱铰链支座滚动柱铰链支座 返回首页5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics5.4.1 柔性体约束柔性体约束 柔软、不可伸长的约束物体 特点特点 : :只能承受拉力，不能承受压力只能承受拉力，不能承受压

22、力 约束力是沿其中心线的拉力约束力是沿其中心线的拉力 返回首页FPFP5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics5.4.2 光滑面约束光滑面约束 光滑面约束： 与物体相接触的是另一物体的光滑表面特点：作用在接触处；沿接触处的公法线指向物体特点：作用在接触处；沿接触处的公法线指向物体 返回首页点接触时，约束力为集中力。线或面接触，用分布力的合力来表示。5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics滑块为双面约束5.4.2 光滑面约束光滑面约束 返回首页5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechan

23、icsq单面约束的约束反力只能限制物体沿一个方向单面约束的约束反力只能限制物体沿一个方向的运动的运动 ，方向一般能事先确定。，方向一般能事先确定。 q双面约束的约束反力方向只能假设，其真实方双面约束的约束反力方向只能假设，其真实方向由计算值的正负号确定。向由计算值的正负号确定。几点讨论几点讨论 返回首页5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics1. 1. 光滑球铰光滑球铰链链汽车变速器的操纵杆底部是一个典型的光滑球铰链约束。汽车变速器的操纵杆底部是一个典型的光滑球铰链约束。简图这种作用实质是光滑面约束这种作用实质是光滑面约束5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链

24、约束 返回首页5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 1. 光滑球铰链光滑球铰链 约束力作用于接触点，方向沿径向指向球心，约束力作用于接触点，方向沿径向指向球心，也可用三个大小未知的正交分力表示约束力。也可用三个大小未知的正交分力表示约束力。 返回首页5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics 物体之间若用铰链连接，这种铰链称为物体之间若用铰链连接，这种铰链称为中间球铰链中间球铰链。 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theore

25、tical Mechanics2 光滑圆柱形铰链约束光滑圆柱形铰链约束q 中间柱铰链中间柱铰链 用销钉连接两个钻有相同大小孔径的构件，就构成了中间柱铰链约束。运动特性运动特性 圆柱形销钉约束，圆柱形销钉约束，只允许两构件绕销钉只允许两构件绕销钉轴线有相对转动。轴线有相对转动。 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics 销钉对构件的约束力，其作用点在接触处，总销钉对构件的约束力，其作用点在接触处，总是沿销钉的径向，指向其中心。是沿销钉的径向，指向其中心。 也可将圆柱铰链约束用两个大小未知的正交分也可将圆柱铰链约

26、束用两个大小未知的正交分力表示，其作用点在圆柱的中心上。力表示，其作用点在圆柱的中心上。 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics 将中间铰链相连的两构件之一固定在支承物上，便将中间铰链相连的两构件之一固定在支承物上，便成为固定柱铰链支座约束，简称固定铰支座。成为固定柱铰链支座约束，简称固定铰支座。q 固定柱铰链支座固定柱铰链支座 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics简图简图及约及约束力束力画法画法固定柱铰链支座固定柱铰

27、链支座 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics约束只限制物体沿支承面法线方向的运动约束只限制物体沿支承面法线方向的运动q 滚动柱铰链支座滚动柱铰链支座 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics简图及约束力画法：简图及约束力画法： 支座约束力的方向沿支承面法线，作用点在铰支座约束力的方向沿支承面法线，作用点在铰链中心。链中心。 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoret

28、ical MechanicsFyFxFN约束模型约束模型 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanicsq 轴承轴承常见的两种轴承常见的两种轴承: : 向心轴承向心轴承，它限制转轴的径向平移，并不限制，它限制转轴的径向平移，并不限制它的轴向运动和绕轴转动，它相当于铰链支座。它的轴向运动和绕轴转动，它相当于铰链支座。 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics 向心推力轴承向心推力轴承，它限制转轴的径向平移，又，它限制转轴的径向平移，

29、又限制它的轴向运动，只允许绕轴转动。限制它的轴向运动，只允许绕轴转动。向心推力轴承向心推力轴承向心轴承向心轴承 返回首页5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 5.4 约束与约束反力约束与约束反力 Theoretical Mechanics 工程上，把只受两个力作用，且处于平衡状态的刚体称为二力杆二力杆或二力构件二力构件。二力杆所受的两个力必定大小相二力杆所受的两个力必定大小相等、方向相反等、方向相反,并沿两个受力点的连线。并沿两个受力点的连线。 两端用光滑铰链与物体连接，中间不受力(包括自重在内)的刚性直杆称为链杆链杆。 链杆是二力杆，既能受拉，又能受压，因此，链杆的约束链杆的约束力沿其中心线

30、力沿其中心线，指向事先难以确定，通常假设它受拉。 返回首页5.4 约束与约束反力约束与约束反力5.4.3 光滑铰链约束光滑铰链约束 Theoretical Mechanics5.4.4 固定端约束固定端约束 物体在空间各个方向上的运动（包括平移和转动）物体在空间各个方向上的运动（包括平移和转动）都受到约束的限制，这类约束称为都受到约束的限制，这类约束称为固定端约束。固定端约束。 对平面情形，固定端约对平面情形，固定端约束的约束力只剩下三束的约束力只剩下三 个分个分量，即两个约束力分量和量，即两个约束力分量和一个约束力偶一个约束力偶 。 返回首页5.4 约束与约束反力约束与约束反力 返回首页Th

31、eoretical Mechanics 5.5 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图Force analysis and force diagram第五章第五章 刚体动力学的基本概念刚体动力学的基本概念 Theoretical Mechanics 受力分析：受力分析：将研究的物体或物体系统从与其联将研究的物体或物体系统从与其联系的物体中分离出来，分析它的受力状态。系的物体中分离出来，分析它的受力状态。两个步骤：两个步骤：1. 1. 选择研究对象，取分离体选择研究对象，取分离体 解除它受到的全部约束，将其从周围的约束解除它受到的全部约束，将其从周围的约束中分离出来，并画出相应的简图，这一

32、过程称中分离出来，并画出相应的简图，这一过程称为取分离体。为取分离体。5.5 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图受力分析受力分析 返回首页 Theoretical Mechanics 2.2.画受力图画受力图 在分离体图上，先画上所有的主动力，再依据在分离体图上，先画上所有的主动力，再依据去掉的约束特征，逐个画上相应的约束力，然后去掉的约束特征，逐个画上相应的约束力，然后标明各力的符号标明各力的符号, ,这个简图称为受力图。这个简图称为受力图。画受力图画受力图画受力图时，应注意以下几点：画受力图时，应注意以下几点： （1） 明确研究对象，画出它所受的主动力。明确研究对象，画出它所受的

33、主动力。 （2） 一定要按照上节所讲的约束类型去画各约一定要按照上节所讲的约束类型去画各约束力的作用线和指向。束力的作用线和指向。 返回首页5.5 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图 Theoretical Mechanics （3） 在物系问题中，宜先画整体受力图，再画在物系问题中，宜先画整体受力图，再画各物体的受力图，各分离体之间的作用力必须满各物体的受力图，各分离体之间的作用力必须满足作用与反作用定律的关系。足作用与反作用定律的关系。 （4） 内力不画在分离体上。内力不画在分离体上。 （5） 如果分离体与二力杆相连，一定要按二力如果分离体与二力杆相连，一定要按二力杆的特点去画它

34、对分离体的作用力。杆的特点去画它对分离体的作用力。画受力图画受力图 返回首页5.5 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图 Theoretical Mechanics 例1-3 构架中BC杆上有一导槽，DE杆上的销钉可在其中滑动。设所有接触面均光滑，各杆的自重均不计，试画出整体及杆AB、BC、DE的受力图。画出整体的受力图画出整体的受力图B、D、H 处的约束力均为内力，不画出处的约束力均为内力，不画出 例例 题题FAyFAxFCxFAyF 返回首页5.5 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图 Theoretical Mechanics导槽给销钉的约束力应垂直于导槽 画出杆AB的受力图画BC杆受力图 画出DE的受力图例例 题题FAyFAxFCxFCyFBxFDyFByFDxFBxFByFNHFNHFDxFDyF 返回首页5.5 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图 Theoretical Mechanics 例1-4 结构中固结在I点的绳子绕过定滑轮O，将重物P吊起。各杆之间用铰链连接，杆重不计。试画出下列指定物体的受力图：（1）整体；（2）杆BC；（3）杆CDE；（4