数字图像处理第8章

1、数数 字字 图图 像像 处处 理理第八章第八章 数学形态学数学形态学主要内容基本概念膨胀和腐蚀开和闭一些基本形态学算法 数学形态学 数学形态学（Mathematical Morphology）形成于1964年，法国巴黎矿业学院的 G. Matheron 和其学生 J. Serra 从事铁矿核的定量岩石学分析，提出了该理论。(基本思想) 利用一个结构元素（相当于模板）去探测一个图像，看是否能将这个结构元素很好地填放在图像的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效。通过对图像内适合放入结构元素的位置做标记，就可得到关于图像结构的信息。这些信息与结构元素的尺寸和形状都有关。构造不同的结构元素，便可完

2、成不同的图像分析，得到不同的分析结果。B形态学概念A数学形态学基本概念一、基本概念集合具有某种性质的确定的事物的全体（“空集” 表示某种事物不存在)子集当且仅当集合A的所有元素都属于B时，称A为B的子集补集集合A的补集 Ac = x| xA 差集 AB = x| xA, xB = ABc映像 A的映像为 = x| x= a, aAA交集 A和B的共同元素的集合成为A和B的交： A B平移 A相对于x 的平移为 (A)x = z | z = a+x , aA（二值图像的逻辑运算）并集 A和B的所有元素的集合成为A和B的并： AB数学形态学基本概念AA数学形态学膨胀和腐蚀二、基本运算1 1、膨胀膨

3、胀(dilation)设 A, B 为 z2 中（二维平面）的集合，A 被 B 的膨胀定义为：A B = x | ( )x A B先求B的映像，然后平移 x，使得 对所有的 x 平移后与 A 至少有一个非零公共元素。B集合B称为“结构元素结构元素” （ “Minkowski加”）数学形态学膨胀和腐蚀BABAABAB注意原点定义数学形态学膨胀和腐蚀膨胀应用（例）连接断裂结构元素数学形态学膨胀和腐蚀2 2、腐蚀腐蚀(erosion)A被B的腐蚀定义为：A B = x | (B)x A_将B平移x，使得平移后B的所有元素包含在A中。（ “Minkowski减”）_ABA B_数学形态学膨胀和腐蚀dd

4、 Ad 4d 4Bd8d8A B_d8A B_d 4d B数学形态学膨胀和腐蚀（a)图中的二值图像包含边长为1，3，5，7，9和15个像素的正方形。假设只留下最大的正方形而除去其他的对象用比要保留的对象稍小的结构元素对图像进行腐蚀(选择1313的结构元素)。（b)腐蚀后的结果。（c)使用原结构元素对这3个正方形进行膨胀恢复原尺寸。腐蚀应用（例）消除不相关的细节数学形态学膨胀和腐蚀性质：(A B)c =Ac _BAB = BAA(BC) = (AB)CAB AC BCAB A C B C_(AB) C = (AC)(BC)A (BC) = (AB)(AC)A (BC) = (A B)(A C)_

5、(BC) A = (B A) (C A)_（交换性）（结合性）（递增性）（分配性）可以证明：可以将复杂形状分解运算将复杂形状分解运算数学形态学开和闭3 3、开运算开运算(opening)和闭运算和闭运算(closing) 设A为原图像，B为结构元素，A B = (A B) B_ 用B对A进行开运算为：用B对A进行闭运算为：AB = (A B) B_数学形态学开和闭B“开”和“闭”数学形态学开和闭几何解释几何解释:“开”过程“闭”过程AB开运算B在A内“滚动”所能达到的边界点所包含的区域。 （可使凸出部分（可使凸出部分“融化融化”而圆滑，凹角不变）而圆滑，凹角不变） 闭运算B在A的补集内“滚动”

6、所能达到的边界点形成新的补集。 此新补集的补集即A经闭运算结果。 （可使补集的凸出部分（可使补集的凸出部分“融化融化”，即，即A的凹角的凹角“熔合熔合”，凸角，凸角不变）不变） 数学形态学开和闭开运算的几何解释闭运算的几何解释AB（开）（闭） 等价关系：(AB)c = Ac Bc 性质A B是A的子集 如果C是D的子集，则C B是D B的子集 (A B) B = A B A是集合AB的子集如果C是D的子集，则CB是DB的子集(AB)B = AB数学形态学开和闭数学形态学开和闭形态学滤波应用（例）去噪图(a)中的二值图像A是受噪声污染的部分指纹图像噪声表现为黑色背景上的亮元素和亮指纹部分的暗元素

7、。由开操作后紧跟着闭操作形成的形态学滤波器可以消除噪声图(b)是所使用的结构元素。图(c)是使用结构元素对A腐蚀的结果背景噪声在腐蚀过程中被消除，但包含于指纹中的噪声元素的尺寸增加了。图(d)是对(c)再进行膨胀的结果（即对A的开）包含于指纹噪声分量的尺寸被减小，但指纹纹路间产生了新的间断。图(e)是在开操作的基础上进行膨胀的结果间断被恢复，但纹路变粗了，可以通过腐蚀弥补。图(f)是对(d)的闭操作结果。数学形态学开和闭数学形态学击中或击不中变换 4 4、击中或击不中变换击中或击不中变换 (HMT)形状检测的基本工具。图(a)为集合A（三种形状目标）；图(b)为包含待检测形状X的窗口W和X的背

8、景(WX);图(c)为A的补集；图(d)为A被X腐蚀的结果；图(e)为Ac被(WX)腐蚀的结果；图(f)为(d)和(e)的交集，即X的原点位置。若B表示由X和X的背景构成的集合，则在A中对X进行的匹配表示为：(A X)Ac (WX)_A B =（W是包含X的窗口）数学形态学击中或击不中变换 a bc de fA被X腐蚀X的原点匹配；Ac被(WX)腐蚀相同的背景匹配数学形态学基本形态学算法三、一些基本的形态学算法边界提取 (A) = A A B_所选结构元素使边界为4连通数学形态学基本形态学算法形态学方法提取边界（结构元素同上）数学形态学基本形态学算法区域填充Xk = (Xk-1 B)Ac (k

9、 = 1,2,)(a)边界A(b)A的补集(c)结构元素(d)给出边界内起始点(X0)(e)(h)迭代过程(i)最后结果(a)和(h)的并（Xk = Xk-1 时结束）abcdefghi限制在边界内部不断膨胀数学形态学基本形态学算法细化AB = A (A B) = A(A B)c 在此处的击中或击不中变换中没有背景运算在此处的击中或击不中变换中没有背景运算仅考虑仅考虑(0,1)的模式匹配时，即成为简单的腐蚀运算。的模式匹配时，即成为简单的腐蚀运算。B = B1,B2, ,BnAB = (AB1)B2 )Bn)或：依次使用 B1, B2, Bn 对A进行一遍细化。然后重复整个过程，直到结果不再发

10、生变化（收敛）。(a)(f)(e)(j)(i)(h)(l)(k)(d)(c)(b)(g)依次将与8种边界模式匹配的点删去(a)用于细化的经旋转的结用于细化的经旋转的结构元素序列（注意构元素序列（注意阴影阴影为为“1”，白色为，白色为“0”，“ ”表示不考虑）表示不考虑）；(b)集合集合A；(c) 用第一个结构元素细化用第一个结构元素细化的结果；的结果；(d)(i) 用其余用其余7个结构元个结构元素细化的结果；素细化的结果；(j)再次用第一个结构元素再次用第一个结构元素的结果（接下来的两个结的结果（接下来的两个结构元素不产生变化）；构元素不产生变化）；(k)收敛后结果；收敛后结果；(l)转换为转

11、换为8连通结果连通结果。数学形态学基本形态学算法粗化细化的逆过程。AB = A(A B)定义：实际操作实际操作先对待粗化的集合的背景进行细化，再对结果求补集。（B是适合粗化处理的结构元素）数学形态学基本形态学算法KkkASAS0)()(骨架化 A的骨架可以用腐蚀和开运算实现。Sk(A) = (A kB) (A kB) B_ (A kB) = ( (A B) B) ) B_(A kB)表示对A的连续k次腐蚀：_(第K次是A被腐蚀为空集前进行的最后一次迭代)A可以由骨架重构：KkkkBASA0)(Sk(A) kB) = ( (Sk(A) B) B) ) B第一列：初始第一列：初始A和用结构元和用结构元素素B连续两次腐蚀的结果连续两次腐蚀的结果（K=2)。第二列：用第二列：用B对第一