中考攻略专题3一元二次方程根的判别式应用探讨(含答案)

1、【 2013 年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0 （aw。在系数a礼的情况下，&b2 4ac>0时，方程有 2个不相等的实数根；&b24ac =0时，方程有两个相等的实数根；A=b24ac <0时，方程无实数根。反之，若方程有 2个不相等的实数根，则A=b24ac>0;若方程有两个相等的实数根，贝U &b24ac =0 ;若无实数根，贝U&b24ac <0。因此，A=b2 4ac称为一元二次方程根的判别式。根的判别式b2 4a

2、c 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件 aw1使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括不解一元二次方程，判断 （证明）根的情况、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、判断双曲线与直线的公共点个数、判断抛物线与直线（含 x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用

3、。一 .不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：典型例题：例 1： （ 2012广西河池3分） 一元二次方程x2 + 2x + 2 = 0的根的情况是【】A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C 只有一个实数根D 无实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】x2 + 2x + 2 = 0 中，a=1, b=2 , c=2 ,.b2 4ac=22 4 1 2= 4< 0。2x + 2x + 2=0无实数根。故选Do例2： （2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【、-1A.万程x+ -= 2有两个不相等的实数根 x1B.方程x+- =1有两个不相等的头数根

4、x1C.方程x+1=2有两个不相等的实数根 xD.方程x+-=a （其中a为常数，且a >2）有两个不相等的实数根 x【答案】Do【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可:A、整理得：x2+2x+1=0 , = 0, .原方程有2个相等的实数根，选项错误；B、整理得：x2 x+1=0 , < 0, .原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：x2 2x+1=0, = 0, .原方程有2个相等的实数根，选项错误；D、整理得：x2 ax+1=0 ,当a > 2时，=a2 4>0, 原方程有2个不相等的实数根

5、，选项正确故选D。练习题：1. （2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程 x2+2x+m=0.（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根。2. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x-2） =0根的情况是 【】A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根3. （2011福建福州4分）一元二次方程 x （x-2） =0根的情况是A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根4. （2011内蒙古包头3分）一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是【 二.根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围

6、： 典型例题：A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根C、无实数根D、无法确定例1: （2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程kx2 ，2k 1x 1 0有两个不相 等的实数根，那么 k的取值范围是1】A k< 1B kv1 且 kw0C. - 1 << 1 d - 1 <k< 且 kwo2'222'22【答案】Do【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知：kwQ根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1>0;根据方程有两个不相等的实数根，得 =2k+1

7、 - 4k> 0。三者 联立，解得-1侏v1且kwQ22故选D。例3: （2012湖南常德3分）若一元二次方程x2 2x m 0有实数解，则 m的取值范围是【】1A. m 1 B. m 1 C. m 4 D.m2【答案】Bo【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0,列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到 m的取值范围：一元二次方程x2 2x m 0有实数解，.=b24ac=22 4m>Q 解彳导:m< L，m的取值范围是m<i故选Bo例4: （2012江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等

8、的实数根，则a的值是【】A. 1B. - 1C.D.一【答案】Bo【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】:关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根， =22+4a=0,解得 a= - 1。故选 B。例5: (2012上海市4分)如果关于x的一元二次方程 x2-6x+c=0 (c是常数)没有实根，那么c的取值范围是。【答案】c> 9。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】二.关于x的一元二次方程 x2-6x+c=0 (c是常数)没有实根， = (-6) 2- 4c<0,即 36 - 4c< 0, c>9o例6: (2012湖北孝感12分)已知关于x的一

9、元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证：无论 m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1 x2|= 2 V2 ,求m的值和此时方程的两根。【答案】 解：(1)证明：由关于 x的一元二次方程 x2 + (m+3)x+m+1 = 0得 = (m+3) 24 (m+1) = (m+1) 2+4,:无论m取何值，(m+1) 2+4恒大于0, 原方程总有两个不相等的实数根。(2)x1, x2是原方程的两根，x1+x2= (m+3), x1?x2=m+1。: |x1 一 x2|= 2 , 2 , .1. (x1 x2)2=8 ,即(x1+x2)2 4

10、x1x2=80. (m+3) 2 4 (m+1) =8,即 m2+2m 3=0。解得：m1= 3, m2=1。当 m=3 时，原方程化为：x22=0,解得：x1=、；2 , x2= J2。当 m=1 时，原方程化为：x2+4x+ 2=0 ,解得：x = 2+2 , x2= 242。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】(1)根据关于x的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+ 1 = 0的根的判别式 =b24ac 的符号来判定该方程的根的情况。(2)根据根与系数的关系求得x + x2和x1?x2,由已知条件 网x2|=2 42平方后可以得到关于x1 + x2和x1?x2的等式，

11、从而列出关于 m的方程，通过解该方程即可求得 m的值， 最后将m值代入原方程并解方程。例7: （2011山东潍坊3分）关于x的方程x2 2kx k 1 0的根的情况描述正确的是 【.A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D .根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】Bo【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】 求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：一元二次方程根的判别式为4 = （2k） 2-4X （k1） =4k2 4k+4=

12、 （2k- 1） 2+3>0,不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选 Bo例8: （2012四川成都4分）有七张正面分别标有数字一 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3的卡片， 它们除数字不同外其余全部相同. 现将它们背面朝上， 洗匀后从中随机抽取一张， 记卡片上 的数字为a,则使关于x的一元二次方程x2 2 a 1 x a a 3 0有两个不相等的实数根， 且以22x为自变重的二次函数 y x a 1 x a 2的图象不经过点（1,0）的概率是。【答案】3o7【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式，概率公式。2【分析】x

13、 2 a 1 x a a 3 0有两个不相等的实数根，.> 0。.-2 （a - 1） 2 - 4a （a - 3） >0,，a> - 1。将（1,0）代入 yx2a21 x a2得，a2+a- 2=0,解得a1=1,a2= 2。可见，符合要求的点为 0, 2, 3。 ,“一，3.P （符合要求）=-o 7练习题：1 （2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a-1） x2- 2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是1】A. a> 2B. a<2C. av2 且 a4D. a< - 22. (2012山东日照4分)已知关于x的一元二次方程(

14、k 2)2x2+(2k+ 1)x+1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是1】(A) k>4且 kw2(B)k>4 且 kw2(C) k >曰且 kw2(D)k/且 k233443. (2012四川泸州2分)若关于x的一元二次方程 x2 -4x + 2k = 0有两个实数根，则 k的 取值范围是1】A、k>2B、k<2C、k>- 2D、k< - 22 14. (2012山东东营3分)万程k 1 x/Tx+ =0有两个实数根，则 k的取值范围是4【 A. k> 1B, k< 1C, k>1D. k<15. (2012北京市4

15、分)若关于x的方程x2 2x m=0有两个相等的实数根，则 m的值是 。26. (2012四川资阳3分)关于x的一兀二次方程kx2 x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。7. (2012湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程x2 (m 3)x m2 0。(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为xi, x2,且| xi | = | x2 | 2,求m的值及方程的根。8. (2011湖南郴州6分)当t取什么值时，关于x的一元二次方程 2x 2+tx +2=0有两个相 等的实数根？9. (2009黑龙江佳木斯 3分)若关于x的一元二次方程 nx2-2x- 1=0

16、无实数根，则一次函数y= (n+1) xn的图象不经过【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限三.限制一元二次方程根与系数关系的应用：典型例题：例1: (2011四川泸州2分)已知关于x的方程x2+ (2k+1) x+k2- 2=0的两实根的平方和 等于11,则k的值为 。vm i.【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程.【分析】设方程方程煌斗(2麻1) A层-23设其两根为弱，却得g Qk+1) 2'4x (k?- 2) 7k+0>Q, . .k> -4'/耳l+xl - (2k+1), «i'xj-k？ -

17、2i又幻。靖Tl,.=(£1+您)22幻©=11.,'.(2k+l) a- 2 (k2- 2) -11,解得日 或-工9 k> -k-l.4例2： (2012湖南娄底10分)已知二次函数y=x2 - (m2-2) x-2m的图象与x轴交于点A111(xi, 0)和点B (x2, 0), x1x2,与y轴交于点 C,且满足 一+二。X1 x22(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线 y=x+3上是否存在一点 P,使四边形PACB为平行四边形？如果有，求 出点P的坐标；如果没有，请说明理由。Ox【答案】 解：(1) ,.二次函数y=x2- (m2-2)

18、x- 2m的图象与x轴交于点A (x1, 0)和点B (x2, 0) , x1 < x2 ,，令 y=0,即 x2- (m22) x- 2m=0 ，则有：x1+x2=m2 - 2, x1x2= 2m。/2AA11x1+x2 m 1 12一 一+ = 一，化间得到： m +m- 2=0,解得 m1= - 2, m2=1。x1 x2x1x2 2m 2当m=-2时，方程为：x2- 2x+4=0 ,其判别式 =b2-4ac= - 12v 0,此时抛物线与 x轴没有交点，不符合题意，舍去；当m=1时，方程为：x2+x-2=0,其判别式 =b2-4ac=9>0,此时抛物线与x轴有 两个不同的交

19、点，符合题意。，m=1。，抛物线的解析式为 y=x2+x-2。(2)存在。理由如下：假设在直线y=x+3上是否存在一点 P,使四边形PACB为平行四边形。如图所示，连接 PA. PB. AC. BC,过点P作PDx轴于D点。 抛物线y=x2+x- 2与x轴交于A. B两点，与y轴交于C点，.A (-2, 0), B (1, 0), C (0, 2)。 h y .OB=1, OC=2。/PACB 为平行四边形， PA/BC, PA=BCo4/ ./FAD=/CBO, ./ APD = /OCB。在 RtA PAD 与 RtA CBO 中，/ & * -Z 月 C . /FAD=/CBO

20、, FA=BC, /APD = /OCB ,/RtA FAD RtA CBO (AAS)。下.PD=OC=2,即 yP=2。;直线解析式为 y=x+3,，xp=-1。p (- 1, 2)。，在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为(1, 2)。【考点】二次函数综合题，二次函数与 x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二 次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值.根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验

21、，把不符合题意的m值舍去。(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得 P点坐标。练习题：21. (2012湖南怀化10分)已知x1,x2是一兀二次方程(a 6)x 2ax a 。的两个头数根。(1)是否存在实数 a,使 x1 x1x2 4 x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（Xi 1）（X2 1）为负整数的实数 a的整数值。2. （2007湖北襄阳7分）已知关于x的方程x2-2 （m 2） x+m2=0.问是否存在实数 m, 使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由

22、。四.判断二次三项式是完全平方式时的待定系数：典型例题：例1: （2012江苏南通3分）已知x2 + 16x+k是完全平方式，则常数 k等于1】A. 64B. 48C. 32D. 16【答案】A。【考点】完全平方式。【分析】 x2+ 16x+ k是完全平方式，对应的一元二次方程 x2+16x+ k=0根的判别式4=0。.=1624M 法=0,解得 k=64。故选 A。例2: （2012贵州黔东南4分）二次三项式x2-kx+9是一个完全平方式，则k的值是。【答案】6【考点】完全平方式。【分析】' x2 - kx+9是完全平方式，对应的一元二次方程 x2 - kx+9=0根的判别式4=0。

23、.-.=k2-4X1 X9=0,解得 k=±6o例3: （2012湖北荆州3分）已知：多项式x2-kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=- x的解析式为。【答案】 y= 1或y= o x x【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。【分析】多项式x2 - kx+1是一个完全平方式，.对应的一元二次方程 x2-kx+1=0根的判别式 二0。，二k2 4X1 X1=0,解得 k二±2。把k=+2分别代入反比例函数 y=的解析式得：y=-或y= 室。 xx x练习题：21. （2011玄南玉溪3分）若x 6x k是完全平万式，则 k=1A. 9B. 9C.均D.七2.

24、 （2010广西南宁3分）下列二次三项式是完全平方式的是【】A. x2-8x- 16B. x2+8x+16C. x24x16D. x2+4x+ 16五.判断双曲线与直线的公共点个数：典型例题：k例1: （2012江办南东2分）右反比仞函数y 与一次函数y x 2的图像没.有父点，则k的值可以是【】A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】Ao【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的 k的值即可：k反比例函数y 与一次函数y=x+2的图象没有交点，y K .如 k c

25、 . x 无斛，即 =x 2无解，整理得 x2+2x k=0,y x 2x =4+4k<0,解得 kv 1。四个选项中只有一2V1,所以只有A符合条件。故选 Ao1 .例2： （2012广东河 源3分）在同一坐标系中， 直线y=x+1与双曲线y=一的交点个数为 x【 】A. 0个B. 1个C. 2个D.不能确定【答案】Ao【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y = x+ 1和y=°得，x+ 1 =,xx整理，得x 2+ x 1 = 00= 1 + 4=5>0,，x2+x1=

26、0有两不相等的实数根。，直线y=x+1与双曲线丫=工有两个交点。故选 A。 x例釜C 2。1二厂西南宁3分)已知二次函&蟆+t)z+L 汶酝激广kE1)，若它们的图象 4对于任意的非奉实数k都只有一个公共点，则a,匕的值分别为1A, a=l, b=2 B. a=L b=-2 C. a=-L b=2 D. aL b-2t答案】Bol:考点】二次函数的性詹，一元二次方程根的判别式，解二元一次方程组.1分析】由广故2十h区十1和广k (*1)一彳组成的方程蛆，消去y,整理得，ax2+ (bkJ却"1+K十一加， 4:它们的图蒙对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，.

27、二关于x的方程B+ (bk) x+ lH-k+一=0有两相等的实数恨4即三(t)k):一4& (1 +k+ )=CL /. (i-A)k工2 C2a+ti) k+松一4aCL 41 - a- Q.;对于任意的实数k都成立，J J 2a+力=口 ,解得卜551 .故选以 ab=2ba-4a = 0'例4: (2012四川资阳8分)已知：一次函数y=3x 2的图象与某反比例函数的图象的一个 公共点的横坐标为1。(1) (3分)求该反比例函数的解析式；(2) (3分)将一次函数y=3x-2的图象向上平移 4个单位，求平移后的图象与反比例函 数图象的交点坐标；(3) (2分)请直接写出

28、一个同时满足如下条件的函数解析式：函数的图象能由一次函数 y=3x2的图象绕点(0, 2)旋转一定角度得到；函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。【答案】 解：(1)把x=1代入y=3x-2,得y=1。设反比例函数的解析式为 y=K ,把(1, 1)代入得，k=1。x.该反比例函数的解析式为1 y=x(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x2+4,即 y=3x+2,一.一 1 加联立y=3x+ 2和y=,得, xy 3x+21x=. x=y=1,解得 3或y= xy=3，平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(一,3)和(-1, 1) o3(3) y= - 2x- 2 (答案不唯一)。【考

29、点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系, 一次函数图象与平移、旋转变换。【分析】(1)先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,联立两函数解析式，从而求得交点坐标。(3)函数的图象由一次函数 y=3x 2的图象绕点(0, 2)旋转一定角度得至可设所求函数解析式为 y=mx-2,则由y mx 21 得 mx2 2x 1=0。 y=x.函数的图象与反比例函数的图象没有公共点,=44 m (1) < 0,解得 mv 1。，只要常数项为-2,次项系数小于1的一次函数均可。-2-10 12 3

30、(B)I i I i-2-10 12 3(D)例5: (2011湖北宜昌3分)如图，直线y=x +2与双曲线y = m-3在第二象限有两个交 x点，那么m的取值范围在数轴上表示为【-l1i4611-2-1012 34(A)-l1ihd1-2-10 12 34(C)【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集【分析】因为直线y = x+2与双曲线y = m_2在第二象限有两个交点，联立两方程求出mx的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：由 x +2= mL_3 得 x2+2x +3 m=0, x= y = x +2与y = m_3有两个交点，方程x 2+2 x +3

31、 - m=0有两不相等的实数根。 x即=44X （3m） >0,解得 m>2。又二双曲线在二、四象限，m - 3<0。mv 3。.m的取值范围为：2vmv3。故在数轴上表示为 Bo故选Bo练习题：一4 一一，1 ，1. （2011湖北黄石3分）若一次函数y kx 1的图像与反比例函数 y 的图像没有公共 x点，则实数k的取值范围是。2. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y= 2x+6的图象无.公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件 的一个即可）。k 一3. （2006湖北黄石8分8）已知一次函数 y=kx+b （k&g

32、t; 0, b>0）与反比例函数 y 一的图 x象有唯一的公共点。（1）求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式；（2）证明：k取任何正实数时，直线 y=kx+b总经过一个定点，并求出定点的坐标。4. （2012四川绵阳3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= 42k的图象没有交点，则实数 k的取值范围在数轴上表示为【xTTr 0 12&B-C.D.六.判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数:典型例题：例上fun山东日照4分)二次函数1/+或一“笄6的图象如图所示，给出下列结论：©-4300:2a+ b < 0 ；4a 2

33、b+c0；a ： h ：。一1 ： 2 ：至其中正确的是1 0)(q®®(D)【答案】D.t首点】二次函数图冢与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函效的性痂一1分#T根据二次函数图象和性质分别作出判断：;二次礴图冢与工轴有两个交点，一对应的一元二次方程a+M+c有两个不相等的实数机.M4ac>0=选项0正确0又;对称轴为直线ml, §P-A = 1, .2a-bh-0o选项错误. 2a;由图象知，群一2对应的函数值为负数，当汇一2的yHa2b+c<0n选项错误口;图象知，后一 1对应的函数值为Q,.当 21时，y=a+b+c-0.送立2a十gU和

34、 尸4十七十cH 可除1j=-2a)。三一.士 to： c=a： ( 2a)： ( 3a) 1： 2： 30选项正SS.综上所述，正确的选项有；,故选d例2:(2012山东泰安3分)二次函数y ax2 bx的图象如图，若一元二次方程ax2 bx mA.30有实数根，则B. 3 C.【答案】Bo【考点】抛物线与x轴的交点。【分析】二抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3,c b2rr 2 a >0,3,即 b2 12a。4a 一元二次方程 ax2 bx m 0有实数根， = b2 4am 0,即 12a 4am 0,即 12 4m 0,解得 m 3。m的最大值为3。故选Bo例3: (2012湖

35、北荆州12分)已知：y关于x的函数y=(k- 1) x2-2kx+k+2的图象与x轴 有交点。(1)求k的取值范围；(2)若x1, x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k- 1) x12+2kx2+k+2=4x1x2.求k的值；当ka4+2时，请结合函数图象确定 y的最大值和最大值。【答案】 解：(1)当k=1时，函数为一次函数 y= - 2x+3,其图象与x轴有一个交点。当kwi时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令 y=0 得(k- 1) x2- 2kx+k+2=0 . 二 (- 2k) 2- 4 (k 1) (k+2) >Q 解得 k<2,即 kW2且

36、 ki综上所述，k的取值范围是kwz(2).x1 次2,由(1)知 k<2 且 kwi。由题意得(k-1)刈2+ (k+2) =2kx1 (*),将(*)代入(k- 1) x12+2kx2+k+2=4x1x2 中得：2k (x1+x2) =4x1x2。又 “1+*2=，x1介里，2k?a=4?g2,k 1 k 1 k 1 k 1解得：k1= - 1, k2=2 (不合题意，舍去)。，所求k值为-1。如图，= k1= - 1, y= - 2x2+2x+1= - 2 (x- 1 ) 2+3,且一1 士wi,22由图象知：当x=-1时，y最小=-3;当x=1时，y最大=9。22.y的最大值为3

37、,最小值为-3。2【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义， 一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】(1)分两种情况讨论，当 k=1时，可求出函数为一次函数，必与 x轴有一交点；当kwi时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则 >Cb(2)根据(k- 1) xi2+2kx2+k+2=4xix2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。例4： (2012福建福州14分)如图，已知抛物线 y=ax2 + bx(aw0轻过A(3, 0)、B(4, 4) 两点。(1)求抛物线的解析式;(2)将直线OB向下平移m个单位长度后

38、，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;如图，若点N在抛物线上，且/ NBO = /ABO,则在(2)的条件下，求出所有满足解：(点P、0、D分别与点N、0、B对应)。D: 抛物线 y=ax2 + bx(aw。羟过点 A(3, 0)、B(4, 4).9a+3b=0 初/曰a=1,解得：。16a+ 4b = 4'b=- 3，抛物线的解析式是y= x2- 3x。(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),得：4= 4k1,解得 k1=1。直线OB的解析式为y=x。，直线0B向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-mo.点D在抛物线 y=x2- 3x上，可设

39、 D(x, x23x)。又点 D 在直线 y=xm 上，x23x =x m,即 x24x+m=0。,抛物线与直线只有一个公共点， = 164m=0,解得：m=4o此时 x = x2=2, y=x2 3x= -2oD 点坐标为(2, 2)。.直线OB的解析式为y=x,且A（3, 0）,，点A关于直线OB的对称点A'的坐标是（0, 3）。设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B（4, 4）,1 4k2+3=4,斛得：k2=4。 ,直线A'B的解析式是y=：x+ 3。4 . /NBO = /ABO, 点 N 在直线 A'B 上。1 设点N(n,a+3),又点N在抛

40、物线y=x2-3x±,13.4n+3=n2-3n,解得：ni=-n2=4（不合题意，会去）。点N的坐标为（3, 45）。4 16如图，将ANOB沿x轴翻折，得到N1OB1,一 345则 N1（一7 ）, B1（4, 4）。.0、D、B1都在直线y=x上。 PQDs4 NOB, PQDs N1OB1。0P1=0N1。，点p1的坐标为（-3, 284532将OP1D沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点综上所述，点p的坐标是（835）或（35, 3）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可。（2）根据已知可求出 0B的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y= x m。由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0,由此可求出 m的值和D点坐标。（3）综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将 ANOB沿x轴翻折。（或用旋转）求出P点坐标之后，该点关于直线 y=-x的对称点也满足题意，