竞赛课件：电容器

1、12 电容电容 导体得到单位电势所必须给予的电量导体得到单位电势所必须给予的电量 04=qURC 从定义式从定义式=qCU出发出发通过等效变换通过等效变换基本联接基本联接电容器联电容器联接接C1C2C3U1U2U3 UC1q1q2q3 C2C3U 电电 量量12nqqqq 12nqqqq 电电 压压12nUUUU 12nUUUU 等效电等效电 容容121111nCCCC 12nCCCC 电压电流电压电流 分配律分配律qUC 由由 电压按电容电压按电容反比例分配反比例分配qCU 由由 电荷按电容电荷按电容正比例分配正比例分配3 电容器相关研究电容器相关研究+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-

2、+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+E 0E电介质的介电常数定义为电介质的介电常数定义为00EEE 0CSd 2211222QUQCUCW 到例到例到例到例64 ES 由高斯定理由高斯定理,无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面的电场由的电场由 0eS 022eES QQ 两面积两面积S、间距间距d平行板电容器当带电荷量平行板电容器当带电荷量Q时，时，板板间电场由电场叠加原理可得为间电场由电场叠加原理可得为0022E 两板两板间电势差间电势差0Ud 00SQUdSCd 則則5+O ABRRrnn 取取ri由高斯定理由高斯定理,在距球心在距球心ri处场强处场强204eiiqE

3、Sr 在距球心在距球心ri处处r 其上场强视作恒定其上场强视作恒定,则元电势差为则元电势差为204iABiRRUrnq 电容器两极间电势差为电容器两极间电势差为210lim4nniiqUrr 201lim4nniiqrr 2211limlimnnnniiiArrrRi r 1limnnAAirRi rRi rr 111limnnAAiRi rrRi r 1111111lim21nnAAAAABiRRrRrRrRnrR 0114ABqRR 04ABBARQCURRR 則則6 两个半径均为两个半径均为R的导体球相互接触形成一孤立导体，的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立导体的电容试求此孤立导

4、体的电容 O1RO1O2+q1解题方向解题方向: 若能确定若能确定系统电势为系统电势为U时的时的电量电量Q,可由定义求可由定义求得得C考虑其中考虑其中1球球,电势为电势为U时时,电量电量1URqk +q1O2R+q1引入同样的第引入同样的第2球球,1球将电势叠加球将电势叠加,为维持为维持U,122qq 12ORr +q1-q2-q2对称地对称地,为维持球为维持球2电势电势U,亦设置亦设置像电荷予以抵消像电荷予以抵消为抵消像电荷引起的电势为抵消像电荷引起的电势,再设置再设置下一级像电荷下一级像电荷1132323qqq 223ORr +q3+q3-q4-q4 111121234Qq 2ln2URk

5、 08 ln2CR 7 半径分别为半径分别为a和和b的两个球形导体，相距很远地放置，的两个球形导体，相距很远地放置，分别带有电荷分别带有电荷qa、qb，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电荷量及系统的电容电荷量及系统的电容. 解题方向解题方向: 系统总电量守恒，只要确定系统总电量守恒，只要确定导线连接后系统的电势导线连接后系统的电势, ,可由定义求得可由定义求得C C设连接后两球各带电设连接后两球各带电abqq 由电荷守恒有由电荷守恒有 ababqqqq + +由等势且相距很远由等势且相距很远 abkqkqUab 解得解得 aabaqqqab abk

6、 qabUq abqqCU 則則abk 返回返回8abddh i i+1123dh解题方向解题方向: 不平行电容器等效不平行电容器等效为无穷多个板间距离不等的为无穷多个板间距离不等的平行板电容器并联平行板电容器并联!若无穷均分若无穷均分b01limnnibanCb hdin b 001111limlim1nnnniibaabnb hhdndiin bnd 若无穷均分若无穷均分C10/iiiddaCh bdn 01iiiab ddChdn 101iidChdn ab 等式两边取等式两边取n次方极限得次方极限得0Chabdhed 0lnabdhhCd 如图，两块长与宽均为如图，两块长与宽均为a与与

7、b的导体平板在制成平行板电容的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为器时稍有偏斜，使两板间距一端为d，另一端为（，另一端为（dh），且且h d，试求该空，试求该空气电容器的电容气电容器的电容 9 如图所示，由五个电容器组成的电路，其中如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C14F，C26F，C10F，求，求AB间的总电容间的总电容 C1C1C2C2C3AMNB设在设在A、B两端加一电压两端加一电压U，并设，并设UMUNM(N)处连接三块极板总电量为处连接三块极板总电量为则有则有 - 121122213UUUC UC UUUC 解得解得 12815715UUUU 11228157

8、15QUCQUC 于是有于是有 1212871515QQCCCU 74F15C 五电容连接后的等效电容为五电容连接后的等效电容为 五电容连接直观电路如图五电容连接直观电路如图 ABC1C1C2C2C310 如图是一个无限的电容网络，每个电容均为如图是一个无限的电容网络，每个电容均为C，求，求A、B两点间的总电容两点间的总电容 设设n个网格的电容为个网格的电容为Cn,则有则有 22nABnnCCCCCCCC 22220nnCCCC 整理得整理得 312nCC 该无穷网络等效电容为该无穷网络等效电容为 n ABnCC返回返回11 如图，一平行板电容器，充以三种介电常数分别如图，一平行板电容器，充以

9、三种介电常数分别为为1、2和和3的均匀介质，板的面积为的均匀介质，板的面积为S，板间距离为，板间距离为2d试求电容试求电容器的电容器的电容 dd1 2 3 3C2C1C0 114SCd 0 332SCd 0 222SCd 23123C CCCCC 等效于等效于C1与串联的与串联的C2、C3 并联并联: 01 21 32 323222Sd 12 在极板面积为在极板面积为S，相距为，相距为d的平行板电容器内充满三种不的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这同的介质，如图所示如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应是多少？如果

10、在种介质的介电常数应是多少？如果在3和和1、2之间插有极薄的导体薄片，之间插有极薄的导体薄片，问的结果应是多少？问的结果应是多少？ a1 2 3 bcd将电容器划分为如图所示将电容器划分为如图所示a、b、c、d四部分四部分所求等效电容为所求等效电容为a与与b串联、串联、c与与d串联后两串联后两部分并联而成，由部分并联而成，由C可得可得13231323 插入导体薄片插入导体薄片所求等效电容为所求等效电容为1与与2并联与并联与3串联，由串联，由C可得可得 31231222 13 球形电容器由半径为球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内半径为壳构成，球壳内半径

11、为R，其间一半充满介电常数为，其间一半充满介电常数为的均匀介质，的均匀介质，如图所示，求电容如图所示，求电容. 球形电容器的电容球形电容器的电容 04RrCRr 本题电容器等效于介电常数为和本题电容器等效于介电常数为和的两个半球的两个半球电容器电容器并联并联，每个半球电容各为，每个半球电容各为 102RrCRr 202RrCRr 该球形电容器的等效电容为该球形电容器的等效电容为 0221RrrCR Rr14 如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器长如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器长l、半、半径分别为径分别为r和和R两圆筒间充满介电常数为两圆筒间充满介电常数为的电介质求此电容器的电容的

12、电介质求此电容器的电容 设圆柱面电容器电容为设圆柱面电容器电容为C，它由，它由n个电个电容为容为nC的元圆柱面电容串联而成，元圆柱的元圆柱面电容串联而成，元圆柱面电容器可视为平行板电容器，第面电容器可视为平行板电容器，第i个元电个元电容为容为 riri-1012iiir lnCrr 102iiiirrlrrnC 1021iirlrnC nnlimlimnn 02 lCreR 02lnrRCl 15 平行板电容器的极板面积为平行板电容器的极板面积为S，板间距离为，板间距离为D其间充满其间充满介质，介质的介电常数是变化的，在一个极板处为介质，介质的介电常数是变化的，在一个极板处为1 ，在另一个极板

13、处为，在另一个极板处为2 ，其它各处的介电常数与到介电常数为其它各处的介电常数与到介电常数为1处的距离成线性关系，如图，试求此电处的距离成线性关系，如图，试求此电容器的电容容器的电容C 小试身手题小试身手题7 7解题方向解题方向: 介质变化的电容器等效为无穷多个介介质变化的电容器等效为无穷多个介质不同的平行板电容器串联质不同的平行板电容器串联!无穷均分无穷均分C21011iiirSDnCrr 2121012121111iiirSDDnCrrDD 21211102111iirSDDnCrD 等式两边取等式两边取n次方极限得次方极限得21012SDCe 02121lnlnDCS x0Dri-1ri

14、i1 2n12返回返回161234+q1-q2+q2-q11q 3q 1q +2q +2q 3q 1312qqqq 121qqq 124332UUU 由由312000qqqCCC 即即00SCd 其其中中1223qqq 32012023d qqqUCS 解题方向解题方向:利用电容对两板间利用电容对两板间的电压及极板上的电量的制约的电压及极板上的电量的制约 四块同样的金属板，每板面积为四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为，各板带电量分别为q1、-q1、q2、-q2各板彼此相距为各板彼此相距为d，平行放置如图，平行放置如图，d比板的线尺寸小得多，当比板的线尺寸小得多，当板板1、板、板4

15、的外面用导线连接，求板的外面用导线连接，求板2与板与板3之间的电势差之间的电势差 17 如图所示，两块金属平板平行放置，相距如图所示，两块金属平板平行放置，相距D=1 cm，一，一板上电荷面密度板上电荷面密度1=3C/m2，另一板上电荷面密度，另一板上电荷面密度2=6C/m2 ，在两板之间平，在两板之间平行地放置一块厚行地放置一块厚d=5 mm的石蜡板，石蜡的介电常数的石蜡板，石蜡的介电常数=2求两金属板之间的电求两金属板之间的电压压 +2+1Dd如果在每个金属板上附加面密度如果在每个金属板上附加面密度为为-4.5C/m2的电荷，电容器的带的电荷，电容器的带电就成为电就成为“标准状况标准状况”

16、了了两两板带等量异种电荷板带等量异种电荷:附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来的板间电场，也不会改变电容器的电势的板间电场，也不会改变电容器的电势 21.5 C/m 等效电容为等效电容为:CCCCC 002SCD 其其中中02SCD 021SD SUC 012D 1272V 18 电容为电容为C的平行板电容器的一个极板上有电量的平行板电容器的一个极板上有电量q，而另一个极板上有电量而另一个极板上有电量+4q，求电容器两极板间的电势差，求电容器两极板间的电势差 如果在每个金属板上附加如果在每个金属板上附加-2.5q的电荷，的电荷，电容器的带

17、电就成为两板带等量异种电电容器的带电就成为两板带等量异种电荷荷1.5q 的的“标准状况标准状况”：1.5qUC 則則32qC 19 三三个电容分别为个电容分别为C1、C 2、C 3的未带电的电容器，如图方的未带电的电容器，如图方式相连，再接到点式相连，再接到点A、B、D上这三点电势分别为上这三点电势分别为A、UB、D则公共点则公共点O的电势是多大？的电势是多大？ C1C3C2ODBA解题方向解题方向:考虑电容器电容、考虑电容器电容、电压与电量之间的关系电压与电量之间的关系 设三个电容带电量分别为设三个电容带电量分别为123qqq11AOAOqUUUC 則則22BOBOqUUUC 33DODOq

18、UUUC 1230qqq 又又123123DOABU CU CU CUCCC 20 如图所示的两块无限大金属平板如图所示的两块无限大金属平板A、B均接地，现在两板均接地，现在两板之间放入点电荷之间放入点电荷q，使它距，使它距A板板r，距，距B板板R求求A、B两板上的感应电荷电量各两板上的感应电荷电量各如何？如何？ 解题方向解题方向:与设想将与设想将q均匀细分均匀细分n份，份，均匀分布在距板均匀分布在距板r处的处的平面平面M后等效后等效BAM+这是两个电容这是两个电容并联并联!两电容器电容之比两电容器电容之比rRCRCr 并联电容总电量并联电容总电量q每个电容带电量每个电容带电量ArBRqCqC

19、 AqRqRr BqrqRr 21设三块板上电量依次为设三块板上电量依次为q1、q2、q3，由电荷守恒：，由电荷守恒：2120312EqSqq 123qqqQ 1、2两板间的电场是三板上电荷引起电场的叠加：两板间的电场是三板上电荷引起电场的叠加：1q2q 3q3、2两板间的电场也是三板上电荷引起电场的叠加：两板间的电场也是三板上电荷引起电场的叠加：2230312EqSqq 210312qqUdSq 220132qqUdSq 0112UdqSQ 021211USddq 0322UdqSQ 三块相同的平行金属板，面积为三块相同的平行金属板，面积为S，彼此分别相距，彼此分别相距d1和和d2起起初板初

20、板1上带有电量上带有电量Q，而板，而板2和板和板3不带电然后将板、分别接在电池正、不带电然后将板、分别接在电池正、负极上，电池提供的电压为负极上，电池提供的电压为U若板若板1、3用导线连接如图，求用导线连接如图，求1、2、3各板所各板所带电量带电量 ？ 返回返回22S4断开，断开， S1、S2、S3接通的条件下，三电容器并联接通的条件下，三电容器并联在电源上，电路情况如图所示：在电源上，电路情况如图所示： C1C2C3S4S2S3RS1每个电容器电量为每个电容器电量为 104qC 202qC 30qC - -断开断开 S1、S2、S3接通接通S4的条件下，三电容的条件下，三电容器串联在电源上，

21、电路情况如图所示：器串联在电源上，电路情况如图所示： C1C2C3S4R1q 1q 2q 2q 3q 3q 由电荷守恒：由电荷守恒： 1313qqqq q1-q2q2-q1q3-q31212qqqq 31200042qqqCCC 由电势关系：由电势关系： 00120224183777qqqCCC 得得2222223311220001242qqqqqqQWCCC 則則2027C 2IR 如图所示的电路中，如图所示的电路中，C14C0，C22C0，C3C0，电池电，电池电动势为，不计内阻，动势为，不计内阻，C0与为已知量先在断开与为已知量先在断开S4的条件下，接通的条件下，接通S1、S2、S3，令

22、电池给三个电容器充电；然后断开令电池给三个电容器充电；然后断开S1、S2、S3，接通，接通S4，使电容器放电，求：，使电容器放电，求：放电过程中，电阻放电过程中，电阻R上总共产生的热量及放电过程达到放电总量一半时，上总共产生的热量及放电过程达到放电总量一半时，R上上的电流的电流 23SAB原来电容以原来电容以C0表示，由电容器电容公式表示，由电容器电容公式04SCkd 板间距离为板间距离为0.9d时时010.9CC 情况情况1中电容器两板间电压恒为中电容器两板间电压恒为U00.12 0.90.9CUKdUd 情况情况2中电容器板上电量恒为中电容器板上电量恒为C0UA板引起的场强是电容器板引起的

23、场强是电容器板间场强的一半！板间场强的一半！B板上的电量板上的电量202UK d dCUd 比较两式比较两式得得28.1d 在光滑绝缘水平面上，平行板电容器的极板在光滑绝缘水平面上，平行板电容器的极板A固定，极板固定，极板B用绝缘弹簧固定在侧壁上，如图所示，若将开关用绝缘弹簧固定在侧壁上，如图所示，若将开关S闭合，极板闭合，极板B开始平行地向开始平行地向极板极板A移动，到达新的平衡位置时两极板间距离减少了移动，到达新的平衡位置时两极板间距离减少了d1=10%如果开关闭如果开关闭合极短时间后就立刻断开（此间设极板合极短时间后就立刻断开（此间设极板B未及从原位置移动），求此后极板未及从原位置移动）

24、，求此后极板B到达新的平衡位置时两极板间距离减少的百分比到达新的平衡位置时两极板间距离减少的百分比d2 2412FxWW 2012xUCC 解题方向解题方向: 把介质拉出的过程把介质拉出的过程,视视为外力克服电场力做功消耗电为外力克服电场力做功消耗电场能的过程场能的过程!设将介质沿设将介质沿b拉出两板边缘拉出两板边缘x,外力大小为外力大小为F,由功能关系：由功能关系： 0abd 0abd 0abxxd 2012adFU 两块平行金属板，面积都是两块平行金属板，面积都是ab，相距为，相距为d，其间充满介电，其间充满介电常数为常数为的均匀介质，把两块板接到电压为的均匀介质，把两块板接到电压为U的电

25、池两极上现在把板间介质沿的电池两极上现在把板间介质沿平行于平行于b边慢慢抽出一段，如图，略去边缘效应及摩擦，求电场把介质拉回去边慢慢抽出一段，如图，略去边缘效应及摩擦，求电场把介质拉回去的力的力 Ubd25相互插入前：相互插入前：22121211,22QQWWCC 21212,2CddC 故两电容器总电能故两电容器总电能20134QWC 按第按第1 1种方式种方式 插入插入: :+Q-Q+Q-Q+2Q-2Q+ 2022111211522 422453QQQWCCWC 1 1+Q-Q+按第按第2 2种方式种方式 插入插入: :-Q+Q-Q+Q22101122 4413QQWCCW 极板相同的两个

26、平行板空气电容器充以同样电量第一个极板相同的两个平行板空气电容器充以同样电量第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍如果将第二个电容器插在第一电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间，并使所有极板都互相平行，问系统的静电能如何改变？个电容器的两极板间，并使所有极板都互相平行，问系统的静电能如何改变？ 26电容器带电时，上极电容器带电时，上极板所受电场力矩与质板所受电场力矩与质量为量为m的砝码重力矩的砝码重力矩平衡，即平衡，即 eFmg 02SUUmgxx 即即02mxUgS 静电天平的原理如图所示，一空气平行板电容器静电天平的原理如图所示，一空

27、气平行板电容器两极板的面积都是两极板的面积都是S，相距为，相距为x，下板固定，上板接到天平的一头，下板固定，上板接到天平的一头，当电容器不带电时，天平正好平衡然后把电压当电容器不带电时，天平正好平衡然后把电压U加到电容器的两加到电容器的两极上，则天平的另一头须加上质量为极上，则天平的另一头须加上质量为m的砝码，才能达到平衡求的砝码，才能达到平衡求所加的电压所加的电压U xSm27充电完毕时各块板上电量均充电完毕时各块板上电量均为为CRRCC - - -3C 接入两电阻接入两电阻,电荷重新分布电荷重新分布! -三电容成并联三电容成并联,故每个电容带电量为故每个电容带电量为19qC 223112/

28、323qqQCC 放放释放的热量即减少的电场能释放的热量即减少的电场能,为为2427C 每个电阻放热每个电阻放热2227C -10C 760C 760C 1360C 1960CR 1960CR -10C 1360C 1360C 760C 60CR 60CR 三只电容均为三只电容均为C 的电容器，互相串联后接到电源上，电源的电容器，互相串联后接到电源上，电源电动势为电动势为当电容器完全充电后跟电源断开，然后接入两只电阻均为当电容器完全充电后跟电源断开，然后接入两只电阻均为R的电的电阻器，如图所示试问每只电阻上释放的热量有多少？当中间一只电容器的电阻器，如图所示试问每只电阻上释放的热量有多少？当中

29、间一只电容器的电压减小到电源电动势压减小到电源电动势的的1/10的瞬间，流过电阻的瞬间，流过电阻R的电流的电流i1和和i2各为多大？各为多大？28双刀双掷开关双刀双掷开关abca C1db C2 C2输出电压输出电压U1=U/21ab 12UU C2充电至充电至q1=CU/2双刀双掷开关双刀双掷开关abC1充电至电压充电至电压U、电量电量CU 双刀双掷开关双刀双掷开关2ab -ef2221212232,UCUCUUCUU 平平衡衡后后C2充电至充电至q2=5CU/4C2输出电压输出电压U22=5U/4 -254UU -双刀双掷开关双刀双掷开关3ab 2231313394,UCUCUUCUU 平

30、平衡衡后后C2充电至充电至q3=13CU/8 C2输出电压输出电压U23=13U/812232nnnUU 12max23lim2nnnUU 2U 如图所示，两个电容均为如图所示，两个电容均为C的电容器的电容器C1和和C2，一个双刀双，一个双刀双掷开关掷开关S，一个可提供恒定电压，一个可提供恒定电压U的蓄电池的蓄电池E将它们适当联接并操作开关，以将它们适当联接并操作开关，以使这个电路的输出端得到比使这个电路的输出端得到比U高的电压，试求出这个最高输出电压高的电压，试求出这个最高输出电压 ？29 (a)两块边长为两块边长为15 cm的正方形平板，相距为的正方形平板，相距为5 cm，组，组成一个空气

31、平行板电容器成一个空气平行板电容器8.8510-12 F/m试求该电容器的电容电容器试求该电容器的电容电容器平板被竖直固定在绝缘支撑物上（平板被竖直固定在绝缘支撑物上（b）涂有导电漆的球形木髓小球被长为）涂有导电漆的球形木髓小球被长为10 cm的一段丝线悬挂，丝线上端固定于的一段丝线悬挂，丝线上端固定于A板上，如图所示，木髓小球开始时和板上，如图所示，木髓小球开始时和A板接触它的质量板接触它的质量m0.1 g，半径，半径r0.3 cm，求木髓小球的电容，求木髓小球的电容 平板平板电容器的电容器的B板接地，板接地，A板与电势为板与电势为60000V范德格喇夫起电机做瞬时接触，然后范德格喇夫起电机

32、做瞬时接触，然后平板电容器再次绝缘这时可观察到木髓小球离开平板电容器再次绝缘这时可观察到木髓小球离开A板运动到板运动到B板，然后再返板，然后再返回到回到A板，往复几次以后，木髓小球处于平衡位置，并且悬挂丝线与板，往复几次以后，木髓小球处于平衡位置，并且悬挂丝线与A板夹角板夹角为为 (a)解释木髓小球为什么会这样运动并求出它最后的平衡位置；解释木髓小球为什么会这样运动并求出它最后的平衡位置； (b)计算两平行板之间最终电势差；计算两平行板之间最终电势差； (c)试求木髓小球在静止前来回摆动的次数试求木髓小球在静止前来回摆动的次数k； (d)作一草图，表示两板电势差与小球在两板间来回次数的函数关系

33、作一草图，表示两板电势差与小球在两板间来回次数的函数关系UABf (k) 接范德格喇接范德格喇夫起电机夫起电机AB30解解: :(a)由平行板电容器公式由平行板电容器公式得空气平行板电容器电容：得空气平行板电容器电容： 2122023.8.85 1015 198pF0F5 10SCd (b)由孤立导体球电容器公由孤立导体球电容器公式得木髓球电容器电容：式得木髓球电容器电容： 090.05F9 10.3F033pRCk (a) 球带电后被球带电后被A板静电推斥，与板静电推斥，与B板接触时放电而后受重力作用摆板接触时放电而后受重力作用摆回回A板充电，再被推到板充电，再被推到B板放电，如此往复板放电

34、，如此往复k次，使板间电压减小、场强次，使板间电压减小、场强减小，直至小球所受电场力与重力及丝线张力平衡而静止在将要接触减小，直至小球所受电场力与重力及丝线张力平衡而静止在将要接触B板但未放电的位置，则丝线与板但未放电的位置，则丝线与A板夹角为板夹角为 150.3sin1028 (b)由于球平衡，有由于球平衡，有0tankkUC Udmg 23125 100.1 109.8tan0.333 108840VkU (c)初时初时A板与球电势均为板与球电势均为U0=60000 V，球推开后，球推开后A的电势变成的电势变成U1，板，板上电量上电量CU1，球上电量，球上电量C0 U0，由电荷守恒：，由电荷守恒： 0010010CCCUCUC UUUC 00kkCCUUC 8840lg600003.980.333lg3.9822k 次次电