数字信号处理-西安电子(-高西全丁美玉)第三版-课后习题答案(全)1-7章-2

1、时域离散信号和时域离散系统第 1 章第一章习题第一章习题第二章习题第二章习题第三章习题第三章习题第四章习题第四章习题第五章习题第五章习题第六章习题第六章习题第七章习题第七章习题第八章习题第八章习题时域离散信号和时域离散系统第 1 章第一章习题第一章习题1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图时域离散信号和时域离散系统第 1 章解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号： 2n+54n160n40 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序

2、列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； 解解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章3

3、判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 是常数AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。738123142时域离散信号和时域离散系统第 1 章4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)=x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形;2121时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1） x(n)的波形

4、如题4解图（一）所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（二）(2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 时

5、域离散信号和时域离散系统第 1 章解解： （1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) 而 y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。

6、时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3而y(nn0)=2x(nn0)+3 =y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由

7、于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=x(n)+x(n+1) 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。（2） y(n)=x(nn0)假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是

8、稳定的。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题7图7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm)m时域离散信号和时域离散系统第 1 章解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ n2)由于x(n)*(n)=x(n)

9、x(n)*A(nk)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章11 设系统由下面差分方程描述： ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解： 令x(n)=(n), 则) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0时，设h(-1)=0, 1

10、) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1时， 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=2时， 21) 1 (21)2(hhn=3时， 221)2(21) 3(hh归纳起来， 结果为)() 1(21)(1nnunhn时域离散信号和系统的频域分析第章1 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 第二章习题第二章习题 nnnxnsinde21)(0j00解解： 时域离散信号和系统的频域分析第章2 试求如下序列的傅里叶变换：(1) x1(n)=(n3)(2) x3(n)=anu(n)0a1解解(1)3jjj1

11、ee)3()e (nnnXj0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn(2)时域离散信号和系统的频域分析第章3 求出序列 的Z变换及收敛域:)(2-nnu 21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章18 已知2112523)(zzzzX分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=

12、ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)

13、时域离散信号和系统的频域分析第章21|,252311)(211zzzzzX(1)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：21|,41121)(21zzzzX(2)时域离散信号和系统的频域分析第章解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX时域离散信号和系统的频域分析第章)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn21z 41121)(21zzzX(2)时域离散信号和系统的频域分析第章 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX1121

14、12521123)(zzzX) 1()21(25)21(23)(nunxnn离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 教材第教材第3章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0nN1内， 序列定义为 (2) x(n)=(n) (3) x(n)=(nn0) 0n0N (5) NmnxmnN0,e)(2j(7) x(n)=ej0nRN(n) (8) x(n)=sin(0n)RN(n) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（2）1100( )( )( )1 0,1,1NNknNnnX kn WnkN（3）00100100( )() ()

15、0,1,1NknNnNknknNNnX knn WWnnWkN离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(5)(2j)(2j10)(2j102je1e1 ee)(kmNNkmNNnnkmNknNNnmnNWkXmkmkN 0 0kN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(7) 00002j()211j()j72j()001e( )ee1ek NNNNk nnknNNknnNXkW0210j()()202sin ()2e 0,1,12sin ()/2NkNNkNkNkN1, 1, 0e1e1)()2( jj700NkkXkNN或离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

16、第章（8） 解法一 直接计算： )(ee j21)()sin()(00jj08nRnRnnxNnnNknNNnnnNnknNWnxnX2j10jj1088eee j21)()(00002211j()j()001ee2jNNk nk nNNnn0000jj22j(-k)j()N11e1e2j1e1eNNkN离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解法二解法二 由DFT的共轭对称性求解。因为)()sin(j)cos()(e)(00j70nRnnnRnxNNn所以)(Im)()sin()(708nxnRnnxN所以)()(Imj DFT)(j DFTo778kXnxnx)()(21j)(j

17、)(*77o78kNXkXkXkX即结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 2 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFTX(k)jje2( )e 20NkmNX kkNmk其它(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章nmNNmnNNNN)(2jj2jjee2ee21解: （1） 10)(1)(IDFT)(NkknNWkXNkXnx)2( j)2( jee21mnNmnNmnN2cos n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章3 已知长度为N=10的两个有限长序列：9 504 01)(

18、1nnnx9 5 14 0 1)(2nnnx做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 解解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）、 （b）、 （c）所示。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章题3解图离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)， 为自然数，mmNnNNnnxny1 01 0)()(离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章1 0)(DFT)(mNknykYmN求Y(k)与X(k)的关系式。

19、解:110010( )( )( ) ( ) mNNknknmNmNnnkNnmNnY ky n Wx n Wkkx n WXmm整数离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设F(k)=DFTf(n)N 0kN1 现给出F(k)=1+jN，求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解解: 由DFT的共轭对称性可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)jY(k)=Fop(k)1j1j1 21)()(21)(*NNkNFkFkXNkNFkFkY)()(j21)(

20、*)(1)(10nWNnxNkknN)(1)(10nNWNnyNkknN离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)的其余3点的值； （2） 18( )(58 )( )mx nx nm R n求X1(k)=DFTx1(n)8；（3） j/42( )( )enx nx n，求228( )DFT( )Xkx n。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk)， 即

21、X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3点值为X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根据DFT的时域循环移位性质， 51188( )DFT( )( )kX kx nWX k(3) 811j/4 -j/4228280011(1)(1)888800( )DFT( )( )( )ee =( )( )(1)( )NNknnnknnNNknknnnXkx nx n Wx nx n Wx n WXkR k离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频

22、率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而s02. 05011minpFT（2）ms5 . 010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02s400.5 10TNT离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04

23、 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。80ms0.5s04. 0minN离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 第第4章章 习题习题 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s， 每次复数加需要1 s， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间。 用FFT计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率（注：H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存）。 解解: 当N=1024时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为N（N1）=102

24、41023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章66F665 10lblb10210245 1010 1024 10 10230.72 msNTNN N 快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为：（有错）（有错）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章cF210247168

25、0 s4 1024 s65536 sTT 次复数乘计算时间所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）s6102415 625 /65536 10F次 秒由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为smax156257.8125 kHz22Ff（有错）（有错）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章4 设x(n)是长度为2N

26、的有限长实序列， X(k)为x(n)的2N点DFT。 (1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次N点IFFT实现求X(k)的2N点IDFT运算。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解: 本题的解题思路就是DIT-FFT思想。（1） 在时域分别抽取偶数和奇数点x(n)， 得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1根据DIT-FFT的思想， 只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT， 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)

27、的2N点DFT。 因为x1(n)和x2(n)均为实序列， 所以根据DFT的共轭对称性， 可用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。 具体方法如下：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章令 y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , N1则*11ep*22ep1( )DFT ( )( ) ( )()21j( )DFTj( )( ) ( )()2X kx nYkY kYNkXkx nYkY kYNk2N点DFTx（n）=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到122122( )( )( ) 0,1,1()( )( )kNkNX kX kWXkkNX

28、 kNX kWXk离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章这样， 通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。 当然还要进行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的运算(运算量相对很少)。 （2） 与（1）相同， 设x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1X1(k)=DFTx1(n) k=0, 1, , N1X2(k)=DFTx2(n) k=0, 1, , N1则应满足关系式122122( )( )( ) 0,1,1()( )( )kNkNX kX kWXkkNX kNX kWXk离散傅里叶变换(DFT)及其快

29、速算法(FFT)第章由上式可解出1221( )( )()2 0,1,2,11( )( )()2kNX kX kX kNkNXkX kX kN W由以上分析可得出运算过程如下： 由X(k)计算出X1(k)和X2(k): 1221( )( )()21( )( )()2kNX kX kX kNXkX kX kN W离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行N点IFFT， 得到y(n)=IFFTY(k)=Rey

30、(n)+j Imy(n) n=0, 1, , N1由DFT的共轭对称性知*ep1*op21Re ( ) ( )( )DFT( )( )21jIm ( ) ( )( )DFT( )j( )2y ny ny nYkx ny ny ny nYkx n离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 由x1(n)和x2(n)合成x(n):12 2( )1 2nxnx nnxn偶数奇数，0n2N1在编程序实现时， 只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 教材第教材第5章习题与上机题解

31、答章习题与上机题解答1. 已知系统用下面差分方程描述:) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章解解： 将原式移项得) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny将上式进行Z变换， 得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构

32、如题1解图（一）所示。题1解图（一）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章(2) 将H(z)的分母进行因式分解： )411)(211 (31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有两种级联型结构: 1114111 211311)(zzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 111411311 2111)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题1解图（二）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章(3) 将H(z)进行

33、部分分式展开： )411)(211 (311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310)(zzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。题1解图（三）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章3. 设系统的差分方程为y(n)=(a+b)y(n1)aby(n2)+x

34、(n2)+(a+b)x(n1)+ab式中, |a|1， |b|0时， |z1|slsu， 所以不满足教材（6.2.56）式。 按照教材（6.2.57）式, 增大sl， 则plpuslsu0.3538=0.30221.1708 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章采用修正后的设计巴特沃斯模拟带通滤波器。 (3) 将带通指标转换成归一化低通指标。 套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式， sl220slpsslW1, B求归一化低通边界频率： p1,2220slssl0.35380.30221.97440.3022 0.4399WBps3 dB,15 dBaa无限脉冲响应(IIR)数字滤波

35、器的设计第章(4) 设计模拟归一化低通G(p)：ps0.10.3sp0.11.5ssppspsp101101 09744lglg 0.18032.5183lglg1.9744kkNaa 取N=3。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章查教材表6.2.1， 得到归一化低通系统函数G(p)：321( )221G pppp(5) 频率变换， 将G(p)转换成模拟带通Ha(s)： 220wa33w22 322222223300w0ww365432( )( )|()2()2()0.0850.87981.44840.70760.51240.11010.0443spsBHsG

36、 pB ssssBss Bs Bsssssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(6) 用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)： 11a21115123415561234561( )( )|(0.0181 1.7764 100.05434.44090.05432.7756 100.0181)(12.2723.51513.26852.31290.96280.278)zsTzH zHszzzzzzzzzzzz以上繁杂的设计过程和计算， 可以用下面几行程序ex612.m实现。 程序运行结果如题12解图所示。 得到的系统函数系数为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章B = 0.023

37、4 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A= 1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406与手算结果有差别， 这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章%程序ex612.m wp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； Rp=3； As=15； %设置带通数字滤波器指标参数N， wc=buttord(wp， ws， Rp， As)； %计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率WcB， A=butter(N， wc)； %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量A和B

38、myplot(B， A)； %调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函数曲线无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)长度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解： （1）

39、由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性： 5 . 221)(N由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于=点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： 32212)(N由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)H

40、g(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点， 求其余7个频域幅度采样值。 解解： 因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称， 即Hg(2)=Hg()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章3 设FIR滤波器的系统函数为)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH求出该滤波器的

41、单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。解解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为104321)9 . 01 . 29 . 01 (101)()(NnnzzzzZnhzH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章1( )1, 0,9, 2.1, 0.9,110h n 由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N1n) N=5所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数H(ej)为所以其单位脉冲响应为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章10j)(jgje )(e )()e (NnmnhHHee9 . 0e1 . 2e9 .

42、01 1014 j3 j2 jj2 j2 jjj2 je )ee9 . 01 . 2e9 . 0e (1012 je )2cos2cos8 . 11 . 2(101有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章幅度特性函数为 102cos2cos8 . 11 . 2)(gH相位特性函数为221)(N4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 |0 | 0e)e (cjjdcaH（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器

43、的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N之间的关系； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解: （1）ccjjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()nnh nHnnaaa有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 为了满足线性相位条件， 要求， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： 21Na8N48)()()(sin)()()(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021, 1 0)()(sinc有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（3） N取奇数时， 幅度特性函数H

44、g()关于=0, , 2三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg()关于=奇对称， 即Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为其它0 | e)e (jjdcaH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？解解: （1） 直接用IFTHd(ej)计算： jjdd1(

45、 )(e ) ed2nh nHccjjjj1eedeed2nnaa有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章ccj()()1eded2njnaaccj()j()j()j()1eeee2()nnnnnaaaaa)(sin)(sin)(1cananan)()(sin)(cananan有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 而(n)对应于一个线性相位全通滤波器： Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 （2） 用N表示h(n)的长度， 则h(n)=hd(n)RN(n)=)()()(sin)(c

46、nRnnnNaaa)()(sincanan有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章为了满足线性相位条件： h(n)=h(N1n)要求满足12Na（3） N必须取奇数。 因为N为偶数时（情况2）， H(ej)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足：, 即N40。 取N=41。N4106 理想带通特性为 | |0 | e)e (cccjjdBBHa有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1） 求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式， 确定N与之间的关系； （3） 要求过渡带宽度不超过/16 rad。 N的取值是否有

47、限制？为什么？解解: （1）jjdd1( )()ed2nh nHeccccjjjj()1eedeed2BamanB)()(sin)()(sin(ccananananB有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式第一项和第二项分别为截止频率c+B和c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 所以， 上面hd(n)的表达式说明， 带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。 （2） h(n)=hd(n)w(n)ccsin()()sin()20.540.46 cos( )()()1NB nananRnnanaN为了满足线性相位条件， 与N应满足12Na有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章实质上， 即使不要

48、求具有线性相位， 与N也应满足该关系， 只有这样， 才能截取hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近误差最小。 （3） N取奇数和偶数时， 均可实现带通滤波器。 但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/N ， 所以， 要求， 即要求N128。 7 试完成下面两题：试完成下面两题： （1） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)， 另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)， 它与h(n)的关系是h1(n)=(1)nh(n)。 试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。 N816有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n

49、)和H(ej)， 截止频率为c, 另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)， 它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cos0n， 且c0(c)。 试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解解: （1） 由题意可知)(ee 21)()cos()() 1()(jj1nhnhnnhnhnnn对h1(n)进行傅里叶变换, 得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章mnnnnmnhhHjjjj1j1e ee )(21e )e (e )(e )(21)( j)( jnnnnnhnh)e ()e (21)( j)( jnHH上式说明H1(ej)就是H(ej)平移的结果。 由于H(ej)为低通滤波器，

50、通带位于以=0为中心的附近邻域， 因而H1(ej)的通带位于以=为中心的附近， 即h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为c, ）： 设计一个截止频率为c的低通滤波器hLp(n)。 对hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通滤波器hHp(n) cos(n)=(1)nhLp(n)。 (2) 与(1)同样道理， 代入h2(n)=2h(n) cos0n, 可得2)e ()e ()e ()( j)( jj200HHH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章因为低通滤波器H(ej)通带中心位于=2k，

51、且H2(ej)为H(ej)左右平移0， 所以H2(ej)的通带中心位于=2k0处， 所以h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。 8 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8， 设 H1(k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1 H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1（1） 试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？为什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题8图有限脉冲响应(FIR)

52、数字滤波器的设计第章解解： （1） 由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循环移位性质可得)() 1()(e)()(11j1482kHkHkHWkHkkk| )(| )(| )(|11482kHkHWkHk(2) 由题8图可知， h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章所以， 用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。 直接计算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同样的结论。 设 )(jg11j11e )()(FT)e

53、(HnhH27) 1(21)()(21N)(jg22j22e )()(FT)e (HnhH所以， 群延时为27d)(d112有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章9 对下面的每一种滤波器指标， 选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。 （1） 阻带衰减为20 dB， 过渡带宽度为1 kHz， 采样频率为12 kHz； （2） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为2 kHz， 采样频率为20 kHz； （3） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为500 Hz， 采样频率为5 kHz。 解解： 我们知道， 根据阻带最小衰减选择窗函数类型， 根据过渡带宽度计算窗函数长度。 为了观察方便，

54、重写出教材第211页中表7.2.2。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章结合本题要求和教材表7.2.2， 选择结果如下： （1） 矩形窗满足本题要求。 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=200/12 000=/60， 精确过渡带满足：1.8/N/60， 所以要求N1.860=108。 （2） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=4000/20 000=/5， 精确过渡带满足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 （3） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=1000/5000=/5， 精确过渡带满足：

55、 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 10 利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器。 要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率c= /4 rad，N=21。 求出分别对应的单位脉冲响应。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解: (1) 希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ej)为jjde 0 | 4(e )0 | 4aH其中, a=(N1)/2=10。 (2) 由Hd(ej)求得hd(n)： 4j 10jd/4sin(10)14( )eed2(10)nnh nn有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 (3) 加窗得到FIR滤波器单位脉

56、冲响应h(n)： 升余弦窗:Hn2( )0.5 1cos( )1NwnRnNHnd21sin(10)24( )( ) ( )1cos( )2(10)20nnhnh n w nRnn有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗：Hm2( )0.540.46 cos( )1NnwnRnNHmHm21sin(10)24( )( )( )0.540.46 cos( )p(10)20dnnhnh n wnRnn 布莱克曼窗:BldBl( )( )( )hnh n wn)(204cos08. 0202cos5 . 042. 0)10()10(4sin21nRnnnn有限脉冲响应(FIR)数字滤

57、波器的设计第章11 将技术要求改为设计线性相位高通滤波器， 重复题10。 解解: 方法一 将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ej)、 hd(n)改为如下理想高通滤波器即可。 43| 00 | 43e)e (10jjdH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章d)e (21)(jddHnhdee de21j4/310j10j4/3m)10()10(43sin)10()10(sinnnnn3sin(10)4(10)(10)nnn有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式中(n10)对应于全通滤波器。 上式说明， 高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位

58、脉冲响应。 仿照10题， 用矩形窗、 升余弦窗、 改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可。 计算与绘图程序与题10解中类同， 只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。 方法二 根据第7题（1）的证明结论设计。 （1） 先设计通带截止频率为/4的低通滤波器。 对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和hBl(n)。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2) 对低通滤波器单位脉冲响应乘以cosn可得到高通滤波器单位脉冲响应： 矩形窗： )()cos()10()10(4sin)cos()()(21R1nRnn

59、nnnhnh 升余弦窗： 2HnHn( )( )cos( )( 1)( )nh nhnnhn )()cos(202cos1)10(2)10(4sin21nRnnnn有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗： )cos()()(Hn3nnhnh)()cos(202cos46. 054. 0)10()10(4sin21nRnnnn 布莱克曼窗： )()cos(204cos08. 0202cos5 . 042. 0)10()10(4sin)(214nRnnnnnnh有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题12图12 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器， 逼近题12图所示的理想

60、微分器特性， 并绘出其幅频特性。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解: (1) 由于连续信号存在微分， 而时域离散信号和数字信号的微分不存在， 因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器， 即用数字差分滤波器近似模拟微分器。 下面先推导理想差分器的频率响应函数。 设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t)， 即ttxktyd)(d)(令x(t)=ejt， 则y(t)=jket=jkx(t)对上式两边采样（时域离散化）， 得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章()j()jej ny nTkx nTkTjj(e )FT ()j(e )kYy nTXT其