建平中学高二第一学期数学：二阶行列式2014

1、二阶行列式二阶行列式 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉。然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作解伏题元法中就有了行列式的概念。行列式的背景34132yxyx322120zyxzyxzyx123224032231xyztxyztxyztxyzt 问题的引入研究线性方程组的解通过消元的方法可以逐步减少未知数，通过消元的方法可以逐步减少未知数，最终达到求解方程的目的。最终达到求解方程的目的。是

2、否能把这个过程模式化、公式化是否能把这个过程模式化、公式化以简便计算过程？以简便计算过程？思考：设二元一次方程组（*）222111cybxacybxa2121,bbaa其中是未知数的系数且不全为零， 21,cc是常数项 引入：用加减消元法解方程组（*） (1)(2)(1) b2:a1b2x + b1b2y = c1b2,(2) b1:b1a2x + b1b2y = b1c2,两式相减消去y, 得(a1b2 b1a2) x = c1b2 b1c2;类似地, 消去x ,得(a1b2 b1a2) y = c2a1 c1a2; 222111cybxacybxa观察二元一次方程组的解法，步骤如下（*）0

3、1221baba当 时 方程组（*）有唯一解： 1221122112211221babacacaybababcbcx由方程组由方程组（*）的四个系数确定的四个系数确定能否简化方程组解的表达形式？思考:1221122112211221babacacaybababcbcx重要的数学符号：重要的数学符号：行列式行列式引入记号引入记号 表示算式表示算式 1122abab1221baba1122abab1221baba即即一、二阶行列式的概念1122abab叫做行列式（这是个二阶行列式） 1 22 1aba b算式 叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值， 1212,a a b b 叫做行列式的元

4、素。行列式是一个算式1122abab1221baba对于二、二阶行列式展开的对角线法则利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则。1122abab2 1a b1 2ab行列式一般可用大写字母表示 如记 1122abDab主对角线主对角线副对角线副对角线例1、展开并化简下列行列式 51(1)8215(2)82cossin(3)sincos211(4)11aaa 5 28 12 1 28 538 22cossin1 231111aaaa 行列式中元素的位置不能随意改变例2、将下列各式用行列式表示：(1) abmn(2)sincoscossinamnbsincoss

5、incos表示不唯一二阶行列式展开的逆向使用二阶行列式展开的逆向使用 222111cybxacybxa对于二元一次方程组（*）则称则称 为方程组为方程组（*）的的系数行列式系数行列式. .D三、用二阶行列式解二元一次方程组 2211babaD 若记若记1 22 1aba b2211babaD 222111cybxacybxa2211bcbcDx 2211babaD 222111cybxacybxa2211cacaDy ,22112211bababcbcDDxx .22112211babacacaDDyy 则该二元一次方程组的解则该二元一次方程组的解12212121babacbbcx 12212

6、121babaaccay 可表示为可表示为: :1 22 1cbc b1 22 1a ca c当 时， 111 22 122abDa ba bab0解可用二阶行列式表示为：方程组（*）222111cybxacybxaDDyDDxyx1122,xcbDcb1122yacDac其中,xyD D可分别看作由常数12cc、D替换 中的 的系数得到xy、例例3 3、用行列式解下列二元一次方程组、用行列式解下列二元一次方程组5118(1)4156xyxy 350(2)210 xyxy 5118(1)4156xyxy 5115 154 11310415D 8118D 58564 8

7、6246yD 解：解：6,2yxDDxyDD 即原方程的解为 62xy 350(2)210 xyxy 3521xyxy11727xy 即原方程的解为 7,D 11,xD 2yD 112,77yxDDxyDD xyDD、1、当所给方程组的形式不是方 程组（*）的形式时，应先化 为方程组（*）的形式，才能 得到正确的2、当方程组的系数行列式的值 不为零时，方程组有唯一解。 说明说明111603510 xyxy 思考：思考：如何用行列式解下列方程组？111605310 xyxy 22xy 142xy 拓展：2、举例说明，当二元一次方程组 的系数行列式的值为零时， 方程组的解会有怎样的可能？1、当二阶

8、行列式的值为零时， 行列式中的元素有何特征？观察下列方程组的解：3(1)224xyxy3(2)226xyxy系数行列式均为零系数行列式均为零无实数解无实数解有无穷多解有无穷多解四、利用行列式研究二元 一次方程组解的情况对于二元一次方程组对于二元一次方程组 222111cybxacybxa2211bcbcDx 2211cacaDy 2211babaD 1 22 11 22 1()aba b yaca c通过加减消元法可得： 1 22 11 22 1()aba b xcbc bxD xD即即yD yD即即当 时，有唯一解 111 22 1220abDa ba bab1 22 11 22 1()ab

9、a b yaca c1 22 11 22 1()aba b xcbc bxD xD即即yD yD即即当 时，根据 的取值情况分为：0D xyD ,D（1）如果 中至少有一个不为零至少有一个不为零，xyD ,D不妨假设0 xD 则无论 取何值，x方程 都不成立， xD xD即方程组即方程组无解无解 , 0 xyDD（2）如果 由于 不全为零，1212,a a b b不妨设10a 那么由 ，可得 0yD= D 2 12 12211,a ba cbcaa则方程 可转换为222a xb yc2 12 1211a ba ca xyaa2112 1(),a a xb ya c即则方程 的所有解都满足111

10、a xb yc222a xb yc方程而方程 有无穷多解， 111a xb yc即所求方程组有即所求方程组有无穷多解无穷多解二元一次方程组二元一次方程组 222111cybxacybxa二元一次方程组的解的判别(1)当 时，有唯一解 11220abDab是方程组有唯一解的充要条件(2)当 中至少有一个不为零时， 方程组无解 0 xyDDD ，、(3)当 时， 方程组有无穷多解 0 xyD= DD697(1)462xyxy21(2)362xyxy例1、判别下列二元一次方程组解的情况：4(2) 1 5(3)3(2)3 2xyyx 42mxymxmymx,y例2、解关于 的二元一次方程组， 并对解的情况进行