函数值域求法的应用

1、函数值域求法的应用宣汉县第二中学 杜林对于函数的三要素之定义域和值域这两大要素，我们要有解决它们的办法。在上一篇文章中，我们已经学习了函数定义域的求法；下面我们来学习求函数值域的几种常见方法 1直接法：先掌握常见函数的值域情况，然后通过常见函数的复合来求解值域。一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.例1求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y|

2、 yÎR且y¹1（此法亦称分离常数法）当x>0，=，当x<0时，=值域是2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2二次函数各区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：； ； ；解：，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. 抛物线的开口向上，函数的定义域R，x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y-3 .顶点横坐标23,4，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； 在3,4上，=-2，=1；值域为-2，1.顶点横坐标20,1，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域为-2，1.顶点横坐标2 0,

3、5，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,在0,1上，=-3，=6；值域为-3，6.注：对于二次函数,若定义域为R时，当a>0时，则当时，其最小值；当a<0时，则当时，其最大值.若定义域为x a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b.若a,b,则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3判

4、别式法（法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3求函数的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 当 y¹1时 xÎR =(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得 (5y+1)0检验 时 （代入求根）2 Ï 定义域 x| x¹2且 x¹3 再检验 y=1 代入求得 x=2 y¹1综上所述，函数的值域为 y| y¹1且 y¹方法二：把已知函数化为函数 (x¹2) 由此可得 y¹1 x=2时 即 函数的值域

5、为 y| y¹1且 y¹说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4换元法例4求函数的值域解：设 则 t0 x=1-代入得 t0 y45分段函数例5求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不