谈中国诗——优秀实用

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分2.1.1 2.1.1 两个例子两个例子,0ttt 记记1.瞬时速度问题瞬时速度问题0tt ,)(0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求函函数数为为设设变变速速直直线线运运动动的的路路程程ttst,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于,0ttt 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度00)()(tttsts ,0时时当当tt 取极限得取极限得0limvtt 瞬时速度瞬时速度2.1 2.1 导数的概念导数的概念00)()(tttsts ttsttstvt )()(lim)(0000 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 T0

2、 xxoxy)(xfy CNM),(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx .)()(lim,0000 xxfxxfkxxxx 则则记记2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义),(,)(,)(,)()(lim ,)(0000000 xyxxfyxxfyxxxfxfxxfyxx 记为记为处的导数处的导数在点在点为函数为函数并称这个极限并称这个极限处可导处可导在点在点则称函数则称函数存在存在如果极限如果极限的某个邻域内有定义

3、的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数定义定义)(,)(000 xfdxxdfdxdyxxxx 或或.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 即即xxfxxfxyxyxx )()(limlim)(00000 也可写成也可写成.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导

4、数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 2.1.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdsts

5、tvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 由定义求导数由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.

6、)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxah

7、xhx)1(loglim10 .log1exa 例例5 5.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例6 6.arctan)(数数求函数求函数的导xxf 解解 tantan1tantan)tan( hxhxyharctan)arctan(lim0 xhxhhh)(1arctan1lim0 xhxhhh)(11lim0 .112x 例例7 7.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00l

8、im)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(000000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(000000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 说明：说明：2.1.3 可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理1 1 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyx

9、xxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 注意注意: : 1.1.该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.2.2.若函数在某点不连续，则函数在该点若函数在某点不连续，则函数在该点 不可导不可导.31xyxy01)( .)(,

10、)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x.,)()(. 30点点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy例例9 9的值。的值。确定确定处可导处可导在在设函数设函数baxxbaxxxxf,11112)(2 解解 1)1()(lim1xfxfx),0()0( ff应有应

11、有,1)(可导可导在在由由 xxf.1)(连续连续在点在点 xxf).(lim)(lim11xfxfxx . 1 ba1112lim1)1()(lim211 xxxfxfxx1)1)(1(1lim221 xxxx2, 1 ba11lim1 xbaxxa 定理定理1 1并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu

12、xvxuxvxu2.2 2.2 求导法则求导法则2.2.1 2.2.1 四则运算法则四则运算法则证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf

13、推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf )()()()()()( )()3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii 例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222c

14、ossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.的导数的导数求求shxy 解解 )(21 xxeey)(21xxee .chx 同理可得同理可得shxchx )(2.2.2 2.2.2 复合函数的复合函数的求导法则求导法则).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可

15、导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )定理定理2 2证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdud

16、udydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例6 6.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例7 7.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例8 8.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 例例9 9.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1si

17、n xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例1010.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 例例1111解解,lnsinxxey .sin的导数的导数求函数求函数xxy )ln(sinlnsin xxeyxx)sinln(coslnsinxxxxexx )sinln(cossinxxxxxx 例例1212)0(1 xxx ）（证明证明证明证明)()(ln xex xex1ln 1 x例例1313.)(1)()()(ygxfygxxfy 证证明明的的反反函函数数，是

18、是单单调调函函数数设设证明证明. 1)( )( )( )( )(,)( xfygxfxfgxfgxxfg.)( 1)( ygxf 2.2.3 初等函数的求导初等函数的求导xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.习题习题 2-16、7（2）（）（4）、）、9、10、11、14、15，习题习题 2-21（1）（）（3）（）（4）（）（5）（）（9）（）（12）（）（14）（）（17）（19）（）（23）（）（24）、）、3、5。 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限